Dynamic scaling and Family-Vicsek universality in the Hubbard model at infinite temperature

이 논문은 무한 온도에서의 1차원 허바드 모델 내 전하, 스핀 및 에너지 요동의 패밀리-빅섹(Family-Vicsek) 스케일링을 조사하며, 가적분 시스템은 탄성 또는 KPZ 수송 영역을 보이는 반면 가적분성이 깨지면 확산이 나타나지만, 모든 경우에서 각자의 유체역학적 스케일링 창에 진입하기 전 보편적인 단시간 탄성 성장을 보인다는 점을 밝혀낸다.

핵심

길고 붐비는 복도를 상상해 보세요. 그 안에는 왼쪽이나 오른쪽으로 움직일 수 있는 사람들(전자)이 가득 차 있습니다. 이 복도는 '허바드 모델(Hubbard model)'이라 불리는 물질 속의 1차원 원자 사슬을 나타냅니다. 이 논문은 사람들이 최대 속도로 무질서하게 움직일 때(무한 온도), "무질서함" 또는 "변동성"이 어떻게 퍼져 나가는지를 조사합니다.

연구진은 다음과 같은 간단한 질문에 답하고자 합니다: 이 복도의 특정 구역에서 발생하는 무질서도는 시간이 지남에 따라 어떻게 성장하는가?

이를 시각화하기 위해, "무질서함"을 모래 더미의 높이나 벽에 칠해지는 페인트의 거칠기로 생각해 보세요. 물리학에서는 이를 **패밀리-비섹 스케일링(Family-Vicsek scaling)**이라고 부릅니다. 이는 관찰하고 있는 구역의 크기와 경과된 시간이라는 두 가지 요소에 따라 표면이 얼마나 거칠어지는지를 예측하는 규칙입니다.

연구진이 발견한 내용을 일상적인 개념으로 나누어 설명하면 다음과 같습니다.

1. 세 가지 유형의 "교통량"

연구진은 복도를 통과하는 세 가지 서로 다른 요소를 관찰했습니다:

• 전하(Charge): 사람들(전자) 자체의 움직임.
• 스핀(Spin): 사람들이 바라보는 방향(위 또는 아래).
• 에너지(Energy): 군중의 전체적인 활동성 또는 "활기(buzz)".

연구진은 이 세 가지가 퍼지는 방식이 전적으로 "게임의 규칙"(사람들 사이의 상호작용)에 달려 있다는 것을 발견했습니다.

2. 세 가지 시나리오

시나리오 A: 자유롭게 흐르는 군중 (상호작용 없음)
복도 안의 사람들이 서로 전혀 부딪히지 않고 그냥 똑바로 걸어간다고 상상해 보세요.

• 결과: 모든 것이 일정한 속도로 직선을 그리며 이동합니다. 이를 **탄성 수송(Ballistic transport)**이라고 합니다.
• 비유: 교통 신호등이 없는 텅 빈 고속도로 위의 자동차와 같습니다. 도로의 한 구역을 본다면, "무질서도(변동성)"는 꾸준하고 예측 가능하게 성장합니다.
• 누가 이렇게 행동하는가? 상호작용이 없을 때 전하, 스핀, 에너지는 모두 이와 같이 행동합니다.

시나리오 B: "적분 가능한" 군중 (엄격한 규칙이 있지만, 상호작용은 존재함)
이제 사람들이 서로 부딪히기는 하지만, 아주 엄격하고 마법 같은 규칙(수학적 '적분 가능성')을 따르는 상황을 상상해 보세요. 이 규칙은 완전한 혼돈을 방지합니다. 사람들은 마음대로 움직일 수 없으며, 매우 조화롭게 움직여야 합니다.

• 전하 및 스핀: 이 둘은 KPZ 스케일링이라 불리는 기묘하고 초확산적인 상태에 갇히게 됩니다.
  • 비유: 사람들이 줄을 서려고 노력하지만, 서로 부딪히면서 일반적인 흐름보다는 빠르지만 자유로운 흐름보다는 느린 "교통 체증"을 만들어내는 상황을 상상해 보세요. 마치 콘서트장에서 사람들이 조화롭게 춤을 추려 하지만 서로의 움직임을 방해하며 파동을 만드는 것과 같습니다. "거칠기"는 특정한 곡선 패턴을 그리며 성장합니다.
• 에너지: 놀랍게도, 에너지는 여전히 자유롭게 흐르는 군중처럼 (탄성적/Ballistic) 움직입니다.
  • 비유: 사람들이 서로 부딪히고 있음에도 불구하고, 방 안의 "활기"나 "열기"는 사람들의 교통 체증에 영향을 받지 않고 즉각적으로 뻗어 나갑니다.

시나리오 C: 혼돈스러운 군중 (규칙이 깨진 경우)
마지막으로, 연구진은 새로운 무질서한 상호작용(사람들이 이웃의 이웃과 부딪히는 현상)을 추가하여 이 마법 같은 규칙을 깨뜨렸습니다. 이는 '적분 가능성'을 파괴합니다.

• 결과: 모든 것이 확산(Diffusive) 상태가 됩니다.
• 비교: 이것은 모든 사람이 무작위로 서로 부딪히는 붐비는 파티와 같습니다. 물에 잉크 한 방울을 떨어뜨리면, 그것은 천천히 퍼지며 고르게 퍼집니다. 이 경우 "무질서도"는 이전 시나리오들보다 훨씬 느리게 성장합니다.
• 누가 이렇게 행동하는가? 규칙이 깨지면 전하, 스핀, 에너지 모두 느려지고 확산적인 성향을 띱니다.

3. "미시적"한 놀라움

이러한 장기적인 패턴(고속도로, 교통 체증, 또는 파티)이 완전히 자리 잡기 전, 연구진은 모든 것이 동일하게 행동하는 매우 짧은 초기 단계를 발견했습니다. 이 단계에서 모든 것은 공을 던지는 것처럼 매우 빠르게 성장합니다.

• 비교: 나중에 어떤 규칙이 적용되든, 아주 첫 순간을 관찰한다면 무질서도는 큰 그림이 드러나기 전 매우 빠르게 치솟습니다. 이는 거대한 패턴이 나타나기 전에 발생하는 보편적인 "미시적 영역(microscopic regime)"입니다.

연구 결과 요약

이 논문은 적분 가능성(Integrability), 즉 엄격하고 마법 같은 규칙의 존재가 핵심이라고 결론짓습니다.

• 규칙이 완벽하다면 (Integrable): 전하와 스핀은 "교통 체증"(KPZ)에 갇히지만, 에너지는 빠르게 통과합니다 (Ballistic).
• 규칙이 깨진다면 (Non-Integrable): 모든 것이 느리고 무작위적인 확산(Diffusive) 상태가 됩니다.
• 상호작용이 없다면 (Free): 모든 것이 빠르게 통과합니다 (Ballistic).

연구진은 모든 사람을 일일이 추적하지 않고도 이러한 변동성을 계산할 수 있는 영리한 수학적 도구인 **양자 생성 함수(Quantum Generating Function)**를 사용하여 이 패턴들을 명확하게 관찰했습니다. 그들은 시스템의 "거칠기"가 보편적인 수학적 법칙을 따른다는 것을 확인했지만, 그 "성장 속도"는 시스템이 이러한 엄격한 규칙을 따르는지 여부에 따라 완전히 달라진다는 것을 밝혀냈습니다.

기술 요약

기술 요약: 허바드 모델에서의 무한 온도 상태의 동적 스케일링 및 패밀리-빅섹크(Family–Vicsek) 보편성

문제 정의
본 연구는 무한 온도에서의 1차원 페르미-허바드(Fermi–Hubbard) 모델의 수송 특성과 요동 역학을 조사한다. 저자들은 특히 하위 시스템 내 전하, 스핀, 에너지 요동의 스케일링 거동을 규명하는 것을 목표로 한다. 이 연구는 이러한 요동이 단시간 미시적 영역에서 장시간 유체역학적 창(hydrodynamic window)으로 어떻게 진화하는지, 그리고 이러한 거동이 계의 적분 가능성(integrability)에 따라 어떻게 달라지는지에 초점을 맞춘다. 핵심 질문은 고전적 계면 성장(interface growth)에서 유래된 패밀리-빅섹크(Family–Vicsek, FV) 스케일링 프레임워크가 양자 다체계에도 적용될 수 있는지, 그리고 상호작용 강도와 적분 가능성 조건에 따라 전하, 스핀, 에너지 섹터의 보편성 클래스가 어떻게 다른지 여부이다.

방법론
저자들은 전체 확률 분포를 재구성하지 않고도 전달된 보존량의 시간 의존적 누적 모멘트(cumulants)를 계산하기 위해 양자 생성 함수(Quantum Generating Function, QGF) 접근법을 채택한다.

• 모델: 본 연구는 근접 이웃 호핑($J$)과 온사이트 상호작용($U$)을 갖는 1D 허바드 해밀토니안($H_{\text{Hubb}}$)을 활용한다. 적분 가능성의 파괴 효과를 조사하기 위해 차후 근접 이웃 밀도 상호작용($V$)을 추가하였다 ($H = H_{\text{Hubb}} + H_{\text{NNN}}$).
• 초기 상태: 시뮬레이션은 반 채움(half-filling) 및 제로 자화(zero magnetization)에 해당하는 완전 혼합 밀도 행렬 $\rho_\infty = 1/4^L$인 무한 온도 상태에서 수행된다.
• 수치 기법: QGF는 리우빌 공간(Liouville space)에서의 행렬 곱 연산자(Matrix Product Operator, MPO) 표현과 시간 진화 블록 결손(Time-Evolving Block Decimation, TEBD)을 사용하여 평가된다. 이 방법은 체인의 특정 구간에 "트위스트" 연산자 $R(\lambda) = e^{i\lambda Q_\ell}$를 적용하고, 상태를 진화시킨 후 특성 함수로부터 누적 모멘트를 추출하는 과정을 포함한다.
• 스케일링 분석: 저자들은 크기가 $\ell$인 하위 시스템에서 전달된 양의 제곱근인 "거칠기(roughness)" $W(\ell, t)$를 분석한다. 저자들은 $W(\ell, t) \sim \ell^\alpha f(t/\ell^z)$인 FV 스케일링 안사츠(ansatz)를 테스트하여 거칠기 지수($\alpha$), 성장 지수($\beta$), 그리고 동적 지수($z$)를 추출한다.

주요 기여 및 결과
본 논문은 전하, 스핀, 에너지의 세 가지 구별된 섹터를 분석함으로써 허바드 모델의 수송 영역에 대한 포괄적인 매핑을 확립한다.

1. 보편적인 단시간 미시적 영역:
   모든 섹터와 매개변수 영역(자유, 적분 가능한 상호작용, 비적분 가능)에 걸쳐, 저자들은 요동이 탄도적으로 성장($W \sim t$)하는 짧은 시간 영역을 관찰한다. 이는 유체역학적 스케일링 창의 출현에 선행한다.

2. 전하 및 스핀 섹터:

• 자유 한계 ($U=0, V=0$): 전하와 스핀 모두 동적 지수 $z=1$ (성장 지수 $\beta=1/2$)을 갖는 **탄도적 수송(ballistic transport)**을 보인다.
• 적분 가능한 상호작용 한계 ($U \neq 0, V=0$): 계는 카르다노-파리지는-KPZ(Kardar–Parisi–Zhang) 보편성 클래스로 전이된다. 동적 지수는 $z=3/2$ ($\beta=1/3$)가 되며, 이는 초확산(superdiffusive) 수송을 나타낸다.
• 비적분 가능 한계 ($V \neq 0$): 적분 가능성의 파괴는 계를 확산(diffusive) 영역($z=2, \beta=1/4$)으로 이끈다.

3. 에너지 섹터:

• 적분 가능 영역 ($V=0$): 전하 및 스핀과 달리, 에너지 섹터는 유한한 온사이트 상호작용($U \neq 0$)이 존재하는 상황에서도 탄도적($z=1$)인 상태를 유지한다. 저자들은 이를 에너지 전류가 다른 섹터에서 KPZ 이상 현상을 일으키는 비가환 전하(non-Abelian charges)와 결합하지 않기 때문이라고 설명한다.
• 비적만 가능 영역 ($V \neq 0$): 다른 섹터와 마찬가지로, 적분 가능성의 파괴는 에너지 수송을 확산적($z=2$)으로 만든다.

4. 거칠기의 보편성:
   거칠기 지수 $\alpha$는 모든 섹터와 영역에서 보편적($\alpha = 1/2$)인 것으로 밝혀졌으며, 이는 1차원 계에 대한 기대치와 일치한다.

의의 및 주장
본 논문은 FV 스케일링 프레임워크가 허바드 모델 내에서 탄도적, 이상(anomalous, KPZ), 확산 수송을 조직하고 구별할 수 있는 압축적이고 통일된 방법을 제공한다고 주장한다. 주요 의의는 적분 가능성이 결정적인 요인이지만, 그 효과는 섹터에 따라 의존적이라는 점을 입증한 데 있다:

• 적분 가능한 허바드 사슬에서 전하와 스핀은 KPZ 스케일링을 보이는 반면, 에너지는 탄도적이다.
• 적분 가능성의 붕괴(via $V$)는 모든 섹터에서 확산적 거동을 보편적으로 복구한다.

저자들은 자신들의 결과가 미시적 보존 법칙과 적분 가능성을 창발적 유체역학으로 연결한다고 강조한다. 또한, 기존 연구들이 비상호작용 시스템이나 특정 극한에 집중했던 것과 달리, 본 연구는 전하, 스핀, 에너지를 상호작용하는 적분 및 비적분 영역 모두에서 대등하게 체계적으로 비교했음을 명시한다. 연구 결과는 에너지 수송이 적분 가능성 라인을 따라 전하 및 스핀과는 구별되는 경로를 따른다는 점을 시사하며, 이는 FV 스케일링 분석을 통해 효과적으로 포착되었다. 본 연구는 이러한 고온의 비평형 역학을 탐구할 수 있는 냉각 원자 양자 시뮬레이터의 가용성에 의해 동기 부여되었다.