Classical Stochasticity Using Quantum Computers

이 논문은 양자 측정의 내재적 무작위성을 활용하여 고전적 확률론적 시뮬레이션을 모델링하는 방안을 제안하며, 로렌츠 계(Lorenz system)에 대한 양자 알고리즘의 출력값을 파이썬 기반의 고전적 확률론적 시뮬레이션과 비교함으로써 이 접근 방식을 입증한다.

핵심

핵심 아이디어: "실수"를 특징으로 바꾸기

종이 위에 완벽한 직선을 그리려고 노력한다고 상상해 보세요. 고전적인 세상(표준 컴퓨터 사용)에서는 자와 연필을 사용하여 그 선을 정확하게 그립니다. 만약 선이 흔들린다면, 당신은 그것을 수정해야 할 "노이즈"나 "실수"로 간주할 것입니다.

하지만 이 논문은 양자 컴퓨터는 다르다고 제안합니다. 양자 컴퓨터는 물리 법칙 때문에 자연스럽게 흔들리는 연필과 같습니다. 저자들은 억지로 연필이 직선을 그리도록 강요하는 대신 이렇게 말합니다. "그냥 그 흔들림을 받아들입시다. 그 흔들림은 사실 오류가 아니라 하나의 특징입니다."

이 논문은 양자 컴퓨터가 답을 내놓을 때 본질적으로 무작위적이기 때문에, 코드에 가짜 무작위성을 추가할 필요 없이 이를 이용해 혼돈스럽고 예측 불가능한 시스템(날씨나 인구 성장 등)을 시뮬레이션할 수 있다고 주장합니다.

고전 컴퓨터의 문제점

날씨와 같이 혼돈스러운 것을 시뮬레이션하려면, 고전 컴퓨터에는 "난수 생성기(Random Number Generator)"가 필요합니다.

• 비유: 고전 컴퓨터를 매우 빠르고 똑똑한 로봇이라고 생각해 보세요. 하지만 이 로봇은 결정론적(deterministic)입니다. 즉, 똑같은 질문을 두 번 해도 항상 똑같은 답을 내놓습니다. 그래서 이 로봇이 날씨처럼 행동하게 만들려면, 프로그래머는 "가짜" 난수 목록(예: 비디오 게임 속에서 주사위를 굴리는 것)을 입력해 주어야 합니다.
• 문제점: 이 "가짜" 난수들은 사실 어떤 공식에 의해 계산된 것입니다. 그것들은 진정으로 무작위적인 것이 아니라, 단지 무작위인 것처럼 보일 뿐입니다.

양자 솔루션: 동전 던지기

양자 컴퓨터는 다르게 작동합니다. 양자 비트(큐비트)를 측정할 때, 그것은 마치 진짜 동전을 던지는 것과 같습니다.

• 비유: 동전을 100번 던지면 앞면이 52번, 뒷면이 48번 나올 수도 있고, 다시 던지면 앞면이 49번, 뒷면이 51번 나올 수도 있습니다. 단 한 번의 던지기 결과를 결코 예측할 수 없으며, 결과는 항상 미세하게 달라집니다. 이것이 바로 우주에 내재된 진정한 무작위성입니다.

저자들은 질문했습니다. “만약 이 자연적인 '동전 던지기' 식의 무작위성을 사용하여 혼돈 시스템을 모델링한다면 어떻게 될까?”

실험: 로렌츠 시스템(The Lorenz System)

이를 테스트하기 위해 저자들은 로렌츠 시스템이라는 유명한 수학 모델을 사용했습니다.

• 이것은 무엇인가? 대기의 공기 흐름 등을 모델링하는 데 사용되는 일련의 방정식입니다. 이 모델은 "혼돈(chaotic)"스러운 것으로 유명합니다. 아주 작은 변화가 나중에 거대한 차이를 만들어내기 때문입니다 (나비 효과).
• 설정: 저자들은 두 가지 다른 방법(S-FABLE 및 Unitary time evolution이라 불림)을 사용하여 양자 컴퓨터에서 이 모델을 실행했습니다.
• 놀라운 점: 그들은 양자 코드에 어떠한 "가짜" 난수도 추가하지 않았습니다. 그저 양자 컴퓨터가 실행되도록 내버려 두었습니다.
• 결과: 출력값을 확인했을 때, 선들은 완벽하게 매끄럽지 않았습니다. 그것들은 실제 혼돈 시스템처럼 지터(jittery)가 있고 흩어져 있었습니다.

두 방식의 비교

저자들은 난수를 수동으로 추가한(Python의 random generator 사용) 고전적 시뮬레이션과 양자 결과를 비교했습니다.

• 발견: 양자 컴퓨터가 만들어낸 "지터가 있는" 선들은 노이즈를 직접 추가한 고전 컴퓨터의 "지터가 있는" 선들과 거의 똑같이 보였습니다.
• 결론: 양자 컴퓨터는 무작위적이 되라고 명령받을 필요가 없었습니다. 양자 상태를 측정하는 행위 자체가 혼돈을 시뮬레이션하는 데 필요한 무작위성을 자연스럽게 만들어냈습니다.

이것이 왜 중요한가 (논문에 따르면)

저자들은 본래 무질서하고 예측 불가능한 시스템(날씨, 금융 시장, 기체 분자 등)을 위해 양자 컴퓨터가 "완벽한" 답을 내놓도록 만드는 데 시간을 낭비할 필요가 없다고 제안합니다.

• 비유: 폭풍을 모델링하려고 할 때, 당신에게 필요한 것은 완벽하고 매끄러운 선이 아닙니다. 혼돈을 포착할 수 있는 모델이 필요합니다. 양자 컴퓨터의 자연스러운 "흐릿함(fuzziness)"은 바로 이 작업에 완벽한 도구입니다.
• 핵eder: 모든 기술적 오류를 해결하지 않더라도, 양자 컴퓨터의 내재된 무작위성은 우리 세상의 무질서하고 예측 불가능한 부분을 시뮬레이션하는 데 탁월한 후보가 됩니다.

요약

요컨대, 이 논문은 다음과 같이 말합니다: 혼돈스러운 문제를 해결하기 위해 양자 컴퓨터를 완벽하게 정밀하게 만들려고 애쓰지 마십시오. 대신, 그들의 자연스러운 무작위성을 받아들이십시오. 측정 과정에서의 "노이즈"가 바로 우리가 현실 세계의 혼돈을 모델링하는 데 필요한 신호입니다.

기술 요약

기술 요약: 양자 컴퓨터를 이용한 고전적 확률성(Classical Stochasticity)

문제 제기
본 논문은 전통적으로 의사 난수(pseudo-random numbers)를 생성하기 위해 결정론적 알고리즘을 사용하여 시뮬레이션되는 로렌츠 시스템(Lorenz system)과 같은 고전적 확률 시스템을 모델링하는 과제를 다룬다. 진정한 무작위성을 달리는 것은 고전적으로 매우 어렵지만, 양자 역학은 측정 과정 중 파동함수 붕괴의 확률적 특성을 통해 내재된 무작위성의 원천을 제공한다. 저자들은 비선형 미분 방정식(ODE)을 양자 하드웨어에서 해결하려고 할 때, 측정 과정이 정확한 수치 해로부터 피할 수 없는 편차를 도입한다는 점을 관찰한다. 이 논문은 이러한 편차를 광범위한 후처리나 필터링이 필요한 오류로 취급하는 대신, 이러한 내재적 변동을 시스템의 자연스러운 확률적 정식화(stochastic formulation)로 해석할 수 있다고 상정한다.

방법론
저자들은 결정론적 카오스로 알려진 세 개의 비선형 미분 방정식 집합인 로렌츠-63(Lorenz-63) 시스템을 조사한다. 이들은 두 가지 접근 방식을 비교한다:

1. 고전적 확률 모델링: 저자들은 확률 변수($\xi_i$)가 이산화된 방정식(구체적으로 $y$ 방정식)에 도입되어 확률적 거동을 시뮬레이션하는 고전적 오일러-스토캐스틱(Euler-stochastic) 수치 기법을 구현한다.
2. 양자 알고리즘: 코드 내에 명시적인 확률 항 없이($e=0$) 로렌츠 시스템을 해결하기 위해 두 가지 구별된 양자 알고리즘을 구현한다:
   • S-FABLE 알고리즘: 시스템 행렬을 인코딩하기 위해 희소-페이블(sparse-Fable) 코딩과 월시-하다마르드(Walsh-Hadamard) 변환을 사용하는 방법이다. 이는 블록 인코딩, 보조 큐비트(ancilla qubits), 그리고 측정 중에 손실된 부호를 재구성하기 위한 휴리스틱을 포함한다.
   • 유니터리 시간 진화(Unitary Time Evolution): 반-에르미트 전이 행렬(anti-Hermitian transfer matrix)로부터 유도된 유니터리 행렬을 사용하여 시스템을 진화시키는 방법이다. 상태 벡터는 큐비트로 인코딩되며, 진화는 반복적으로 적용된다.

두 양자 접근 방식 모두에서 저자들은 노이즈가 없는 회로를 시뮬레이션하기 위해 Qiskit을 사용한다. 이들은 양자 상태 벡터를 생성한 후, 물리적 변수($x, y, z$)를 추출하기 위해 측정(shots)을 수행한다. 이들은 측정된 결과의 통계적 분포를 분석하여 이를 고전적 확률 시뮬레이션 및 기대되는 결정론적 궤적과 비교한다.

주요 결과

• 내재적 확률성: 두 양자 알고리즘의 측정 출력은 정확한 수치 궤적에서 벗어난다. 저자들은 이러한 편차가 단순한 노이즈가 아니라 양자 측정 이론과 일치하는 통계적 분포(이항 및 다항 분포)를 따른다는 것을 입증한다.
• 고전적 확률성과의 비교: 양자 측정 지점들을 플로팅하면, 이는 확률적 항(백색 잡음)에 의해 구동되는 고전적 로렌츠 시스템의 거동을 밀접하게 모방하며 궤적 주변에 무작위 분포를 나타낸다.
• 통계적 검증: 유니터리 진화 방법의 경우, 저자들은 50개의 측정 샘플을 분석했다. 측정된 빈도의 평균과 분산을 파이썬으로 생성된 이항 난수 집합과 비교했다. 결과는 약 3%의 분산 차이를 보였으며, 저자들은 이를 잠재적인 미계산된 얽힘 또는 분해 오류 때문이라고 설명했으나, 이는 양자 출력이 다항 분포를 따른다는 점을 확인시켜 준다.
• 오류 분석: 양자 측정 궤적과 고전적 수치 해 사이의 유클리드 거리는 고전적 확률 시뮬레이션에서 보이는 것과 유사한 변동을 보인다.

주요 기여

• 측정 오류의 재정의: 본 논문은 비선형 ODE에 대한 양자 알고리즘 출력에 대한 패러다임 전환을 제안한다. 측정 유도 분산을 후처리를 통해 교정해야 할 결함으로 보는 대신, 이를 확률 시스템을 자연스럽게 모델링하는 기능으로 제안한다.
• 알고리즘적 입증: 저자들은 S-FABLE와 유니터리 진화를 사용하여, 노이즈 없는 시뮬레이션에서도 측정 과정 자체가 충분한 무작위성을 도입하여 확률적 거동을 모델링할 수 있음을 보여주는 구체적인 구현을 제공한다.
• 분포 모델링: 본 연구는 비선형 시스템에 대한 양자 측정 결과가 다항 분포를 사용하여 모델링될 수 있음을 확립하며, 계산 과정에서 직접 난수를 생성하는 방법을 제시한다.

의의 및 주장
저자들은 양자 컴퓨터가, 특히 NISQ(노이즈가 있는 중간 규모 양자) 시대와 그 이후에, 높은 정밀도가 최우선 요구 사항이 아닌 확률적 시스템을 모델링하는 데 있어 실행 가능한 대안 하드웨어 역할을 한다고 주장한다. 그들은 "확률성이 자연스럽게 발생한다"는 것이 양자 알고리즘의 측정 결과에 나타난다고 논한다.

이 논문은 양자 컴퓨터가 약속된 효율성과 거대한 힐베르트 공간 차원(예: 127-큐비트 시스템은 $2^{127}$ 차원을 가짐)을 제공하지만, 확률적 모델링을 위한 즉각적인 유용성은 이러한 내재적 무작위성에 있다고 강조한다. 저자들은 기상이나 인구 역학 같은 시스템의 경우, 목표가 정확한 점 해(point solution)를 찾는 것이 아니라 분포적 거동을 이해하는 것이라면 양자 측정이 직접적인 확률의 원천을 제공한다고 결론짓는다. 그들은 특정 사례가 로렌츠 시스템의 안정적인 영역에 집중되어 있지만, 이 접근 방식이 복잡한 비평형 시스템의 불안정한 거동과 분기점(bifurcation points)을 연구하는 데 확장될 수 있음을 언급한다. 이 논문은 일반적인 정밀 ODE 문제를 해결하려는 것이 아니라, 양자 하드웨어의 확률적 특성이 유리하게 작용하는 특정 틈새 영역을 조명하는 것을 목적으로 한다.