Orbital-optimized spin-adapted multistate contracted VQE for excited states and properties on quantum hardware

이 논문은 스핀 적응형 연산자를 활용하여 양자 하드웨어에서 바닥 상태와 들뜬 상태 및 그 성질들을 효율적으로 계산하는 동시에, 상태의 수에 따른 선형적인 파라미터 스케일링을 통해 정확도와 회로 복잡도 사이의 균형을 맞추는 궤도 최적화 다중 상태 축약 VQE(oo-MC-VQE) 방법을 소개한다.

핵심

당신이 거대하고 복잡한 오케스트라를 완벽한 교향곡을 연주하도록 조율하려고 한다고 상상해 보십시오. 화학의 세계에서 '오케스트라'는 분자이며, '음악'은 그 분자 속 전자들이 움직이고 상호작용하는 방식입니다. 분자가 빛을 어떻게 흡수하는지(이는 색을 만들어내고 광합성과 같은 현상을 일으킵니다) 이해하기 위해서, 과학자들은 이 전자들이 연주하는 정확한 음표들을 계산해야 합니다.

오랫동안, 많은 전자를 가진 분자에 대해 이 작업을 수행하는 것은 마치 조각이 추가될수록 기하급수적으로 어려워지는 퍼즐을 푸는 것과 같았습니다. 기존의 컴퓨터(우리가 현재 사용하는 것들)는 결국 벽에 부딪히며, 복잡한 분자들에 대한 퍼즐을 풀 수 없게 됩니다.

이 논문은 이러한 종류의 복잡성을 자연스럽게 처리할 수 있도록 설계된 특수한 기계인 양자 컴퓨터를 사용하여 이 퍼즐을 해결하는 새로운 방법을 소개합니다. 저자들이 수행한 일과 발견한 내용을 다음과 같이 쉽게 정리했습니다.

1. 문제: 여러 개의 음을 동시에 조율하기

보통 과학자들은 오케스트라가 단 하나의 음(바닥 상태)만을 완벽하게 연주하도록 조율하려고 시행합니다. 하지만 분자가 빛에 어떻게 반응하는지 이해하려면, 여러 가지 서로 다른 음(들뜬 상태)들을 동시에 알아야 합니다.

• 도전 과제: 만약 10개의 서로 다른 곡을 동시에 조율하려고 한다면, 지침(컴퓨터 회로)이 믿기지 않을 정도로 길고 복잡해집니다. 만약 지침이 너무 길어지면, 양자 컴퓨터는 "노이즈"(정전기나 오류) 때문에 혼란에 빠지고 음악은 무너져 버립니다.
• 트레이드오프(절충): 정확한 답을 얻으려면 복잡한 회로가 필요하지만, 복잡한 회로는 현재의 노이즈가 있는 기기에서 실패할 가능성이 더 높습니다.

2. 해결책: 스마트하고 대칭적인 지휘자

저자들은 oo-MC-VQE라고 불리는 새로운 방법, 즉 양자 오케스트라를 위한 "스마트한 지휘자"를 개발했습니다.

• 스핀 적응형(Spin-Adapted): 양자 화학에서 전자들은 "스핀"(팽이처럼 도는 성질)이라는 특성을 가집니다. 저자들은 이 지휘자가 팽이들이 항상 올바르고 대칭적인 방식으로 돌 수 있도록 설계하여, 대칭성 오류로 인해 음악이 "음이 어긋나는" 것을 방지했습니다.
• 궤도 최적화(Orbital Optimized): 또한, 저자들은 복잡한 조율을 시작하기도 전에 음악이 더 잘 들릴 수 있도록 지휘자가 음악가들의 좌석 배치도(궤도)를 재배치할 수 있게 했습니다.
• 다중 상태 수축(Multistate Contracted): 10개의 곡을 위해 10개의 별도이고 거대한 지침서를 만드는 대신, 그들은 모든 곡에 대해 동시에 작동하는 하나의 공유된 효율적인 지침 세트를 사용하는 방법을 찾아냈습니다.

3. 발견: 선형적 성장

가장 큰 질문 중 하나는 이것이었습니다: 만약 내가 1개의 상태 대신 10개의 상태를 계산하고 싶다면, 컴퓨터 성능이 10배 더 필요할까?

• 발견 내용: 저자들은 답이 놀라울 정도로 간단하다는 것을 발견했습니다. 필요한 컴퓨터 "노력"(회로 파라미터)은 선형적으로 증가합니다. 만약 당신이 계산하고자 하는 상태의 수를 두 배로 늘린다면, 지침서의 길이도 대략 두 배가 될 뿐입니다. 이는 폭발적으로 커지지 않습니다. 이는 이 방법이 확장 가능하다는 점에서 매우 좋은 소식입니다.

4. 실제 테스트: 노이즈가 있는 무대 위에서의 연주

저자들은 단순히 완벽한 컴퓨터에서 시뮬레이션만 한 것이 아니라, 실제로 실제 양자 하드웨어(IBM 양자 컴퓨터)에서 이 방법을 실행했습니다.

• 설정: 그들은 두 가지 작은 분자인 포름알데히드(흔한 화학 물질)와 삼수소 양이온($H_3^+$)을 테스트했습니다.
• 노이즈 문제: 실제 양자 컴퓨터는 관중의 소음이 크고 조명이 깜빡이는 무대와 같습니다. 도움 없이는 결과가 엉망이 되었습니다.
• 해결책: 그들은 "오류 완화(error mitigation)" 기술을 사용했습니다. 이것은 마치 사운드 엔지니어가 공연 후에 관중의 소음과 깜빡이는 조명을 걸러내기 위해 소프트웨어를 사용하는 것과 같습니다.
• 결과:
  • 포름알데히드의 경우, 이 방법은 꽤 잘 작동했습니다. 노이즈가 있음에도 불구하고, 흡수 스펙트럼(분자가 흡수하는 색상)의 "피크"를 명확하게 볼 수 있었습니다.
  • $H_3^+$의 경우, 노이즈가 더 큰 문제였으며 결과를 크게 변화시켰습니다. 저자들은 이 특정 분자의 수학적 구조가 노이즈에 더 민감하기 때문(마치 쉽게 음이 어긋나는 섬세한 악기처럼)이라고 언급했습니다.
  • 핵심 요점: 결과 수치가 완벽하지는 않았지만, 결과의 형태는 올바르게 나타났습니다. 분자의 행동에 대한 주요 특징들을 여전히 확인할 수 있었습니다.

요약

이 논문은 스마트하고 대칭적인 접근 방식을 사용함으로써, 현재의 불완전한 양자 컴퓨터를 사용하여 분자 내 들뜬 전자의 거동을 계산할 수 있음을 보여줍니다. 저자들은 여러 상태를 계산하는 것이 불가능할 정도의 자원을 요구하지 않는다는 것을 증명했으며, "노이즈 제거" 기술과 함께라면 오늘날 실제 양자 장치로부터 유용한 화학적 통찰을 얻을 수 있다는 것을 입증했습니다.

저자들이 주장하지 않은 것:
이 논문은 이 방법이 즉각적으로 새로운 태양광 패널을 설계하거나, 질병을 치료하거나, 새로운 재료를 만들 수 있다고 주장하지 않습니다. 이 연구는 오직 양자 하드웨어에서 스펙트럼을 계산하는 방법이 작동함을 증명하는 데 엄격히 집중하고 있습니다. 향에 대한 적용은 일반적인 분야를 통해 암시될 수 있으나, 이 연구의 구체적인 주장은 아닙니다.

기술 요약

기술 요약: 궤도 최적화된 스핀 적응형 다중 상태 축약 VQE (Orbital-optimized spin-adapted multistate contracted VQE)

문제 정의
전자적으로 들뜬 상태와 그 전이 특성을 견고하고 균형 있게 계산하는 것은 특히 강한 전자 재구조화, 근접 퇴화(near-degeneracy), 또는 다구성(multiconfigurational) 특성이 나타나는 영역에서 중요한 과제로 남아 있습니다. 선형 응답(linear-response, LR) 방법은 많은 맥락에서 성공적이지만, 들뜬 상태를 바닥 상태 참조의 섭동으로 취급하기 때문에 원뿔 교차점(conical intersections)이나 강하게 상관된 시스템 근처에서 개념적 한계가 발생합니다. 또한, 들뜬 상태를 위한 기존의 양자 변분 고유치 솔버(VQE) 방식인 부공간 탐색 VQE(SS-VQE) 및 다중 상태 축약 VQE(MC-VQE)는 들뜬 상태의 정확한 묘사와 기저가 되는 안사츠(ansatz)의 표현력(회로 복잡도) 사이에서 트레이드오프 문제에 직면하곤 합니다. 더욱이, 현재의 양자 하드웨어는 노이즈와 결맞음(decoherence)의 제한을 받으므로 회로 깊이가 제한되며, 이는 효율적이면서도 오차 완화 기술과 호환 가능한 방법론의 개발을 필요로 합니다.

방법론
저자들은 바닥 상태 및 들뜬 상태, 그리고 상태별 및 전이 특성을 계산하기 위해 **스핀 적응형 연산자(spin-adapted operators)**를 통합한 궤도 최적화 다중 상태 축약 변분 양자 고유치 솔버(oo-MC-VQE) 방법을 소개합니다.

• 스핀 적응(Spin Adaptation): VQE 최적화 과정 전반에서 참조 상태의 스핀 대칭성이 보존되도록 하기 위해, 본 방법은 스핀 적응형 연산자 풀을 사용합니다. 구체적으로, 저자들은 스핀 적응형 단일 들뜸 연산자와 쌍-이중 들뜸(pair-double excitation) 연산자를 사용하여 싱글렛(singlet) 스핀 적응 연산자 풀을 채택합니다. 이는 스핀 페널티 항의 필요성을 제거하고, 중복된 파라미터를 도입하지 않으면서 모든 포함된 상태의 올바른 스핀 대칭성을 보장합니다.
• 다중 상태 축합 프레임워크(Multistate Contracted Framework): 이 방법은 상태 평균 에너지 범함수를 사용하여 여러 전자 상태를 동시에 최적화합니다. 각 상태는 고정된 파라미터 프리 상태 준비 회로(직교 기저 상태 초기화)와 전자 상관관계를 도입하는 파라미터화된 상관 회로(Unitary Product State, UPS 안사츠 사용)를 사용하여 구성됩니다. 최적화는 상태 평균 에너지를 목표로 하며, 이후 개별 상태 에너지와 파동 함수를 분해하기 위해 다중 상태 해밀토니안 행렬에 대한 고전적 대각화를 수행합니다.
• 궤도 최적화(Orbital Optimization): 이 프레임워크는 궤도 최적화를 포함하도록 확장되었습니다(oo-MC-VQE). 궤도 회전은 고전적 비용 함수로 취급되어, 회로 파라미터($\theta$)와 궤도 회전 파라미터($\kappa$)를 동시에 최적화할 수 있습니다. 저자들은 사용된 특정 안사츠에 대해, 궤도 파라미터화에 인접한 단일 들뜸 회로 파라미터는 중복되므로 제거할 수 있음을 입증하였습니다.
• 행렬 요소 평가(Matrix Element Evaluation): 다중 상태 해밀토니안 및 전이 특성에 필요한 서로 다른 상태 간의 행렬 요소를 평가하기 위해, 저자들은 중첩 분해(superposition decomposition) 기법을 사용합니다. 이 접근 방식은 다중 결정론적(multi-determinant) 상태를 위한 깊은 상태 준비 회로를 피하기 위해, 두 결정론적 상태의 더 단순한 중첩을 평가함으로써 CNOT 게이트의 수를 줄이는 대신 기대값 측정 횟수를 늘립니다.
• 오차 완화(Error Mitigation): 구현 과정에서 안사츠 기반의 판독 및 게이트 오차 완화 기술인 Mansatz0를 통합합니다. 다중 결정론적 참조 상태의 중첩을 포함하는 다중 상태 계산을 위해, 저자들은 모든 고유한 다중 결정론적 참조 상태에 대해 오차를 특성화하는 확장된 방식(M0+)을 제안하지만, 이 방식의 지수적 스케일링 문제도 언급하였습니다.

주요 기여

1. 스핀 적응형 oo-MC-VQE: 여러 상태에 걸쳐 올바른 스핀 대칭성 보존을 보장하는, 궤도 최적화된 상태 평균 VQE를 위한 스핀 적응형 정식화 개발.
2. 스케일링 분석: 정확도와 회로 복잡도 사이의 트레이드오프에 대한 명시적 조사. 저자들은 포함된 상태의 수에 따라 정확한 결과를 얻기 위해 필요한 회로 파라미터의 수가 약 선형적으로 증가함을 발견했습니다.
3. 하드웨어 구현: 결정론적 중첩을 통한 CNOT 게이트 감소 및 오차 완화 기술의 통합을 포함한 명시적인 양자 회로 구현.
4. 실제 장치 시연: 벤치마크 분자 시스템(포름알데히드 및 $H_3^+$)의 흡수 스펙트럼을 계산하기 위해 실제 양자 하드웨어(IBM ibm marrakesh 및 ibm aachen)에서 해당 방법을 실행.

결과

• 회로 복잡도: ADAPT 및 oo-ADAPT 안사츠를 사용한 $\text{LiH}$, $\text{H}_2\text{O}$, $\text{NH}_3$에 대한 시뮬레이션 결과, 상태 수에 따라 필요한 파라미터 수가 대략 선형적으로 증가함을 보여줍니다. 예를 들어, $\text{H}_2\text{O}$에 대해 $10^{-4}$ Hartree 미만의 오차를 달로 하기 위해 1, 2, 3, 4개 상태 각각에 대해 27, 32, 24, 30개의 파라미터가 필요했습니다.
• 궤도 최적화의 영향: 궤도 최적화는 ADAPT 절차의 초기 단계에서 수렴을 개선하지만, 더 엄격한 수렴을 위한 최종 회로 파라미터 수에는 미미한 영향을 미칩니다. 일부 경우(예: 3 또는 4개 상태를 가진 $\text{NH}_3$), 단일 들뜸을 궤도 최적화에 포함시키는 것이 파라미터 수에 부정적인 영향을 미쳤습니다.
• 양자 하드웨어 성능:
  • 시뮬레이션된 노이즈: IBM 노이즈 모델을 사용한 에뮬레이션 하드웨어에서, 오차 완화 기술(M0 및 M0+)은 노이즈가 없는 시뮬레이션과 거의 동일한 결과를 생성했습니다. $H_3^+$ 시스템은 다중 상태 해밀토니안 행렬의 높은 조건수(condition number)로 인해 포름알데히드보다 노이즈의 영향을 더 많이 받았습니다.
  • 실제 하드웨어: 실제 장치에서의 계산 결과, 오차 완화된 결과가 흡수 스펙트럼의 질적 경향과 주요 특징은 유지했으나, 양자 시뮬레이션에 비해 정량적 정확도는 현저히 낮았습니다. 이러한 차이는 시간 의존적 노이즈 및 크로스토크(crosstalk)에 관한 현재 노이즈 모델의 한계를 부각시킵로 합니다. 그럼에도 불구하고, 본 방법은 하드웨어 노이즈에도 불구하고 의미 있는 화학적 통찰을 성공적으로 추출해 냈습니다.

의의 및 주장
본 논문은 oo-MC-VQE 방법이 원뿔 교차점과 같은 도전적인 시나리오에 적합한 전자 구조의 균형 잡힌 묘사를 제공하며, 선형 응답 방식의 한계를 해결한다고 주장합니다. 저자들은 회로 파라미터의 선형적 스케일링이 이 방법이 근미래 양자 하드웨어에서 여러 들뜬 상태를 타겟팅하는 데 유망하다는 점을 강조합니다. 현재의 장치에서 정량적 정확도를 확보하는 것이 여전히 과제임을 인정하면서도, 적절한 오차 완화 기술과 결합할 때 흡수 스펙트럼과 같은 의미 있는 화학적 통찰을 추출할 수 있음을 보여줍니다. 이 연구는 다중 상태, 스핀 적응, 궤도 최적화 계산을 실제 양자 장치에서 실행하는 것에 대한 개념 증명 역할을 합니다.