Data-Driven Bed Capacity Planning Using $M_t/G_t/\infty$ Queueing Models with an Application to Neonatal Intensive Care Units

Este artigo propõe um framework baseado em dados e no modelo de filas $M_t/G_t/\infty$ para planejar a capacidade de leitos em UTIs, demonstrando que heurísticas estáticas são inadequadas para lidar com a demanda flutuante e a variabilidade na duração da internação, conforme ilustrado em um estudo de caso com UTIs neonatais em Calgary.

O essencial

Imagine que um hospital, especificamente uma Unidade de Cuidados Intensivos Neonatal (UCIN), é como um grande parque de diversões onde os bebês recém-nascidos são os visitantes que precisam de uma cadeira de balanço (a cama) para descansar e se recuperar.

O problema é que ninguém sabe exatamente quantos bebês vão chegar amanhã, nem quanto tempo cada um vai querer ficar na cadeira. Às vezes, chega uma "maré" de bebês de uma só vez; outras vezes, o parque fica vazio. E alguns bebês precisam de uma cadeira por apenas um dia, enquanto outros podem precisar por meses.

Aqui está o que os autores deste artigo descobriram e propuseram, explicado de forma simples:

1. O Problema: A Regra do "85% de Cheio" não funciona bem

Antigamente, os gestores de hospital usavam uma regra simples: "Mantenha o parque 85% cheio. Se passar disso, é perigoso; se ficar abaixo, é desperdício."

Pense nisso como tentar encher uma piscina com uma mangueira que jorra água de forma irregular. Se você calcular a média de água que entra em um mês inteiro, pode achar que a piscina está perfeita. Mas, na realidade, em dias de chuva forte (pico de demanda), a água transborda e alaga o chão, enquanto em dias de sol, a piscina fica quase seca.

O artigo mostra que, mesmo seguindo essa regra de 85%, os hospitais muitas vezes ficam 100% cheios ou até mais, criando um caos onde não há lugar para novos bebês. A regra antiga ignora que a demanda muda o tempo todo.

2. A Solução: Um "Previsor do Tempo" para Bebês

Os autores criaram um novo sistema, como se fosse um GPS inteligente para o hospital. Em vez de olhar apenas para a média do passado, eles usam um modelo matemático (chamado Mt/Gt/∞) que olha para:

• Quando os bebês chegam (padrões sazonais, como inverno ou verão).
• Quanto tempo eles ficam (alguns vão embora rápido, outros demoram).
• A imprevisibilidade: Eles não assumem que tudo é perfeito; eles aceitam que o caos acontece.

Eles analisaram dados de 5 hospitais em Calgary, Canadá, por vários anos. O sistema deles "desmonta" os dados para entender a tendência de longo prazo e o "ruído" do dia a dia, criando uma previsão muito mais precisa.

3. A Grande Descoberta: O "Caos" dos Tempos de Permanência

Uma das descobertas mais curiosas é sobre a variabilidade.

• Analogia: Imagine que você tem 100 pessoas entrando em um elevador.
  • Cenário A (Previsível): Todos saem exatamente no 5º andar. O elevador fica cheio por 5 segundos e depois vazio. Você precisa de poucos elevadores.
  • Cenário B (Caótico): 50 pessoas saem no 1º andar, 10 no 10º, e 40 ficam presas até o 20º. O elevador fica cheio por muito mais tempo e de forma desorganizada.

O estudo descobriu que, quando o tempo de permanência dos bebês é muito variável (o Cenário B), o hospital precisa de mais camas para garantir que ninguém fique sem lugar, mesmo que a média de tempo seja a mesma. Se todos saem no mesmo dia, o hospital pode ter menos camas. Se saem em dias aleatórios, as camas ficam ocupadas por mais tempo simultaneamente.

4. O Novo Plano: "Segurança" vs. "Eficiência"

Os autores propõem dois tipos de planejamento:

• O Plano "Econômico" (Baseado na Média): Você coloca o número de camas baseado na média. É eficiente, mas se vier uma semana ruim, o hospital entra em colapso.
• O Plano "Seguro" (Baseado em Risco): Você pergunta: "Qual é a chance de termos mais bebês do que camas em um dia qualquer?"
  • Se você quer ter apenas 1% de chance de ficar sem cama (muito seguro), precisa de muitas camas extras. O hospital ficará menos cheio em média (talvez 56% de ocupação), mas você dorme tranquilo sabendo que não vai faltar lugar.
  • Se você aceita 5% de chance de ficar sem cama, precisa de menos camas extras, mas o risco aumenta.

5. O Futuro: Olhando para o Horizonte

O sistema deles também consegue prever o futuro. Eles olham para quantos bebês nascerão nos próximos anos (demografia) e combinam isso com os padrões históricos. É como dizer: "Sabendo que nascerão mais bebês em 2030, e sabendo como eles costumam ficar doentes, quantas camas precisamos construir hoje?"

Resumo Final

Este artigo diz: Pare de usar regras antigas e médias simples para planejar hospitais. O mundo real é bagunçado e muda o tempo todo.

Para garantir que nenhum bebê fique sem uma cama de UTI, os hospitais precisam:

1. Aceitar que haverá dias de pico.
2. Ter um número de camas que garanta segurança (mesmo que isso signifique ter algumas camas vazias na maioria dos dias).
3. Entender que a "bagunça" no tempo de permanência dos pacientes exige mais espaço, não menos.

É como ter um guarda-chuva extra na mochila: você pode não usar todos os dias, mas quando a tempestade chegar, você estará preparado, em vez de ficar molhado e desesperado.

Resumo técnico

Resumo Técnico: Planejamento de Capacidade de Leitos Baseado em Dados Usando Modelos de Filas Mt/Gt/∞ com Aplicação em Unidades de Terapia Intensiva Neonatal (UTIN)

1. Problema e Contexto

Hospitais enfrentam desafios significativos no planejamento de capacidade de longo prazo para Unidades de Terapia Intensiva (UTIs), especialmente sob demanda incerta. As taxas de admissão flutuam ao longo do tempo devido a fatores sazonais e dinâmicas populacionais, enquanto a Duração de Permanência (LOS - Length of Stay) varia com a heterogeneidade dos pacientes e práticas clínicas.

O problema central identificado é a inadequação das abordagens tradicionais, que dependem de:

• Modelos de filas em estado estacionário: Assumem taxas de chegada e duração de serviço constantes, falhando em capturar a dinâmica temporal real.
• Regras heurísticas fixas: Como a "regra dos 85%" (manter a ocupação média abaixo de 85%), que ignora a variabilidade temporal.
• Consequências: Mesmo quando as metas de utilização de longo prazo são atendidas, a ocupação diária frequentemente excede 100% da capacidade, levando a sobrecarga e strain nos recursos. O estudo foca em UTIs Neonatais (UTINs) em Calgary, Canadá, onde a transferência de pacientes entre sites muitas vezes mascara desequilíbrios estruturais de demanda.

2. Metodologia

O artigo propõe um framework baseado em dados utilizando um modelo de fila de servidores infinitos não estacionário (Mt/Gt/∞). A abordagem integra decomposição estatística, ajuste paramétrico e estimativa de ocupação para gerar trajetórias diárias de ocupação e definir metas de capacidade.

Componentes Principais do Framework:

1. Estimativa de Taxas de Chegada (λt):

   • Utiliza a decomposição STL (Seasonal-Trend decomposition using Loess) para separar séries temporais de admissões diárias em tendência, sazonalidade e ruído.
   • Uma busca em grade (grid search) seleciona os parâmetros ótimos de janelas sazonais e de tendência para suavizar a taxa de admissão $\lambda_t$, capturando padrões cíclicos sem superajustar o ruído.

2. Modelagem da Distribuição de LOS (S):

   • A LOS é modelada como uma variável aleatória com distribuição dependente do tempo.
   • A média ($\mu_t$) e a variância ($\sigma^2_t$) da LOS são estimadas via STL e janelas rolantes, respectivamente.
   • São ajustadas distribuições paramétricas (Weibull, Lognormal, Gamma, Fisk, Exponencial) aos dados históricos. O parâmetro de forma ($\kappa$) é fixado por site (baseado na estabilidade observada), enquanto os parâmetros de escala são reparametrizados dinamicamente para corresponder aos momentos suavizados de LOS.
   • A probabilidade de sobrevivência condicional $P(S > u | \tau = t-u)$ é calculada para determinar a probabilidade de um paciente admitido no dia $t-u$ ainda estar no leito no dia $t$.

3. Estimativa de Ocupação Esperada (ρt):

   • A ocupação esperada é calculada como uma convolução das admissões passadas com as probabilidades de sobrevivência:
     $$\rho_t = \sum_{u=0}^{S_{max}} \lambda_{t-u} \cdot P(S > u | \tau = t-u)$$
   • Sob as suposições do modelo Mt/Gt/∞ (chegadas Poisson não homogêneas e LOS independente), o número de leitos ocupados em qualquer momento $t$ segue uma distribuição de Poisson com média $\rho_t$.

4. Estratégias de Planejamento de Capacidade:

   • Baseada em Média ($B_{average}$): Usa a regra clássica de média + raiz quadrada da média (buffer de segurança), ignorando a variabilidade temporal extrema.
   • Restrita por Transbordamento (Overflow-Constrained): Define a capacidade $B$ minimizando o número de leitos sujeito a uma restrição probabilística:
     $$P(L_t > \gamma B) \leq \alpha$$
     Onde $L_t$ é o número de leitos ocupados, $\gamma$ é um limiar de utilização (ex: 1.0 para capacidade nominal) e $\alpha$ é o risco máximo aceitável de exceder a capacidade (ex: 1% ou 5%).

5. Projeção Futura:

   • Um módulo de projeção acoplado a previsões demográficas (nascimentos) gera cenários futuros. As admissões anuais são escalonadas com base nas projeções de nascimentos, enquanto os padrões intra-anuais de chegada e LOS são reamostrados de anos históricos para preservar a variabilidade sazonal.

3. Contribuições Principais

• Framework Não Estacionário: Desenvolvimento de um modelo Mt/Gt/∞ que integra taxas de chegada variáveis no tempo e distribuições de LOS variáveis, superando as limitações de modelos de estado estacionário.
• Abordagem Híbrida Estatística-Paramétrica: Combinação de decomposição STL (para tendências) com ajuste de distribuições paramétricas (para caudas e variabilidade), permitindo capturar tanto a estrutura temporal quanto a heterogeneidade dos pacientes.
• Métricas de Resiliência Explícitas: Transição de regras heurísticas fixas (como 85%) para limites de capacidade baseados em probabilidade de transbordamento, oferecendo controle explícito sobre o risco de congestionamento.
• Análise de Variância da LOS: Demonstração de que a variância da LOS (dispersão) tem um efeito não intuitivo na capacidade necessária em sistemas de servidores infinitos: maior variância pode reduzir a capacidade necessária para um dado nível de risco, pois dispersa as altas taxas de saída, reduzindo a sobreposição de picos.
• Aplicação em Rede Multi-site: Ajuste dos dados para remover transferências baseadas em capacidade, revelando a demanda intrínseca de cada site e identificando desequilíbrios regionais ocultos.

4. Resultados Empíricos

O estudo foi aplicado a dados de 2016-2023 de cinco UTINs em Calgary.

• Inadequação de Heurísticas Estáticas: A regra de 85% subestimou a capacidade necessária. Em um site com alta variabilidade, a ocupação excedeu 100% da capacidade planejada em mais de 23% dos dias, apesar de atender à média de 85%.
• Trade-off Eficiência-Resiliência:
  • A estratégia baseada em média ($B_{average}$) resultou em alta utilização (~85%), mas com risco elevado de transbordamento.
  • Estratégias restritas por transbordamento ($B_{0.05}$ e $B_{0.01}$) exigiram mais leitos (ex: aumento de 14 para 20 leitos em um site específico para reduzir o risco de transbordamento de >23% para 5%), reduzindo a utilização média para ~58-64%, mas garantindo resiliência contra picos.
• Impacto da Variância da LOS: A análise de sensibilidade mostrou que reduzir a variância da LOS (tornando-a mais determinística) aumentou a capacidade necessária para manter o mesmo nível de risco de transbordamento. Isso ocorre porque uma menor variância concentra as altas taxas de saída, aumentando a sobreposição temporal dos pacientes.
• Projeções Futuras: As projeções para 2030 indicam que, mesmo com crescimento demográfico moderado, a necessidade de leitos sob critérios de resiliência ($B_{0.01}$) será significativamente maior do que as estimativas baseadas apenas em médias históricas.

5. Significância e Implicações

• Tomada de Decisão Baseada em Risco: O framework oferece uma base quantitativa para definir níveis de leitos alinhados com a tolerância ao risco da instituição, em vez de depender de regras empíricas genéricas.
• Visibilidade de Desequilíbrios Regionais: Ao modelar a demanda intrínseca (removendo transferências), o estudo revela que alguns sites podem estar cronicamente subdimensionados, dependendo de outros para aliviar a pressão, o que é insustentável a longo prazo.
• Flexibilidade Operacional: O modelo sugere que, em vez de apenas aumentar a infraestrutura fixa (que reduz a eficiência), os gestores podem considerar mecanismos flexíveis (leitos de pico temporários, staff cruzado) para gerenciar a variabilidade, mitigando o trade-off entre eficiência e resiliência.
• Generalizabilidade: Embora focado em UTINs, a estrutura Mt/Gt/∞ é aplicável a outras UTIs e unidades hospitalares onde a admissão imediata é prioritária e a demanda é não estacionária.

Em suma, o artigo demonstra que o planejamento de capacidade de UTIs deve evoluir de médias estáticas para modelos dinâmicos que incorporam explicitamente a variabilidade temporal e a distribuição completa da duração da permanência, utilizando limites probabilísticos para garantir a resiliência do sistema.