Estimation and inference in models with multiple behavioural equilibria

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Imagine que a economia é como um grande jogo de futebol onde os jogadores (os agentes econômicos) precisam tomar decisões sobre o futuro, como quanto vão gastar ou quanto cobrar pelos seus produtos.

A teoria clássica diz que todos esses jogadores são gênios matemáticos que conhecem perfeitamente as regras do jogo, a história de todos os jogos anteriores e conseguem prever o futuro com precisão absoluta. Isso é chamado de "Expectativas Racionais".

No entanto, os autores deste artigo, Alexander Mayer e Davide Raggi, dizem: "Espere aí! Na vida real, as pessoas não são gênios. Elas cometem erros, aprendem com o passado e ajustam suas previsões aos poucos."

Aqui está uma explicação simples do que eles fizeram, usando analogias do dia a dia:

1. O Cenário: A "Bússola" Imperfeita

Os autores criaram um modelo onde os jogadores usam uma bússola imperfeita para navegar. Em vez de saberem a verdade absoluta, eles olham para o que aconteceu ontem e tentam adivinhar o que vai acontecer amanhã. Eles usam uma regra simples: "Se ontem foi assim, hoje deve ser um pouco diferente, mas seguindo a mesma tendência".

O problema é que essa bússola pode apontar para vários destinos diferentes ao mesmo tempo.

Analogia: Imagine que você está tentando adivinhar o preço do pão amanhã.
- Cenário A: Você acha que o preço vai subir um pouco (expectativa baixa). Se todos pensarem assim, o preço realmente sobe um pouco.
- Cenário B: Você acha que o preço vai disparar (expectativa alta). Se todos pensarem assim, o preço realmente dispara.
- Ambos os cenários são "equilíbrios comportamentais". O sistema pode ficar preso em um ou no outro, dependendo de como as pessoas começaram a pensar.

2. O Desafio: Como Medir o Impossível?

O grande problema que os autores resolveram é: Como podemos medir e confiar nesses modelos se existem várias respostas possíveis?

Na estatística tradicional, se você tem várias respostas possíveis, os cálculos ficam confusos e as ferramentas comuns de "prova" quebram. É como tentar medir a temperatura de um líquido que pode estar fervendo ou congelando ao mesmo tempo, dependendo de como você olha.

Os autores desenvolveram um novo kit de ferramentas matemáticas para lidar com essa bagunça. Eles provaram que:

O sistema não fica louco para sempre; ele eventualmente se estabiliza em um padrão (chamado de "ergodicidade geométrica"). Pense nisso como um pião que, mesmo balançando no início, eventualmente gira de forma previsível.
Eles criaram um método para estimar as regras do jogo (os parâmetros estruturais) mesmo quando o sistema é complexo.

3. A Descoberta: Quando o Número de Soluções Muda

A parte mais interessante é o que acontece quando o sistema está "na corda bamba".

Situação Normal: O sistema tem uma ou três soluções claras. É fácil contar e medir.
Situação Crítica: Às vezes, o sistema tem duas soluções que se tocam (uma solução "dupla"). É como tentar equilibrar uma bola no topo de uma colina perfeitamente plana.
- Se você empurrar a bola um pouquinho para a esquerda, ela rola para um lado.
- Se empurrar para a direita, ela rola para o outro.
- Mas, na prática, você nunca sabe para qual lado ela vai rolar até que aconteça.

Os autores mostraram que, nesse caso crítico, a velocidade com que aprendemos a verdade é muito mais lenta. É como tentar adivinhar o resultado de um lançamento de moeda: você precisa de muito mais tentativas para ter certeza do que se a moeda fosse viciada de forma previsível.

4. A Aplicação Real: O Que Acontece nos EUA?

Eles testaram suas ferramentas com dados reais da economia dos Estados Unidos (inflação e desemprego).

O Resultado: Eles descobriram que a economia dos EUA pode estar vivendo em dois mundos diferentes ao mesmo tempo.
- Em um mundo, as pessoas têm expectativas de inflação muito "ancoradas" (estáveis, como se a bússola estivesse fixa).
- No outro mundo, as expectativas são muito voláteis e reagem exageradamente a qualquer notícia.
O modelo deles mostra que não existe apenas uma "verdade" sobre como a economia funciona, mas sim regimes de crença. Dependendo de como as pessoas aprendem e se ajustam, a economia pode ficar presa em um desses regimes.

Resumo em uma Frase

Os autores criaram um "GPS estatístico" capaz de navegar por economias onde as pessoas não são perfeitas e onde o futuro pode ter vários caminhos possíveis, ajudando-nos a entender quando estamos em um caminho estável e quando estamos prestes a mudar de direção de forma imprevisível.

Por que isso importa?
Para os banqueiros centrais e governos, saber que existem múltiplos equilíbrios é crucial. Significa que uma pequena mudança na política ou uma notícia inesperada pode empurrar a economia de um estado de calma para um estado de caos (ou vice-versa), e agora temos ferramentas melhores para medir esse risco.

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1. Problema e Contexto

O artigo aborda a estimação e a inferência estatística em modelos macroeconômicos que incorporam aprendizado adaptativo e possuem múltiplos equilíbrios comportamentais.

Contexto Teórico: Tradicionalmente, os modelos macroeconômicos assumem a Hipótese das Expectativas Racionais (RE), onde os agentes conhecem a estrutura do modelo. No entanto, evidências empíricas sugerem que os agentes formam expectativas de forma limitada (racionalidade limitada), utilizando regras de aprendizado simples, como a estimativa recursiva de parâmetros.
O Desafio Específico: O foco é uma Curva de Phillips de Nova Keynes (NKPC) onde os agentes, ao invés de conhecerem a equação estrutural correta, assumem erroneamente que a inflação segue um processo autorregressivo de primeira ordem (AR(1)).
Complexidade: Essa especificação leva a um Equilíbrio de Aprendizado Comportamental (BLE). Devido à não linearidade do sistema e à interação entre as expectativas dos agentes e a dinâmica real da economia, podem coexistir múltiplos equilíbrios (soluções de ponto fixo para a lei de movimento percebida).
** Lacuna na Literatura:** A literatura econométrica existente lida bem com modelos de aprendizado, mas enfrenta dificuldades significativas quando há múltiplos equilíbrios e quando os parâmetros estruturais (como o ganho de aprendizado) não são identificados conjuntamente em certos casos. A teoria assintótica padrão (consistência e normalidade) muitas vezes falha ou requer condições não triviais nesses cenários.

2. Metodologia

Os autores desenvolvem uma estrutura teórica rigorosa para lidar com a não linearidade e a presença de múltiplos equilíbrios.

A. O Modelo

Estrutura: Uma NKPC forward-looking onde a inflação ( $\pi_t$ ) depende das expectativas de inflação futura ( $\pi^e_{t+1}$ ) e do hiato do produto ( $y_t$ ).
Aprendizado: Os agentes usam um algoritmo de aproximação estocástica com ganho constante (Constant-Gain Learning) para estimar os parâmetros de um modelo AR(1) percebido para a inflação.
DGP (Processo Gerador de Dados): O sistema resultante é altamente não linear e pode ser representado como uma cadeia de Markov não linear em um espaço de estado aumentado (incluindo inflação, estimativas dos agentes, hiato do produto e variáveis auxiliares de aprendizado).

B. Propriedades Probabilísticas

Ergodicidade Geométrica: O primeiro passo técnico crucial é provar que o processo estocástico subjacente é geometricamente ergódico. Isso garante que o sistema esquece suas condições iniciais exponencialmente rápido e converge para uma distribuição estacionária única, independentemente da inicialização.
Técnica: Os autores não podem usar resultados padrão da literatura de séries temporais não lineares (como os de Tong ou Straumann & Mikosch) devido à falta de condições de Lipschitz na equação de esqueleto. Em vez disso, derivam as propriedades a partir de princípios fundamentais, utilizando condições de Lyapunov-Foster e verificando acessibilidade e aperiodicidade.

C. Estimação

Método: Utilizam o Estimador de Mínimos Quadrados Não Lineares (NLS) para estimar os parâmetros estruturais $\theta = (\gamma, \delta, \psi)'$ , onde $\gamma$ é o ganho de aprendizado, $\delta$ é o fator de desconto e $\psi$ é a inclinação da curva de Phillips.
Consistência: Provam a consistência forte do estimador NLS, adaptando argumentos de Francq et al. (2024) para lidar com a não linearidade complexa induzida pelos estimadores recursivos dos agentes.
Identificação: Tratam o caso onde o parâmetro $\delta = 0$ , o que torna o ganho $\gamma$ não identificado. Mostram que, mesmo nesse caso, os demais parâmetros estruturais mantêm consistência na ordem de $\sqrt{n}$ .

D. Inferência Assintótica

Distribuição Assintótica: Estabelecem a normalidade assintótica do estimador NLS para os parâmetros estruturais.
Inferência sobre Equilíbrios: Analisam a distribuição assintótica dos equilíbrios comportamentais (raízes de uma função polinomial).
- Caso de Raízes Simples: Convergem na taxa $\sqrt{n}$ .
- Caso de Raízes Repetidas (Múltiplos Equilíbrios): Quando ocorre uma raiz dupla (ponto de tangência), a identificação é de segunda ordem. Isso leva a uma taxa de convergência mais lenta ( $n^{1/4}$ ) e a uma distribuição limite não padrão.
- Número de Raízes: O número de equilíbrios estimados não converge em probabilidade para o número verdadeiro quando há raízes repetidas; ele oscila entre 1 e 3 raízes com probabilidade 0.5, refletindo a instabilidade da contagem de raízes perto de uma bifurcação.

E. Procedimentos de Inferência Prática

Testes de Hipótese: Propõem testes de Wald para os parâmetros estruturais. Para o caso de parâmetros não identificados sob a hipótese nula (ex: $\delta=0$ ), utilizam um teste do tipo supF (supremo de estatísticas F) com valores críticos obtidos via bootstrap de multiplicadores gaussianos.
Bandas de Confiança Uniformes: Desenvolvem bandas de confiança uniformes para a função que define os equilíbrios ( $G(\beta)$ ), permitindo inferência sobre a localização e o número de equilíbrios, utilizando métodos de Delta method funcional e bootstrap.

3. Resultados Principais

Validação Teórica: Demonstraram que, sob condições moderadas, o modelo de aprendizado com ganho constante e múltiplos equilíbrios é geometricamente ergódico, justificando o uso de leis dos grandes números e teoremas do limite central.
Propriedades do Estimador: O estimador NLS é consistentemente forte e assintoticamente normal para os parâmetros estruturais.
Comportamento Anômalo em Raízes Repetidas:
- Quando o sistema está próximo de um equilíbrio com raiz dupla, a taxa de convergência para a localização do equilíbrio cai de $\sqrt{n}$ para $n^{1/4}$ .
- O número de equilíbrios estimados não é consistente (não converge para o número real de equilíbrios), mas a média dos equilíbrios próximos à raiz dupla converge mais rapidamente se for utilizada uma média simples (efeito de "Jackknife").
Aplicação Empírica (EUA):
- Aplicaram o modelo a dados trimestrais dos EUA (1960-2019).
- Resultado Chave: Dependendo da medida de "slack" (hiato do produto vs. custo unitário do trabalho), o modelo revela regimes diferentes.
  - Com o hiato do produto, o modelo estima três equilíbrios comportamentais (dois estáveis, um instável), sugerindo que a economia pode alternar entre regimes de baixa e alta persistência de inflação.
  - Com o custo unitário do trabalho, apenas um equilíbrio único e de baixa persistência é encontrado.
- Isso ilustra como a incerteza sobre a localização dos equilíbrios e a dinâmica de aprendizado podem ser caracterizadas empiricamente.

4. Contribuições Chave

Generalização da Teoria de Aprendizado: Preenche uma lacuna na literatura econométrica fornecendo a teoria assintótica completa para modelos de aprendizado com múltiplos equilíbrios, algo que antes era tratado apenas via simulação ou métodos bayesianos sem fundamentos frequentistas rigorosos.
Tratamento de Não Identificação: Oferece procedimentos robustos para inferência quando parâmetros de aprendizado não são identificados sob a hipótese nula, utilizando testes supF e bootstrap.
Análise de Raízes Repetidas: Desenvolve uma teoria detalhada sobre a distribuição assintótica de raízes de funções onde a derivada primeira se anula (identificação de segunda ordem), conectando a econometria de aprendizado a resultados de identificação de segunda ordem em modelos GMM.
Ferramentas Práticas: Fornece algoritmos e procedimentos de bootstrap para a construção de bandas de confiança uniformes, essenciais para a análise de políticas em cenários de múltiplos equilíbrios.

5. Significado e Implicações

Este trabalho é fundamental para a macroeconomia moderna e a econometria de séries temporais não lineares. Ele valida o uso de métodos frequentistas (como Mínimos Quadrados) em ambientes complexos de aprendizado adaptativo, que eram anteriormente dominados por abordagens bayesianas devido à dificuldade de derivação analítica.

A descoberta de que a contagem de equilíbrios pode ser inconsistente em amostras finitas, mesmo que as localizações sejam consistentes, tem implicações profundas para a formulação de políticas monetárias. Se um banco central não consegue distinguir com certeza se a economia está em um regime de "expectativas ancoradas" (baixa persistência) ou "desancoradas" (alta persistência) devido à presença de múltiplos equilíbrios, a incerteza sobre o estado do sistema deve ser incorporada diretamente na análise de risco e na tomada de decisão.

O artigo estabelece uma base sólida para extensões futuras, incluindo versões multivariadas do modelo e a relaxação de condições de regularidade para dados de painel.