Implementing Jastrow--Gutzwiller operators on a quantum computer using the cascaded variational quantum eigensolver algorithm

本文提出了一种利用级联变分量子本征求解器算法在量子计算机上实现非幺正 Jastrow–Gutzwiller 算符的新方法，并在 IBM Q Lagos 设备上针对 Hubbard 模型进行了实验验证。

要点

想象一下，你正在寻找一道复杂菜肴（比如舒芙蕾）的完美食谱。你知道基本食材（原子），但舒芙蕾美味的秘诀在于这些食材在烘烤过程中如何相互作用。如果你忽略这些相互作用，你的菜肴就会扁平且无味。

在量子物理世界中，科学家们正试图寻找系统最低能量状态（如材料中的电子）的“完美食谱”。这被称为“基态”。

以下是使用日常类比对该论文内容的简要拆解：

1. 问题：“非幺正”厨师

量子计算机就像极其快速但非常脆弱的厨师。它们能够探索经典计算机无法处理的巨大可能性空间（希尔伯特空间）。然而，这里有一个陷阱。

为了获得最佳食谱，科学家们希望使用一种称为Jastrow–Gutzwiller 算符的特殊工具。可以将此工具想象为一种“风味增强剂”，它能向混合物中添加复杂的多食材相互作用。

• 问题所在： 这种风味增强剂是“非幺正”的。用量子术语来说，这意味着它就像是一个违反厨房规则的食谱步骤。你无法在标准量子计算机上直接按下一个按钮来完成它；这就像试图通过先“反向烘烤”来烤蛋糕一样。直接在数学上实现它非常困难。

2. 解决方案：“级联”装配线

作者提出了一种使用此工具的新方法，称为级联变分量子本征求解器（CVQE）。

他们不是试图强迫量子计算机一次性完成不可能的“非幺正”步骤，而是将过程分解为两个部分，就像装配线一样：

• 部分 A（幺正厨师）： 量子计算机执行标准的、遵守规则的操作。它利用某种称为“Thouless 算符”的东西，将食材重新排列成良好的初始形状。
• 部分 B（风味增强剂）： “非幺正”风味增强剂（Jastrow–Gutzwiller 算符）则以不同方式处理。作者没有试图将其烘焙进量子电路中，而是将这一特定部分的繁重工作转移到了经典计算机（普通笔记本电脑）上。

类比： 想象你在建造一座房子。量子计算机是完美铺设砖块的机械臂。“风味增强剂”则是油漆和壁纸。与其试图让机械臂在铺砖的同时刷漆（它做不到这一点），不如让机械臂先铺好砖，然后由人类画家（经典计算机）根据机械臂测量的数据来涂刷油漆。它们通过循环协作，最终建成完美的房子。

3. 测试：“ Hubbard 模型”

为了证明该方法有效，团队在著名的物理难题Hubbard 模型上测试了他们的方法。

• 它是什么？ 想象它是一个由微小岛屿（格点）组成的网格，电子（客人）可以在其中跳跃。有时，两个客人试图坐在同一个岛屿上，从而导致“拥挤”问题（相互作用）。
• 设置： 他们在两种形状上进行了测试：一个正方形和一个三角形，每个形状都有四个点位。
• 目标： 他们希望找到这些电子的最低能量状态，特别是当网格处于“半填充”状态时（四个点位上有两个客人）。

4. 结果：真实硬件与模拟

他们在名为IBM Q Lagos的真实量子计算机（拥有 7 个量子比特，即“量子位”）上运行了实验。

• 挑战： 真实的量子计算机充满噪声。这就像试图在风大的房间里听清耳语。他们获得的数据是“有噪声的”，意味着结果并不完全清晰。
• 技巧： 为了使结果更清晰，他们使用了一个巧妙的捷径。由于电子具有“自旋”（向上或向下），他们仅让量子计算机处理“自旋向上”的电子，而在经典计算机上模拟“自旋向下”的电子。这将所需的量子比特数量减半，显著降低了噪声。
• 结果：
  • 他们的方法（图表中的绿色和橙色线条）非常接近“精确”答案（红色虚线），即如果你能在超级计算机上完美求解数学问题所能得到的结果。
  • 即使存在真实机器带来的噪声，他们的方法也比单纯猜测效果更好。
  • 他们证明，通过将复杂的“风味增强剂”部分转移到经典计算机上，他们可以在不需要额外复杂量子硬件的情况下获得准确结果。

总结

该论文展示了一种新方法，教导量子计算机如何处理粒子间的复杂相互作用。与其强迫量子计算机执行数学上被禁止的操作，他们拆分了任务：量子计算机负责物理重排，而普通计算机处理复杂的关联数学。他们通过在小型网格上解决关于电子的难题，在真实且充满噪声的机器上证明了该方法的有效性，获得了与完美理论答案惊人接近的结果。

技术摘要

技术摘要：使用级联变分量子本征求解器在量子计算机上实现 Jastrow–Gutzwiller 算符

问题陈述
量子计算机有望利用指数级巨大的希尔伯特空间来确定量子系统的基态，而这一任务对经典计算机而言往往难以处理。虽然像变分量子本征求解器（VQE）这样的变分算法因其电路深度较短而对近期设备具有吸引力，但它们严重依赖于试探态（ansatz）的选择。改进变分态的一种有力方法是使用 Jastrow–Gutzwiller 算符，该算符在试探态中引入多体关联（具体为密度 - 密度关联以及对双占据轨道的限制）。然而，Jastrow–Gutzwiller 算符是非幺正的。这种非幺正性给量子计算机上的直接实现带来了重大挑战，因为量子计算机本质上是通过幺正演化进行操作的。现有的方法通常需要辅助量子比特或近似处理来应对这种非幺正性，这可能导致电路深度和复杂性超出当前硬件的能力范围。

方法论
作者提出了一种利用**级联变分量子本征求解器（CVQE）**算法实现 Jastrow–Gutzwiller 算符的新颖方案。该方法的核心是一种形式为 $\hat{A}(\theta) = \hat{G}(\theta)\hat{U}$ 的试探态，其中：

• $\hat{U}$ 是一个幺正的 Thouless 算符，用于在一体希尔伯特空间中执行基变换（例如，将福克态变换为费米海）。
• $\hat{G}(\theta)$ 是非幺正的 Jastrow–Gutzwiller 算符，定义为 $\hat{G}(\theta) = \exp(-\sum_{qq'} \theta_{qq'} \hat{n}_q \hat{n}_{q'})$，其中 $\hat{n}_q$ 是粒子数算符，$\theta_{qq'}$ 是变分参数。

该方案的关键创新在于能量期望值 $E(\theta) = \frac{\langle \Psi_n | \hat{G}(\theta) \hat{H} \hat{G}(\theta) | \Psi_n \rangle}{\langle \Psi_n | \hat{G}^2(\theta) | \Psi_n \rangle}$ 的计算方式。由于 $\hat{G}(\theta)$ 在粒子数占据基下是对角的，作者证明算符乘积中的指数项可以根据测量结果在经典计算机上进行评估，而无需在量子计算机上将指数展开为泡利字符串的求和。

该过程包括：

1. 态制备：使用由幺正算符 $\hat{f}$ 分解导出的基本单量子比特和双量子比特门组成的量子电路，制备初始态 $|\Psi_n\rangle = \hat{U}|\Phi_n\rangle$。
2. 测量：在计算基（或针对动能项的旋转基）下测量系统，以获得粒子占据数。
3. 经典后处理：利用测得的粒子占据数，在经典计算机上评估 $\hat{G}(\theta)$ 和 $\hat{G}^2(\theta)$ 的对角指数因子。这避免了需要额外的量子比特或深层电路来模拟非幺正算符。
4. 优化：在经典计算机上调整参数 $\theta$，以最小化能量期望值。

主要贡献

• 非幺正算符实现：本文提出了一种在量子硬件上实现非幺正 Jastrow–Gutzwiller 算符的方法，无需添加辅助量子比特或近似该算符，而是利用了 CVQE 框架。
• 高效测量方案通过将问题映射为保持粒子数算符对角的形式，作者表明指数项可以直接基于测量结果插入到能量计算中，与将算符展开为泡利字符串相比，显著降低了测量开销。
• 自旋物种解耦：该方法允许仅在量子计算机上评估单个自旋物种的电路，而另一种自旋物种则通过经典方式处理。这有效地将演示所需的量子比特数量减少了一半。
• 实验演示：该方法在IBM Q Lagos量子处理器（一个 7 量子比特设备）上进行了演示，针对半满条件下具有周期性边界条件的方形和三角晶格上的四站点 Hubbard 模型。

结果
作者将该方法应用于具有动能参数 $k$ 和相互作用强度 $d$ 的 Hubbard 模型。

• 能量最小化：他们成功地对 Gutzwiller 参数 $\theta$ 最小化了能量期望值 $E(\theta)$。
• 比较：将结果与精确对角化（精确基态能量）以及该方法的无噪声经典模拟进行了比较。
• 噪声分析：
  • 当在量子设备上运行完整计算（包括自旋向上和自旋向下电子）时，噪声在能量期望值中引入了误差。
  • 当仅在量子设备上运行单个自旋物种（另一种通过经典模拟）时，误差显著降低。
  • 能量期望值的误差随相互作用强度 $d$ 的变化保持相对恒定，在某些情况下，随着 $d$ 接近 $k$，误差甚至略有下降。
• 优化：通过定位能量曲线的极小值找到了最优参数 $\theta^*$，由此产生的优化能量紧密追踪了精确基态能量，特别是在单自旋物种配置中。

意义与主张
本文主张，这种方法使得在近期量子硬件上实现 Jastrow–Gutzwiller 试探态成为可能，而无需其他非幺正实现方案所伴随的辅助量子比特资源开销或近似误差。通过将非幺正指数因子的评估移至经典计算机，该方法将变分参数的优化与每次参数更新时重新运行量子电路的需求解耦。此外，仅在量子设备上模拟一个自旋物种而将另一个物种通过经典方式处理的能力，将量子比特数量需求减少了一半，使得该方法对于当前连接性和相干时间有限的设备更具可行性。在 IBM Q Lagos 设备上的演示验证了这种“级联”方法在费米子系统（特别是 Hubbard 模型）中的可行性，为将强关联效应纳入变分量子算法提供了一条途径。