Instabilities of ring-rivulets: Impact of substrate wettability

想象一下，你面前的桌面上有一个微小而完美的环状水滴。如果这张桌子只是一个普通的平面，这个水环是不稳定的。它就像一个即将破裂的气球，但它不是在破裂，而是在试图自我修复。根据水环的宽度与其自身尺寸的比例，它会发生两种情况之一：

碎裂成珠状： 如果水环又细又窄，它会破碎成一串分离的水滴，就像一串珍珠项链。
塌陷成水洼： 如果水环又厚又宽，它会向内收缩，将所有的水拉向中心的圆润水洼。

这篇论文就像一本控制这种水环的“食谱”。研究人员通过计算机模拟，观察如果改变水环下方桌子（基底）的“纹理”，会发生什么。他们发现，通过在桌面上绘制特定的图案，他们可以强迫水环完全按照他们的意愿行事，即使水环原本想做别的事情。

以下是他们是如何实现的，使用了简单的类比：

1. “魔术贴轨道”（环形带）

想象水环是一个在跑道上的跑步者。在普通的跑道上，跑步者可能会感到疲劳并停在中间（塌陷），或者绊倒并散落（破碎）。

研究人员在水环正下方放置了一条特殊的“魔术贴”条（一个具有额外粘性的环形表面）。

结果： 这个粘性环起到了围栏的作用。它阻止了水向中心水洼塌陷。无论水环有多宽，它必须破碎成液滴，因为“魔术贴”将其固定在了原处。
控制： 通过调整“魔术贴”相对于桌子其余部分的粘性程度，他们可以精确控制形成了多少个液滴。这就像调节吉他弦的张力以获得特定数量的音符。

2. “山丘与山谷”（径向梯度）

接下来，他们改变了桌子的性质，使“粘性”随着从中心向外的移动而逐渐变化，就像一个平缓的山丘或山谷。

“山谷”（向下倾斜）： 想象桌子越靠近中心就变得越粘。这就像一个滑梯。水环会感受到一种向中心的强大拉力。即使水环原本很宽、通常会破碎成珠状，这个“滑梯”也会迫使它向内冲刺并塌陷成一个单一的水洼。
“山丘”（向上倾斜）： 想象桌子越靠近中心就变得越不粘（或者越向外越粘）。这就像一个水需要攀爬的山丘。如果水环试图向内塌陷，它会撞上一道阻力“墙”。这完全阻止了塌陷，使水环保持稳定且完整，即使在普通的桌子上它原本是宽大且不稳定的。

大局观

主要的结论是，这些液态环的形状和行为不仅仅取决于水本身；它们深受其所处表面的影响。

均匀表面： 水遵循其自然本能（破碎或塌陷）。
图案化表面： 研究人员可以将表面“编程”为一名交通警察。他们可以告诉水：“你必须破碎成10个液滴，”或者“你必须保持为一个大的环，”或者“你必须冲向中心。”

通过仅仅改变桌子化学层面的“纹理”并形成特定图案，他们获得了完全的控制权，可以决定水环是破碎、塌陷还是保持稳定，以及精确创造出多少个液滴。

技术摘要：环形细流的不稳定性：基底润湿性的影响

问题陈述
本文研究了沉积在部分润湿基底上的环形液体细流（ring-shaped liquid rivulets）的脱湿动力学。虽然由瑞利-普拉托（Rayleigh-Plateau）不稳定性驱动的直线型细流破碎是一个已被深入研究的问题，但环形细流由于其非均匀曲率以及内外接触线的不同曲率，呈现出额外的复杂性。先前的理论和数值研究已经确定，环形细流的最终命运——是塌缩成单个中心液滴还是破碎成多个液滴——主要取决于长宽比（ $\psi_0$ ，定义为细流宽度与半径之比）和基底接触角。然而，通过工程化设计的基底润湿性图案来主动控制这些不稳定性路径及最终脱湿形貌的可能性，在环形几何结构领域仍很大程度上未被探索。本研究调查了利用空间变化的接触角来操纵环形细流的稳定性、破碎时间尺度以及最终液滴构型的可行性。

方法论
作者采用基于薄膜方程（TFE）的数值模拟，通过 Swalbe 求解器使用格子玻尔兹曼方法（LBM）进行求解。控制方程描述了薄膜厚度 $h(x,t)$ 的演化：
$\partial_t h(x,t) = \nabla \cdot (M_\delta(h) \nabla p)$
其中压力 $p$ 包含毛细作用力（ $-\gamma \nabla^2 h$ ）和一个考虑到流体-固体相互作用并允许空间变化平衡接触角 $\theta(x)$ 的分力项 $\Pi(h, \theta)$ 。迁移率函数 $M_\delta(h)$ 引入了一个有效滑移长度 $\delta$ ，用以正则化接触线奇异性。

初始条件为一个以原点为中心的环形帽状剖面，该剖面经过弛豫达到平衡形状，并添加了高斯噪声扰动。研究系统地改变了以下变量：

均匀基底： 恒定的接触角 $\theta_0$ 和长宽比 $\psi_0$ 。
环形带图案： 在初始细流宽度内限定的一个低接触角 $\theta_a$ 区域，周围环绕着高接触角 $\theta_b$ 的背景。
径向梯度： 指向内侧（ $\theta$ 向中心减小）或指向外侧（ $\theta$ 向中心增大）的线性接触角分布。

关键结果

均匀基底：
- 破碎与塌缩： 一个临界长宽比 $\psi_0 \approx 0.2$ 区分了破碎与塌缩模式。当 $\psi_0 < 0.2$ 时，环破碎成多个液滴（ $n_d > 1$ ）；当 $\psi_0 > 0.2$ 时，它塌缩成单个中心液滴。
- 液滴数量： 在破碎机制下，液滴数量 $n_d$ 通常遵循线性稳定性分析（LSA）的预测 $n_d \approx \pi / (2\psi_0)$ ，特别是在小接触角情况下。然而，对于较大的接触角（ $\theta_0 > 10^\circ$ ）， $n_d$ 在很大程度上与 $\psi_0$ 无关，这表明该过程是由降低的基底润湿性驱动的。
- 时间尺度： 对于极小的接触角，破碎时间（ $\tau_b$ ）随 $\psi_0$ 增加；但对于较大的角度， $\tau_b$ 变得与 $\psi_0$ 无关。塌缩时间（ $\tau_c$ ）满足 $\tau_c \sim \psi_0^{-2}$ ，这一关系是通过现象学推导并经模拟证实的。
环形带图案（低接触角带）：
- 抑制塌缩： 将细流沉积在低接触角环形带上（周围为高接触角背景）可以有效地消除塌缩模式。对于所有测试的长宽比，环都会发生破碎。
- 形貌控制： 带状区域与背景接触角之间的差异可作为控制参数。增加这种差异会导致形成的液滴数量偏离均匀情况下的预测，并变得与初始长宽比无关。
- 稳定性： 该图案增加了细流抵抗破裂的稳定性，与均匀基底相比，延长了破碎时间。
径向梯度：
- 向内梯度（润湿性向中心增加）： 这种配置加速了环的收缩。陡峭的梯度可以诱发快速塌缩，从而完全阻止破碎。较缓的梯度允许环在收缩的同时发生破碎，导致液滴最终在中心处合并。这实现了对中心附近液滴形成的瞬态控制。
- 向外梯度（润湿性向中心减小）： 这种梯度起到了对抗宽环（ $\psi_0 > 0.2$ ）自然塌缩倾向的稳定作用。它可以稳定环的主半径，防止孔洞闭合，从而允许以环形形状沉积更大体积的液体。

意义与主张
本文声称，通过调节基底润湿性图案，可以实现对环形细流稳定性及脱湿形貌的精确控制。具体而言：

模式选择： 可以通过环形带选择性地移除塌缩模式，或通过向外梯度选择性地移除破碎模式，从而决定系统是演化为单个液滴还是液滴阵列。
形貌控制： 液滴的数量和位置不仅可以由初始几何形状控制，还可以通过接触角对比度和梯度方向进行操纵。
时间尺度工程： 润湿性图案可以改变脱湿的特征时间尺度，即加速收缩或稳定环而不使其塌缩。

作者得出结论，这些发现提供了一种控制环形细流命运的机制，而环形细流是圆形液滴图案的前驱体。他们建议未来的工作可以探索随时间变化的润湿性图案，以进一步操纵不稳定性并发现新的脱湿路径，尽管他们并未在所呈现的数值框架之外提出具体的实验实施方案。

1. “魔术贴轨道”（环形带）

2. “山丘与山谷”（径向梯度）

大局观

技术摘要：环形细流的不稳定性：基底润湿性的影响

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