Non-invertible symmetries out of equilibrium: Eigenstate order and Floquet physics

本文展示了 $\text{Rep}(D_8)$ 非可逆对称性如何通过诱导独特的谱简并、在无序哈密顿量中产生不同的本征态阶序，以及在 Floquet 系统中产生表现出温度依赖性振荡或倍周期现象的新型边缘模，从而在非平衡动力学中显现，同时在保持对可逆对称性对称的同时，又在非可逆对称性下带有电荷。

要点

想象一个广阔而复杂的舞池，粒子（量子比特）在其中不断移动。在量子物理的世界中，科学家通常研究这个舞池的“基态”——即所有人都在最舒适的位置静止不动时的平静、安静时刻。然而，这篇论文提出了一个不同的问题：当音乐变得响亮，舞者跳得飞快，系统远离平静时，会发生什么？

Yabo Li 和 Aditi Mitra 两位作者探索了一种控制这种混乱舞蹈的奇特新“规则”，称为不可逆对称性（non-invertible symmetry）。

魔镜 vs. 破碎的镜子

为了理解这一点，我们使用镜子的类比。

• 普通（可逆）对称性： 想象一面完美的镜子。如果你看向它，你会看到一个倒影。如果你再看第二面镜子里的倒影，你会回到原本的自己。你可以撤销这个动作。这就是物理学中的标准对称性。
• 不可逆对称性： 现在，想象一面“魔镜”，它不仅能反射你，还会将你分裂成两个版本或将你投影到一个特定的群组中。如果你试图通过看第二面镜子来撤销这个动作，你并不会回到原本的自己。你可能会得到一个你的投影，或者什么也得不到。你无法简单地“撤销”这个动作。这就是作者所说的不可逆。

这篇论文关注的是这类魔镜中的一种特定类型，称为 Rep(D8)。

混乱之舞

研究人员研究了在系统中引入“无序”（disorder）时会发生什么——就像随机摇晃舞池一样。

• 发现： 即使在这样混乱、嘈ار的环境中，这些“魔镜”规则也会创造出特殊的模式。
• 类比： 想象一群人在跳舞。通常，如果你摇晃地板，所有人都会感到混乱，模式也会随之消失。但有了这些特殊的规则，舞者们会形成配对，即使在地板摇晃时也能保持完美的同步。这些配对是“简并的”（degenerate），意味着它们具有完全相同的能量，且无序性无法轻易打破它们。要最终打破这种完美的同步，需要巨大的能量（其规模随整个房间的大小而变化）。

“弦”之序

他们是如何知道这些模式存在的？他们使用了一种叫做**弦序参数（string order parameter）**的工具。

• 类比： 想象一串长长的珠子。在一个正常的、混乱的系统中，如果你拉动一端，整串珠子都会随机摆动。但在这些特殊的量子态中，这根“弦”保存着一个秘密信息。即使你观察相距很远的珠子，它们仍然“知道”彼此在做什么。论文表明，在这些不可逆态中，这种连接的“弦”依然强韧且清晰可见，作为一个指纹，证明即使在激发态和嘈杂态中，这种特殊对称性依然存在。

边缘舞者：零模与倍频模

论文中最令人兴奋的部分发生在系统的边缘（舞池的边界）。

• 设定： 研究人员创造了一个场景，其中舞池的一侧遵循一套舞蹈规则，而另一侧遵循另一套规则。它们相遇的地方就是一个“界面”（interface）。
• 结果： 在这个界面处，出现了一个特殊的舞者（边缘模）。
  1. 零模（Zero Mode）： 在一个标准的、平静的系统中，这个舞者完美地静止不动（零能量）。
  2. 倍频模（Period-Doubled Mode）： 在一个“Floquet”系统中（其中舞池的规则会像闪光灯一样有节奏地变化），这个舞者不仅仅是静止不动。他们开始以比音乐慢一倍的节奏起舞。如果音乐每秒跳动一次，舞者则每两秒移动一次。

转折：谁是舞者？

这是论文发现的一个独特转折。

• 在以往对类似“慢舞”边缘模的研究中，舞者带有“普通”对称电荷（就像穿着一件与音乐颜色相匹配的衬衫）。
• 在本篇论文中： 舞者对普通规则是中性的（他们没有穿那件颜色匹配的衬衫），但他们被“魔镜”（不可逆）规则所携带电荷。
• 隐喻： 想象一个夜店的保安。通常，保安检查特定的身份证（普通对称性）。但在这种新类型的夜店里，保安忽略身份证，而是检查一种秘密握手（不可逆对称性）。边缘模是唯一懂得这种秘密握手的人，这使得他们受到保护且独一无二。

总结

简单来说，这篇论文表明，即使在一个量子系统是混乱、嘈杂且远离平衡态的情况下，这些奇特的“不可逆”规则仍然充当着隐藏的安全网。它们：

1. 保护特定的能量层级不被无序破坏。
2. 创造了能在混沌中生存的长程连接（弦）。
3. 在边界处创造了特殊的“边缘舞者”，他们以独特的、缓慢的节奏起舞，受魔镜规则而非标准规则的保护。

作者得出结论，这些对称性不仅仅是平静、安静系统中的理论好奇物；即使在量子世界中最狂野、最充满能量的部分，它们也是稳健且活跃的。

技术摘要

技术摘要：非可逆对称性的非平衡态研究：本征态序与 Floquet 物理学

问题陈述
虽然非可逆对称性（由融合范畴描述）在基态和对称保护拓扑（SPT）相的背景下已被广泛研究，但其在非平衡动力学中的表现仍很大程度上未被探索。具体而言，目前尚不清楚这些不构成群（其作用与共轭作用并不产生单位元）的对称性，如何影响能量谱、本征态序以及在能量守恒（哈密顿量）和离散时间（Floquet）动力学中的边缘模稳定性。作者重点研究了 $\text{Rep}(D_8)$ 非可逆对称性——这是一个无异常的示例——以调查这些现象在基态扇区之外的表现。

方法论
作者结合了解析推导和在 $L=4N$ 个量子比特的一维晶格上的数值模拟。

1. 模型构建： 作者利用三个生成元在晶格上定义了 $\text{Rep}(D_8)$ 对称性：两个可逆的 $\mathbb{Z}_2$ 对称性（$\eta_e, \eta_o$）和一个非可逆的 Kennedy-Tasaki (KT) 对偶算符（$K_T$）。KT 算符通过顺序电路和矩阵乘积算符（MPO）构造实现。
2. 哈密顿量动力学： 他们构建了对应于 $\text{Rep}(D_8)$ 的平凡、奇（odd）和偶（even）SPT 相的定点哈密顿量。为了研究本征态序，他们在这些哈密顿量中引入了猝灭无序（quenched disorder）。他们分析了谱统计（特别是 $\langle r \rangle$ 比率）以及通过截断 KT 算符 MPO 定义的弦序参数的行为。
3. Floquet 动力学： 他们构建了具有分隔不同 SPT 相的空间边界的 Floquet 幺正算符和哈密顿量。通过在特定对称扇区内将系统映射到自由费米子，他们利用 Jordan-Wigner 变换推导了边缘模的精确解。
4. 动力学分析： 他们计算了不同有效温度下边缘算符的自相关函数，以探测边缘模的稳定性及其振荡频率。

核心贡献与结果

• 谱简并与本征态序：

  • 作者证明了非可逆 $K_T$ 对称性能在无序哈密顿量中保护谱简并。与标准对称性（其中无序会在低阶处消除简并）不同，受 $K_T$ 保护的简并只能通过随系统尺寸缩放的扰动来消除。这是因为 $K_T$ 将本征态映射到简并的伙伴，而消除这种简并需要涉及局部算符大规模乘积的有效哈密顿量的非对角项。
  • 本征态序： 在无序系统中，作者发现奇 SPT 哈密顿量的能谱包含同时具有平凡序和非平凡 SPT 序（通过非零的弦序参数期望值检测）的本征态。这与普通的 SPT 不同，后者的能谱通常仅表现出单一类型的序。然而，在平凡相的微扰机制下，能谱会回归到仅包含平凡序的状态。
  • 相变： 当耦合奇 SPT 和偶 SPT 哈密顿量时，本征态序之间的转变伴随着 $\langle r \rangle$ 比率的变化以及相应弦序参数的消失。

• 边缘模动力学：

  • 哈密顿量动力学： 在两个不同 SPT 相的界面处，系统承载着边缘模。在存在无序（耦合强度的波动）的情况下，这些模式并非精确的零模，而是表现出缓慢振荡。振荡频率由簇模型（cluster model）扇区的有效链长决定，并受有效温度加权。在零温极限下，该模式变为精确的零模。
  • Floquet 动力学： 作者构建了一个 Floquet 模型，其中边缘模表现出周期倍增动力学（$\pi$ 模）。当 Floquet 幺正算符被非可逆 $K_T$ 算符修改时，就会发生这种情况。
  • 对称性表征： 研究识别出这些模式与常规 Floquet SPT 边缘模之间的关键区别。在标准的 $\mathbb{Z}_2$ 模型中，零模和 $\pi$ 模在可逆对称性下带电。相比之下，该 $\text{Rep}(D_8)$ 模型中的边缘模在可逆 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ 对称性下是对称的，但在非可逆 $K_T$ 对称性下是带电的。

意义
本文确立了非可逆对称性对非平衡态物理具有深远影响，其范围超出了基态性质。其主要意义在于证明了：

1. 非可逆对称性能以不同于可逆对称性的方式保护谱简并，即要求系统尺寸缩放才能消除简并。
2. 非可逆 SPT 中的本征态序可以更加复杂，允许在同一能谱中存在不同的弦序参数。
3. 非可逆 SPT 中的边缘模拥有一种独特的对称性保护机制：它们在非可逆对称性下带电，而在相关的可逆对称性下保持中性。这将其与常规 Floquet SPT 的边缘模区分开来。

作者总结道，虽然这些非平衡态相需要局域化才能在加热面前保持稳定，但所展示的稳定动力学（缓慢振荡的边缘模和谱简并）在长时间尺度下应当是存在的，特别是在热力学极限下。这项工作为理解非可逆对称性在时间晶体行为和 Thouless 泵中的应用打开了大门，尽管对非可逆 Floquet SPT 的完整分类仍是未来的研究课题。