想象一下，你正试图在一片广阔而迷雾笼罩的群山中找到最低点。在物理学世界中，这个“最低点”被称为基态，而更高的山峰则被称为激发态。了解这些点的位置有助于科学家理解材料如何表现、磁铁如何工作以及量子计算机如何运行。

长期以来，在计算机上寻找这些点就像试图用尺子测量那片群山中的每一寸土地。随着山脉变得更大（涉及的粒子更多），对于经典计算机而言，这项任务变得不可能完成，因为数据量会呈爆炸式增长。

本文介绍了一种新的“无惩罚”量子算法，它就像一个智能的自动化无人机，用于寻找这些点。以下是其工作原理的分解说明，分为几个简单的概念：

1. 旧方法的问题

大多数现有方法就像试图通过猜测和检查来寻找最低点。你建立一个模型，猜测一个位置，然后使用经典计算机来微调你的猜测。

陷阱：有时，计算机会陷入“ barren plateau（ barren 高原）”——这是一个平坦的区域，无论你如何微调猜测，情况都不会好转。这就像在平坦的沙漠中行走，却不知道哪个方向通向山谷。
惩罚：为了找到第二低的点（第一激发态），旧方法通常需要在数学上添加一个“惩罚”。这就像在最低点放一块巨大的巨石，迫使无人机忽略它去寻找下一个点。这块巨石很难构建，而且往往会破坏系统。

2. 新方法：“随机采样器”

作者提出了一种不依赖猜测、不使用惩罚、也不需要经典计算机协助的方法。它依赖于虚时演化（Imaginary Time Evolution, ITE）。

将 ITE 想象成一个神奇的过滤器，它缓慢地“抽干”系统的“能量”。如果你从一个随机的状态混合体开始，这个过滤器会自然地抽走高能态，只留下最低能态。

他们如何在量子计算机上实现它：
与其试图构建一台巨大的复杂机器一次性抽干能量，他们将该问题分解为两个更小、更简单的部分（我们称之为部分 A和部分 B）。

想象你有一个复杂的拼图，但你分别知道左半部分和右半部分的解法。
该算法随机选择一个部分（A 或 B），并对其进行微小的“抽干”操作。
通过重复这种随机采样数千次，系统会自然地流向基态。这就像一滴水滚下山坡；它不需要地图，只需沿着阻力最小的路径前进。

3. 寻找更高的山峰（激发态）

一旦无人机找到了最低的山谷（基态），我们如何在不使用“惩罚巨石”的情况下找到下一个最低点呢？

作者使用了一种称为**基于状态的模拟（State-Based Simulation）**的巧妙技巧。

类比：想象你已经找到了最低的山谷。现在你想找到第二低的。与其在第一山谷上放一块巨石，不如制作一个完美的“幽灵副本”，并将其放置在真实山谷旁边。
然后，算法在真实系统和这个幽灵副本之间执行一种特殊的“舞蹈”（量子操作）。如果真实系统看起来太像幽灵副本（基态），这种“舞蹈”就会将其抵消。
这有效地“过滤掉”了基态，使系统能够自然地落入下一个最低的山谷（第一激发态）。
你可以重复这个过程：一旦找到第二个山谷，就制作它的幽灵副本，将其过滤掉，然后找到第三个。

4. 为什么这很重要

无惩罚：它不需要添加人工的“巨石”（惩罚函数）来迫使系统忽略基态。它只是干净地过滤掉它们。
无 barren plateau：因为它不依赖经典计算机来微调参数（像旧的“猜测和检查”方法那样），所以它避免了陷入平坦且无用的区域的陷阱。
纯量子：它完全在量子计算机上运行，利用量子力学的自然属性来完成繁重的工作。

5. 证明

作者使用一个著名的模型——横场伊辛模型（Transverse Ising Model）（可以想象为一排可以翻转向上或向下的小磁铁）——测试了这一想法。

他们成功找到了基态和前三个激发态。
即使在他们模拟拥有 10 个磁铁的更大系统时，结果也非常准确（保真度超过 96%）。
他们表明，即使磁铁的能量几乎相同（近简并），该算法仍然能够将它们区分开来。

总结

本文提出了一种利用量子计算机解决复杂能量问题的新方法。这种方法不再与惩罚作斗争或陷入死胡同，而是利用随机采样自然地流向最低能态，然后利用幽灵副本过滤掉已经找到的内容，从而揭示下一个能级。这是一条更清晰、更直接的通往理解量子世界的道路。

技术摘要：一种无惩罚项的量子算法用于寻找能量本征态

问题陈述

寻找多体哈密顿量的本征值和本征态是物理学和计算科学中的根本性挑战。随着量子比特数 $n$ 的增加，经典方法面临指数级扩展（存储需求为 $O(2^{2n})$ ，时间需求为 $O(2^{3n})$ ）。虽然量子算法提供了一条前进路径，但现有方法存在显著局限性：

变分量子本征求解器（VQE）： 一种混合量子 - 经典方法，在优化过程中常遭受“ barren plateaus"（梯度消失）的困扰。寻找激发态通常需要通过惩罚项来抑制基态贡献，这增加了复杂性并引入了潜在的误差。
量子退火： 需要较长的演化时间以确保绝热性，并且在基态与激发态之间的能隙较小时面临困难。
虚时演化（ITE）与量子虚时演化（QITE）： 尽管前景广阔，但标准 ITE 在实现非幺正算符时面临可扩展性问题。量子 ITE（QITE）通常依赖变分优化或针对激发态的惩罚项，从而重新引入了 barren plateaus 的挑战，并需要复杂的 ansatz。
其他方法： 诸如量子滤波对角化（QFD）和滤波量子相位估计（FQPE）等技术严重依赖特定的参考态或优化的滤波函数。

作者指出，需要一种全量子算法，能够在不使用惩罚函数、变分步骤或混合量子 - 经典循环的情况下找到基态和激发态，从而避免 barren plateaus。

方法论

所提出的算法是一种基于混合态密度矩阵的随机采样结合基于态的模拟的全量子、无惩罚项方法。

1. 哈密顿量分解与密度矩阵映射

该算法假设目标哈密顿量 $H$ 可以分解为两个可解分量， $H = h_1 + h_2$ ，其中 $h_1$ 和 $h_2$ 的本征值（ $\lambda^j_i$ ）和本征态（ $|\psi^j_i\rangle$ ）是已知的且易于制备。

作者对 $h_1$ 和 $h_2$ 的本征值进行平移和重缩放，以创建有效的概率分布。
他们构建了一个等效于平移后哈密顿量的混合态密度矩阵 $\rho$ ：
$\rho = \frac{1}{C} (H + (c_1 + c_2)I) = \sum_{i,j} p^j_i |\psi^j_i\rangle\langle\psi^j_i|$
其中 $p^j_i$ 是由平移后的本征值导出的概率。 $\rho$ 的本征态与 $H$ 的本征态相同。

2. 基态的随机虚时演化（ITE）

为了找到基态，该算法对 $\rho$ 执行基于随机采样的虚时演化：

采样： 在每个时间步 $\eta$ ，从分布 $\{p^j_i\}$ 中采样一个投影算符 $P^j_i = |\psi^j_i\rangle\langle\psi^j_i|$ 。
演化算符： 算法不实现完整的非幺正算符 $e^{-\eta \rho}$ ，而是对采样的投影算符实现算符 $I - \eta P^j_i$ 。
电路实现： 这是通过涉及辅助量子比特的后选择幺正电路实现的。幺正算符 $U$ 是一个 $n$ 量子比特受控-SU(2) 门。如果系统处于对应于采样投影算符的状态，辅助量子比特将发生旋转；否则保持不变。将辅助量子比特后选择为 $|0\rangle$ 态，即可得到所需的 $I - \eta P^j_i$ 操作。
收敛性： 重复此过程将驱动系统趋向 $\rho$ （从而也是 $H$ ）的基态，而无需变分优化。

3. 激发态的基于态的模拟

为了找到激发态，算法必须抑制已找到的低能态（例如基态 $P_g$ ）的贡献。

挑战： 直接实现高度纠缠基态的投影算符是困难的。
解决方案： 作者利用了一种基于态的模拟协议。这涉及一个双 $n$ 量子比特系统（辅助系统），其制备在已知的基态 $P_g$ 中，以及一个控制量子比特和主系统。
机制： 在主系统和辅助系统之间施加受控-SWAP 门，其条件取决于控制量子比特。在 $|+\rangle$ 基下测量控制量子比特，有效地实现了演化 $e^{-\eta P_g}$ （近似为 $I - \eta P_g$ ），从而投影掉基态分量。
提升程序： 为了找到第一激发态，在密度矩阵分布中人为地“提升”（增加）采样基态投影算符的概率。然后，算法对该修改后的分布执行 ITE。当采样到基态投影算符时，使用基于态的模拟将其过滤掉。此过程可以迭代以找到更高的激发态。

4. 通用哈密顿量的变体

对于不易分解为两个可解部分的哈密顿量，作者提出了一种变体，其中 $H$ 被视为泡利算符的线性组合（ $H = \sum \alpha_i O_i$ ）。随机采样直接应用于这些泡利算符，演化步骤采用类似的电路实现。

关键结果

作者使用横场伊辛模型（具有周期性边界条件的一维链）的经典模拟验证了该算法，该模型可作为基准，因为它可以分解为可解的 $Z$ 基和 $X$ 基分量。

基态（4 量子比特系统）： 与精确基态实现了 99.9% 的保真度。
激发态（4 量子比特系统）：
- 第一激发态：98.6% 保真度。
- 第二激发态：96.8% 保真度。
- 第三激发态：96.6% 保真度。
可扩展性测试（10 量子比特系统）： 该算法成功找到了基态（98.6% 保真度）和第一激发态（97.8% 保真度）。尽管前两个态之间存在近简并，它仍然解析出了第三低能态（90.2% 保真度）。
泡利变体： 泡利算符采样变体在 4 量子比特情况下对前四个本征态也展示了高保真度（97.1%–99.5%）。
资源扩展： 理论分析表明，该算法每步的扩展复杂度为 $O(n)$ 个双量子比特门，这比基于 Trotter 的 ITE 方法（扩展复杂度为 $O(n^2)$ ）有了显著改进。

意义与主张

该论文声称提出了一种全量子算法，解决了本征态问题，且没有当前混合或变分方法的缺点：

无惩罚项： 它在损失函数中无需添加惩罚项即可找到激发态，避免了对复杂 ansatz 的需求以及 barren plateaus 的风险。
无混合步骤： 它消除了对经典优化循环的需求，使其成为纯粹的量子过程。
广泛的适用性： 关于 $H$ 可以分解为可解部分的假设被论证为非限制性的，涵盖了众多物理模型甚至 QMA 完全问题。
鲁棒性： 该方法展示了能够顺序找到多个低能本征态的能力，即使在能级近简并的系统中也是如此。

作者承认，整体成功率取决于后选择，这在当前的含噪声中等规模量子（NISQ）设备上可能是一个挑战，因为存在门误差和退相干问题。然而，他们提出该方法为使用量子电路解决经典上难以处理的本征态问题提供了一条具体途径，可作为量子计算工具箱中的基础性补充。

A penalty-free quantum algorithm to find energy eigenstates