Multiple-time Quantum Imaginary Time Evolution

本文介绍了多时间量子虚时演化（MT-QITE）算法，该算法通过利用多个虚时步，在保持确定性、独立于特定拟设（ansatz）以及可并行性的同时，与标准 QITE 相比，增强了基态制备的保真度并降低了测量开销。

要点

想象一下，你正试图在一片广袤且雾气缭绕的山脉中寻找最低点。这个最低点代表了一个物理系统的“基态”——即原子或粒子最稳定、能量最低的构型。找到这个位置对于理解材料行为、化学反应过程以及设计新药至关重要。

在量子计算的世界里，有一种叫做**量子虚时演化（Quantum Imaginary Time Evolution, QITE）**的方法，它就像一个总是向着下坡方向迈步的徒步旅行者。随着时间的推移，他会自然而然地落入最深的谷底（基态）。然而，Del Castillo、Granath 和 van Nieuwenburg 的论文指出，标准的徒步者面临一个主要问题：路径的成本很高。为了迈出每一步，徒步者必须停下来，测量地形，并进行大量的数学计算。这种“测量预算”就像是有限的燃料；如果燃料耗尽（测量次数用完），他就无法完成旅程。

新的解决方案：“多时间”徒步者 (MT-QITE)

作者引入了一种名为 MT-QITE（多时间量子虚时演化）的新算法。MT-QITE 不仅仅是一个徒步者采取一种类型的步伐，而是像一个团队在共同协作，或者像一个能够同时尝试不同步长以寻找最高效路径的徒步者。

以下是作者利用简单概念对改进之处进行的解释：

1. “尝试一切”策略（变分灵活性）
在旧方法（Qotes）中，徒步者必须为整个旅程承诺一个特定的步长（时间步）。如果他们选择的步长太大，可能会越过谷底；如果步长太小，旅程则会变得极其漫长。

• MT-QITE 类比： 想象徒步者现在可以同时测试几种不同的步长（而不必真的为每种步长都走一遍完整的路径）。他们利用同一个起始点，同时计算出走一小步、走中等步长和走一大步的结果。然后，他们只需挑选出能引导至更低能量的那一个即可。这种灵活性使他们能够在不浪费额外燃料的情况下，找到更好的“最低点”（更高的保真度）。

2. 共享地图（并行化）
旧方法就像一场接力赛，第二名选手必须等第一名选手跑完整个路段并更新地图后才能开始。这意味着徒步者在每一步都需要停下来重新测量地形。

• MT-QITE 类比： MT-QITE 就像是一群共享一张高分辨率地图的探险家。因为他们都从同一个参考点出发，所以可以测量一次地形，并利用这些数据同时计算出所有不同步长的最佳移动路径。这意味着他们不需要那么频繁地停下来测量。论文声称，在某些情况下，这能将所需的测量次数（即“燃料”）减少 10 倍。

3. “对称性”捷径
论文指出，许多物理系统具有对称性（例如镜像对称）。如果你知道山的左侧看起来和右侧一样，你就不需要测量两边。

• MT-QITE 类比： 由于 MT-QITE 团队共享一张单一地图，他们可以轻松利用这些对称性捷径。如果他们测量了地形的一部分，就可以通过数学手段推导出其余部分，而无需进行额外的测量。旧方法无法如此容易地做到这一点，因为每一步之后，“地图”都会发生变化。

结果显示了什么

作者在四种不同的“山脉”（物理模型）上测试了这种新方法：

• 伊辛模型 (Ising Model)： 一种磁性自旋模型。
• 海森堡模型 (Heisenberg Model)： 另一种磁性模型。
• 哈伯德模型 (Hubbard Model)： 一种描述材料中电子的模型。
• H4 链 (H4 Chain)： 一个由四个氢原子组成的小分子。

在所有这些测试中，MT-QITE 方法比旧方法更准确地找到了“最低谷底”（基态）。

• 更高的准确度： 在某些情况下，新方法的准确度提高了 10 到 100 倍。
• 更少的燃料： 为了达到这种准确度，它所需的测量次数显著减少（大约减少了 10 倍）。
• 无需猜测： 不同于其他需要用户预设解的“形状”（ansatz/拟设）的方法，MT-QITE 在每一步都会自动计算出最佳路径。

核心结论

论文总结道，MT-QITE 是一种更高效、确定且准确的方法，用于寻找量子系统的基态。它不依赖于运气（概率方法）或预设的猜测（拟设）。通过允许算法利用一个共享的参考态同时“尝试”多个虚时步，它在提供更好结果的同时，节省了大量的计算资源。

作者强调，这目前是在经典计算机上的模拟，但该方法旨在同时运行在当前的噪声量子设备和未来的纠错量子计算机上。他们已经公开了代码，供他人测试。

技术摘要

技术摘要：多时间量子虚时演化 (MT-QITE)

问题陈述
量子虚时演化 (QITE) 是一种在量子硬件上制备基态的确定性、无拟设 (ansatz-free) 方法，它通过用幺正实时间演化 (RTE) 近似非幺正虚时演化来实现。然而，标准的 QITE 在测量开销和计算成本方面面临重大挑战，特别是对于一般的哈密顿量。QIT 的保真度和效率高度依赖于局部定义域和哈密顿量划分。此外，标准算法在每个 Trotter 步都会更新参考量子态，这阻碍了跨不同哈密顿项的测量复用，并限制了并行化能力。虽然存在如 VQE 等变分方法，但它们依赖于特设的拟设选择，而 QITE 的目标是在不依赖此类假设的情况下，在每一步优化地确定演化算符。

方法论
作者引入了 多时间 QITE (MT-QITE) 算法，这是对标准 QITE 协议的一种启发式扩展。其核心创新在于解耦了哈密顿量划分内不同项的时间步长。

1. 多时间拟设： MT-QITE 不再对 Trotter 步中的所有哈密顿项应用单一的时间步 $\Delta \tau$，而是为每个划分项 ($\hat{h}[1], \hat{h}[2], \dots$) 分配不同的时间参数 ($t_1, t_2, \dots$)。演化后的态定义为：
   $$|\Psi'(t_1, t_2)\rangle = \frac{e^{-t_2\hat{h}[2]}e^{-t_1\hat{h}[1]}|\Phi(0)\rangle}{\|e^{-t_2\hat{h}[2]}e^{-t_1\hat{h}[1]}|\Phi(0)\rangle\|}$$
   这引入了额外的变分自由度，使得算法能够比受限于单一时间约束的标准 QITE 更有效地最小化基态能量上界。

2. 共享参考态： 与在处理每个哈密顿项后都会更新量子态的标准 QITE 不同，MT-QITE 在整个 Trotter 步中使用一个固定的参考态 $|\Phi\rangle$。这使得可以在使用相同测量集的情况下，求解多个时间步长大小的线性方程组（由层析成像导出）。

3. 并行化与对称性： 由于在一步之内参考态在所有划分项中保持不变，该程序是可并行化的。此外，如果哈密顿量具有对称性（例如位点反转），算法可以复用对称项的测量结果，而无需重新评估量子态，从而显著降低测量预算。

4. 量子化学重构： 本文针对量子化学哈密顿量提出了 QITE 方程的重构方法。通过利用反埃尔米特算符（如单双激发酉耦合集群理论 UCCSD 中的算符）而非一般的泡利字符串，该方法确保了粒子数和自旋的守恒。这种方法将所需线性方程组的维度降低了约 8 倍，并允许通过相互对易的集合同时测量多达 64 个泡利字符串。

关键结果
作者在无噪声经典模拟环境下，针对四个物理系统将 MT-QITE 与原始 QITE 算法（经过优化时间步）进行了基准测试：

• XXZ 海森堡模型 (8 量子比特)： 在相变点 ($J=1$)，经过 10 个 Trotter 步后，MT-QITE 实现的基态保真度比 QITE 提高了一个数量级。它达到了小数点后第五位的精确保真度，同时减少了 10 倍的测量预算。
• 横场伊辛模型 (6 量子比特)： 在极具挑战性的相变区域，MT-QITE 将保真度提高了两个数量级以上。通过利用三项划分的位点反转对称性，测量预算显著降低。
• 费米子哈伯德模型： 对于各种排斥强度 ($U$)，MT-QITE 在 10 步之后的保真度和测量计数方面均一致优于 QITE，证明了在强电子相关机制下的鲁棒性。
• H4 链 (量子化学)： 使用 8 量子比特上的 UCCGSD 拟设，采用三项划分的 MT-QITE 在一系列原子间距（0.60–1.20 Å）下实现了化学精度，包括标准 QITE 和未划分 MT-QITE 无法收敛的拉伸几何结构。值得注意的是，对具有非局域相互作用的哈密顿量进行划分提供了计算优势。

意义与主张
论文声称，与先前发表的 QITE 算法相比，MT-QITE 在保持该方法确定性特征和独立于特设拟设的同时，显著提高了所得基态的保真度并降低了测量开销。

作者强调的关键贡献包括：

• 确定性提升： MT-QITE 提供了一条实现更高保真度的确定性路径，避免了如概率性 ITE (PITE) 的概率开销或双括号 QITE 的指数级门深度。
• 可并行化： 固定参考态策略使得为不同哈密顿项执行 RTE 参数确定成为可能，这是标准 QITE 不具备的特性。
• 非局域系统的效率： 与直觉相反，作者证明了对具有非局域相互作用的哈密顿量（如 H4 链所示）进行划分，可以通过减小线性系统规模并利用多时间变分自由度来获得计算优势。
• 适用性： 该算法适用于含噪声中等规模量子 (NISQ) 设备及未来的容错量子计算机，为降低延迟和测量成本提供了途径。

作者总结道，MT-QITE 是需要在恒定电路深度下实现高保真度基态制备的场景下的理想选择，避免了其他方法中存在的近似和概率性子程序。