A Deflationary Account of Quantum Theory and its Implications for the Complex Numbers

本文提出了一种量子理论的紧缩解释，将系统视为构型空间中不可分割的随机过程，并论证了复数之所以必要，正是为了确保希尔伯特空间形式体系能够作为一个有效的马尔可夫嵌入发挥作用。

要点

核心问题：为什么我们需要“虚数”？

近一个世纪以来，物理学家一直被一个问题所困扰：为什么量子力学（控制原子和微粒的规则）的数学如此依赖于复数？这些数字包含“i”（负1的平方根），它们并不存在于常规的数轴上。

标准教科书将这些复数视为现实的基本构建模块。而这篇论文提出了相反的观点：复数并不是宇宙的“真实”组成部分；它们只是一个巧妙的数学技巧。

核心思想：“地图与疆域”类比

想象你正在试图描述一条非常崎岖、蜿蜒的徒步路径。

• 疆域（现实）： 实际的路径是杂乱无章的。要了解你在10分钟后的位置，你需要知道你在5分钟前、10分钟前，甚至可能在20分钟前在哪里。这条路径取决于你的整个历史。在物理学中，这被称为非马尔可夫过程（历史很重要）。
• 地图（技巧）： 为了让数学计算更容易，你可以发明一种新的方式来描述这条路径。与其追踪你在地面上的位置，不如将你的位置和动量（速度和方向）作为一个整体的巨大“状态”追踪在一起。突然之间，这条路径看起来变得平滑且可预测了。你只需要知道当前的“状态”就能预测未来。这被称为马尔可夫嵌入。

论文的观点： 量子理论（连同其波函数和复数）仅仅是“地图”。它是对底层更混乱、具有历史依赖性的现实的一种简化、平滑的数学表示。

“不可分割”的现实

作者认为，底层的“真实”现实是一种**“不可分割”的随机过程**（一种随机过程，类似于掷骰子）。

• “不可分割”意味着什么？ 想象一部电影。在一部普通的电影中，你可以暂停它，看第10帧，然后看第20帧，故事从10流向20。
• 在一个不可分割的过程中，你无法像那样拆解故事。即使你知道时间点A和时间点B的状态，你也无法简单地通过相乘概率来得到时间点C的状态。A与C之间的连接是以一种“粘合”在一起的方式存在的，这种连接不允许进行简单的、分步式的计算。
• 类比： 想想一个复杂的绳结。如果你试图通过一次只看一个环来解开它，这会毫无意义。你必须将整个绳结视为一个单一的、不可分割的单元才能理解它的运作方式。这个“不可分割”的过程就是那个绳结。

那么，复数从何而来？

如果真实世界只是一个杂乱、依赖历史的概率“绳结”（仅使用普通的实数），为什么我们还需要“虚数”来描述它？

论文认为，复数是我们为了将那个杂乱、依赖历史的“绳结”转化为一个平滑、易于求解的方程而付出的代价。

1. 转换： 当你将那个杂乱、依赖历史的“绳结”强行放入一个平滑的一阶数学系统中（如薛定谔方程）时，数学要求使用一种新的数字类型才能使方程成立。
2. 矩阵技巧： 作者展示了你可以使用简单的2x2实数网格（矩阵）来表示这些复数。这就像是意识到“i”并不是一个神奇的幽灵数字；它只是旋转网格的一种特定方式。
3. 结论： 我们不需要复数是因为宇宙是“虚幻”的；我们需要复数是因为它们是把杂乱、不可分割的现实转化为简洁、可解数学问题的最有效工具。

“Strocchi-Heslot”的联系

论文指出了一项特定的数学发现（由Strocchi和Heslot完成），它充当了“罗塞塔石碑”的角色。他们表明，一个量子系统（看起来像波）在数学上等同于一大组耦合弹簧（经典谐振子）。

• 弹簧类比： 想象一个装满了互相连接的弹簧的房间。如果你拉动其中一个，其他的也会随之摆动。
• 洞察： 量子“波函数”只是在同时描述所有这些弹簧的位置和速度的一种高级方式。
• 关键点： 为了让这套理论奏效，即使对于单个微小的粒子（如电子），这个“房间”里的弹簧也必须是无限大的。这表明量子世界实际上是一个巨大的、复杂的弹簧机器，而“波”只是它投下的影子。

“不可分割诠释”

论文提出了一种看待量子理论的新方式，称为**“不可分割诠释”**。以下是它带来的改变：

• 没有“诡异”的叠加态： 在标准量子理论中，一个粒子经常被描述为同时处于两个地方（叠加态）。在这种新视角下，粒子只是处于一个地方，但找到它的概率是属于一个复杂的、不可分割的绳结的一部分。它并不是“在两个地方”；它只是连接过去与未来的规则太过于纠缠，以至于无法被简单地拆解。
• 波函数并非真实存在： 波函数（数学符号 $\Psi$）并不是在空间中漂浮的物理实体。它就像是一个地图图例或一份食谱。它告诉你如何计算概率，但它本身并不是食物。
• 没有测量问题： 著名的“薛定谔的猫”（猫是死是活？）悖论消失了。在底层的现实中，猫要么是死的，要么是活的。之所以产生混乱，是因为我们观察的是“地图”（波函数），而不是“疆域”（不可分割的过程）。

总结

把宇宙想象成一个巨大的、复杂的拼图，其中每一块碎片都以一种依赖于拼图整个历史的方式与其他每一块碎片相连。

• 旧观点： 我们认为拼图碎片是由“魔法”（复数）构成的，并且在观察之前图像是模糊的。
• 新观点（本论文）： 拼图碎片只是普通的、日常的事物（概率）。所谓的“魔法”（复数）只是我们为了快速描述拼图而发明的特殊语言。所谓的“模糊图像”（波函数）只是拼图投下的影子，而不是拼图本身。

通过接受这一点，作者认为我们可以剥离量子理论中“奇异”和“神秘”的部分，将其视为一个直接的、尽管非常复杂的概率系统。

技术摘要

技术摘要：关于量子理论及其对复数影响的通缩解释

问题陈述
本文探讨了量子理论中的一个基础性谜题：在标准狄拉克-冯·诺依曼公理中，复数表现出的必然性。尽管以往的文献试图通过特定的测量情景（如 Renou 等人，2021）来确立复数的必要性，但本研究采取了一种更具基础性的方法。它质疑希尔伯特空间形式体系（及其对复数的依赖）究竟是现实的一种基本描述，还是仅仅作为特定表示的一种数学人工产物。核心探究在于：复数在本体论上是必需的，还是作为一种将非马尔可夫过程转化为马尔可夫过程的工具而存在的？

方法论
本文采用了动力系统的结构分析，特别关注**马尔可夫嵌入（Markovian embeddings）**的概念。其研究方法遵循以下逻辑步骤：

1. 复数与代数综述： 本文将复数 ($\mathbb{C}$) 确立为一种独特的二维规范除法代数，并指出其与特定的 $2 \times 2$ 实矩阵结构（线性复结构）同构。文中引入了复共轭算子 $K$ 及其与伪四元数的关系。
2. 马尔可夫嵌入： 作者展示了如何通过扩展构型空间（本体）以包含额外变量，将一个非马尔可夫系统（其动力学依赖于过去的配置）转化为一个马尔可夫系统（仅依赖于当前状态）。这种“法则-本体权衡”（nomology-ontology trade-off）简化了动力学定律（使其变为一阶），但代价是增加了更复杂的态空间。文中通过离散和连续的示例说明了如何利用复变量将二阶定律重写为一阶系统，从而统一方程。
3. Strocchi-Heslot 公式化： 本文回顾了将量子力学重新表述为耦合经典谐振子系统的过程（Strocchi 1966; Heslot 1985）。通过将薛定谔方程分解为实部和虚部，希尔伯特空间的演化被证明与经典哈密顿动力学同构。本文认为，即使对于一个量子比特，Strocchi-Heslot 态空间也是无限大的，这表明希尔伯特空间形式体系是一个底层极度非马尔可夫过程的嵌入。
4. 不可分随机过程： 本文的核心理论创新是引入了“不可分随机过程”（indivisible stochastic processes）。这些过程被定义为满足一组稀疏的一阶条件概率、但在迭代性质上失效（即 $\Gamma(t \leftarrow t_0) \neq \Gamma(t \leftarrow t')\Gamma(t' \leftarrow t_0)$）的非马尔可夫过程的等价类。
5. 随机-量子对应关系： 本文建立了双向映射：
   • 从随机到量子： 从一个不可分随机过程出发，通过引入复值“势”矩阵，满足了转移概率的非负性。对于 $N > 2$ 的情况，要求这些矩阵为酉矩阵（以保持概率）必然导致复数的引入，因为实值正交矩阵是不够的（即 Unistochastic 与 Orthostochastical 矩阵之间的区别）。
   • 从量子到随机： 从一个酉演化的量子系统出发，可以通过取酉演化矩阵元素的平方模来定义一个不可分随机过程（$\Gamma_{ij} = |U_{ij}|^2$）。

主要贡献与结果

• 不可分解释： 本文提出了量子理论的“不可分解释”。在这种观点下，量子系统本质上是在经典构型空间中展开的一个“不可分”随机过程。波函数和希尔伯特空间形式体系被降级为派生的数学工具，而非本体论地位。
• 复数的通缩解释： 本文认为复数对于宇宙的本体论并非基本特征。相反，它们是确保希尔伯特空间形式体系能够作为底层不可分随机过程的有效马尔可夫嵌入所必需的数学资源。具体而言，当系统维度 $N > 2$ 时，需要复数来将转移矩阵表示为酉算子。
• 对测量问题的解决（声称）： 通过将测量装置视为整体不可分随机过程中的一个子系统，本文声称该框架能自然地得出正确的测量结果概率（波恩定则），而无需引入坍缩假设，也不需要将叠加态视为多种配置的实际物理状态。
• 薛定谔方程的线性： 薛定谔方程的线性是底层随机过程中全概率线性律的推论。
• 本体论地位： 本文假定构型（在此背景下的“隐变量”）是主要的本体家具，对应于实验中所观察到的现象。波函数被描述为编码了认识论与法则信息的混合体，而非物理实体。

意义与主张
本文声称提供了一种对量子理论进行简化的“通缩”解释。通过将量子力学建立在普通的概率论和经典构型空间之上，作者认为：

1. 量子现象的“奇异性”是希尔伯特空间表示的一种人工产物。
2. 该理论通过将随机过程本身实体化，避免了测量问题。
3. 复数被揭示为处理底层过程“不可分性”的一种数学便利，而非自然的根本特征。
4. 该框架为建立一种关于量子影响的因果局部微观物理理论提供了路径。

本文总结道，希尔伯特空间形式体系充当了高度非马尔可夫随机系统的强大“分析力学”，提供了一种计算预测和研究对称性的系统方法，但它并不是现实的基本描述。建议的未来研究方向包括在动力系统、量子因果模型、统计力学和量子引力中的应用，以及基于不可分随机过程公理的量子理论推广。