Nonuniform superconducting states from Majorana flat bands

本文表明，拓扑超导体中的零能马约拉纳平带会驱动非均匀超导态（即配对密度波和相位晶体）的自发形成，这些态通过打开平带能隙来降低系统的自由能，并展现出不同的温度依赖稳定性区域。

要点

想象一下，超导体就像一个完美同步的舞池，电子成对移动，毫无摩擦地滑行。通常，这个舞池是均匀的；每个人都在同一节奏下做着相同的舞步。

然而，本文探讨了一种特殊且棘手的超导体，其边缘存在“幽灵”。这些幽灵被称为马约拉纳平带。可以将它们想象成一排不可见的、能量为零的舞者，整齐地静止在舞池边缘。由于它们能量为零且数量众多（形成“平带”），它们使系统变得不稳定，就像一座随时可能倒塌的纸牌塔。系统迫切地想要摆脱这种不稳定性以节省能量。

研究人员问道：超导体如何修复这一问题？ 他们发现，舞池并非保持均匀，而是自发地重组为两种截然不同的非均匀模式，以“踢走”这些零能量幽灵。

以下是系统重组的两种方式，通过类比进行解释：

1. 密度波（“交错舞步”）

在这种状态下，超导体决定改变边缘处电子对的强度，但保持节奏（相位）不变。

• 类比：想象边缘的舞者突然开始做“交错舞步”。一名舞者紧紧牵手，下一名松散牵手，再下一名又紧紧牵手，如此循环。这就像拉链或凹凸不平的道路。
• 作用：这种“凹凸”模式打破了边缘的完美对称性。通过这样做，它迫使静止的“幽灵”舞者相互混合，并离开零能量状态。它们获得了一点能量，从而从危险的零能量状态中消失。
• 发生条件：当化学条件（如电子数量）设定在特定范围内时发生。这是系统的第一道防线。

2. 相位晶体（“扭转螺旋”）

在这种状态下，电子对的强度基本保持不变，但节奏（相位）开始沿边缘扭转和旋转。

• 类比：想象边缘的舞者都手牵着手，但他们开始像波浪一样扭转身体。一名面朝前方，下一名稍微朝右，再下一名更朝右，形成螺旋或晶体般的图案。这种扭转产生了微小的自发电流（像小漩涡）沿边缘流动。
• 作用：这种扭转打破了另一种对称性。它同样迫使“幽灵”舞者混合并获得能量，但它是通过改变舞蹈的方向而非握手的强度来实现的。
• 发生条件：当条件发生变化（具体而言，当化学势增加）且“交错舞步”（密度波）不足以清除所有幽灵时发生。系统切换到这种扭转模式以完成清除工作。

“中间地带”

在这两种截然不同的状态之间，存在一个巨大的“中间地带”。

• 类比：想象这是一个舞池，舞者们同时做着“交错舞步”和“扭转螺旋”。这是握手强度变化和节奏变化的混乱混合。
• 发现：在绝对零度下，这种混乱的中间地带非常普遍。系统愿意两者兼顾，以确保清除所有零能量幽灵。

温度效应

该研究还观察了加热系统（增加热能）时会发生什么。

• 类比：想象舞池变得拥挤，充满了随机、躁动的人（热量）。
• 结果：
  • “交错舞步”（密度波） 很顽强。即使房间变得相当热（高达超导性完全破坏温度的 80%），它依然存活。
  • “扭转螺旋”（相位晶体） 很脆弱。它只在非常冷的房间里存活。一旦稍微变暖，扭转就会停止，系统会退化为均匀状态，幽灵重新回到边缘。
  • “混乱中间地带” 在温度升高时几乎完全消失。

大局观

主要结论是：拓扑决定了舞蹈。“幽灵”（马约拉纳态）受到系统数学规则（拓扑）的保护。为了摆脱它们并降低系统能量，超导体必须打破其自身的均匀性。

研究人员发现，系统并非随机选择一种模式；而是根据“缠绕数”（电子排列方式的拓扑计数）来选择特定模式（交错舞步 vs. 扭转螺旋）。如果计数在某一侧平衡，它就执行交错舞步；如果不平衡，它就执行扭转螺旋。

简而言之：马约拉纳平带极不稳定，迫使超导体为了生存而变成复杂的非均匀图案状态，而具体的图案取决于系统的拓扑规则和温度。

技术摘要

技术摘要：源于马约拉纳平带的非均匀超导态

问题陈述
本文研究了 hosting 马约拉纳平带（Majorana flat bands）系统中超导基态的热力学稳定性。虽然超导能隙内的零能平带具有拓扑保护性，但其巨大的基态简并度使其对相互作用在热力学上不稳定。在常规的$d$波超导体中，这种不稳定性会导致非均匀有序相的出现，例如超导相晶体（superconducting phase crystal），这些相通过将零能态移至有限能量来降低系统的自由能。然而，弱拓扑超导体中马约拉纳态的拓扑保护如何影响这一竞争过程，目前尚不清楚。具体而言，作者探讨了马约拉纳平带的拓扑性质是阻碍还是决定了非均匀超导相（如配对密度波（PDW）和相晶体）的出现，以及这些相在有限温度下的行为。

方法论
作者对一个二维系统进行了建模，该系统由沉积在常规$s$波超导基底上、具有螺旋磁纹理的磁吸附原子阵列组成。该系统由 BDI 拓扑类中的紧束缚 Bogoliubov-de Gennes (BdG) 哈密顿量描述，其特征为手征对称性。该模型支持一个弱拓扑相，在系统边界处 hosting 多个马约拉纳边缘态。

为了确定基态，作者对超导序参量 $\Delta_r = |\Delta_r|e^{i\theta_r}$ 进行了自洽数值计算。他们在 $x$ 方向采用开边界条件、$y$ 方向采用周期性条件的 $120 \times 46$ 晶格上，采用迭代方案进行计算。为了避免将结果偏向特定的对称性破缺模式，计算使用了三种不同的初始猜测：

1. 边缘局域、逐点交错的振幅调制，相位变化为零（针对 PDW）。
2. 均匀振幅，配合特定的相位变化假设（针对相晶体）。
3. 均匀解。

收敛后自由能最低（$F = \langle H \rangle - TS$）的解被确定为基态。该研究绘制了作为化学势（$\mu$）、磁场强度（$B$）和温度（$T$）函数的相图，分析了由此产生的振幅（$|\Delta_r|$）和相位（$\theta_r$）调制，以及低能本征值谱。

主要贡献与结果

• 竞争非均匀相的出现：研究表明，在零温度下，具有马约拉纳平带的均匀超导态从未是基态。相反，系统会自发转变为非均匀相，以打开马约拉纳平带的能隙。研究确定了两种主要相：

  • 配对密度波（PDW）：其特征是边缘局域、逐点交错的振幅调制（$|\Delta_r|$），相位（$\theta_r$）恒定。该态破坏了晶格平移对称性，但保留了手征对称性。它将同一边缘上具有相反绕数（$W = \pm 1$）的马约拉纳态进行杂化。
  • 相晶体：其特征是在超导相干长度尺度上存在强烈的、边缘局域的相位调制（$\theta_r$），并伴有微弱的振幅调制。该态同时破坏了平移对称性和手征对称性，驱动自发超流体动量和环流。它通过破坏原本保护马约拉纳态的手征对称性来实现马约拉纳态的杂化。

• 拓扑与绕数的作用：PDW 与相晶体之间的竞争由 $k_y$ 分辨能带结构中绕数（$W_+$ 和 $W_-$）的分布所支配，该分布可通过化学势 $\mu$ 进行调节。

  • 当 $W_+$ 和 $W_-$ 相当时，PDW 在能量上更有利，因为它能通过振幅调制有效地杂化相反绕数的态。
  • 当存在显著的不平衡（例如 $W_+ \gg W_-$）时，仅靠振幅调制不足以杂化剩余的态。在此区域，系统形成相晶体，通过破坏手征对称性来杂化剩余的态。

• 中间区域：在零温度下，PDW 和相晶体相之间存在一个广阔的中间区域。在此区域中，序参量在振幅和相位上表现出相当的调制。该区域的出现是因为具有相同绕数的残余马约拉纳态无法通过纯振幅调制进行杂化，必须引入相位调制以进一步降低自由能。

• 有限温度行为：这些相在有限温度下的稳定性存在显著差异：

  • PDW 具有鲁棒性，在低化学势下可存活至体超导转变温度（$T_c$）的大约 80%，随着 $\mu$ 的增加，该比例降至约 10%。
  • 相晶体 更为脆弱，仅出现在较低温度下（最高约 $T_c$ 的 10%）。其脆弱性归因于其存在的参数区域（较高的 $\mu$，较小的体能隙），该区域更容易受到热激发的影响。
  • 中间区域 在有限温度下受到强烈抑制，仅能存活至 $T_c$ 的约 4–5%。
  • 在这些非均匀态的转变温度以上，具有马约拉纳平带的均匀超导态作为自洽解重新出现。

意义
本文确立了 hosting 马约拉纳平带的拓扑超导体中涌现非均匀超导相的普遍性。它阐明了马约拉纳态的拓扑保护并不能阻止对称性破缺；相反，底层拓扑（特别是绕数）决定了涌现非均匀相的性质。研究结果强调，马约拉纳平带对于超导序参量的空间调制（无论是振幅还是相位）极不稳定。该研究进一步区分了这些相的热稳定性，表明由振幅驱动的不稳定性（PDW）比由相位驱动的不稳定性（相晶体）对热涨落具有显著更强的鲁棒性。这项工作为弱拓扑超导体中能量最小化与拓扑保护之间的竞争提供了全面的基于能量的论证。