Second-order moment equivalence of twisted Gaussian Schell model beams and orbital angular momentum eigenmodes

本文证明了柱对称相干轨道角动量本征模的二阶矩协方差矩阵与扭曲高斯谢尔模型光束的二阶矩协方差矩阵普遍等价，从而建立了直接的参数对应关系，使得利用既有的扭曲高斯谢尔模型工具箱即可完整描述各类轨道角动量家族的传播特性。

要点

想象一下，你正看着两束截然不同的光束。一束是完美有序、相干的光束（如激光），其结构中具有特定的“扭转”，称为轨道角动量（OAM）光束。另一束是混乱、部分相干的光束（如经过滤波的灯发出的光），称为扭曲高斯谢尔模型（TGSM）光束。

通常，物理学家认为这两种光束是完全不同的存在。一个是精确旋转的舞者；另一个是模糊且扭曲的云团。

重大发现
这篇论文揭示了一个惊人的秘密：如果你只观察这些光束的“平均”行为，它们是无法区分的。

可以这样理解：想象你有一个完美旋转的陀螺（OAM 光束）和一团摇摆旋转的旋转尘埃云（TGSM 光束）。如果你每秒给它们拍一张照片，并仅测量它们的平均尺寸、平均速度以及扭转程度，你会得到两者完全相同的数值。

作者证明，用于描述这种混乱、扭曲云团的数学“指纹”（称为协方差矩阵）与完美旋转陀螺的指纹完全相同。

“通用蓝图”
该论文表明，对于任何在中心周围各个方向上对称（即旋转对称）的旋转光束，其二阶统计量（平均尺寸和发散度）仅取决于三个因素：

1. 平均宽度。
2. 平均发散速度。
3. 扭转次数（即"OAM 数”）。

无论光束是完美的数学形状（如拉盖尔 - 高斯光束），还是光环（如完美涡旋光束），只要它们共享这三个数值，它们就拥有相同的“指纹”。

“扭转”的关联
这里是类比中巧妙之处：

• 在完美旋转光束中，扭转源于光波本身围绕中心旋转（如同开瓶器）。
• 在混乱云团光束中，扭转源于光的不同部分之间的特殊关联，即使光并非完全相干，也能产生“相位扭转”。

论文表明，混乱云团中的“扭转量”在数学上等同于完美光束的“旋转数”。仿佛云团的混乱在暗中自我组织，以模仿完美光束的旋转。

为何这很重要？（根据论文）
作者解释说，这种等价性是一个强大的捷径。

• 工具箱：物理学家拥有一个庞大且成熟的光束数学“工具箱”，用于预测混乱、扭曲的云团（TGSM 光束）在穿过透镜、空气或太空时的行为。
• 捷径：由于指纹相同，你可以使用同一工具箱来精确预测完美旋转光束的行为。你无需为完美光束进行新的、复杂的计算；只需直接利用你已拥有的关于混乱光束的结果即可。

具体测试案例
作者在三类特定的光束家族上测试了这一想法：

1. 拉盖尔 - 高斯（LG）：经典的“甜甜圈”形激光束。
2. 完美涡旋（PVB）：形成环状且无论旋转多少，尺寸保持不变的光束。
3. 贝塞尔 - 高斯（BG）：具有狭窄核心且在被阻挡后能自我修复的光束。

对于这三类光束，他们发现可以将它们与特定类型的混乱 TGSM 光束相匹配。如果匹配正确，它们将：

• 在传播过程中以完全相同的速率生长和收缩。
• 以完全相同的方式发散。
• 拥有完全相同的“光束质量”评分（$M^2$）。

匹配的局限性
论文也指出了几个边界：

• 单行道：虽然任何此类完美光束都可以被混乱光束模拟，但反之并不总是成立。混乱光束可能拥有某种“指纹”，是没有任何完美光束能匹配的，因为完美光束被限制在特定的离散步骤（如整数）上，而混乱光束可以是连续的。
• 唯一性：对于经典的拉盖尔 - 高斯光束，指纹是唯一的。如果你知道平均尺寸和发散度，你就确切知道它是哪种光束。对于其他类型（完美涡旋和贝塞尔 - 高斯），指纹能告诉你主要特征，但在确切细节上可能存在微小的歧义。

总结
这篇论文架起了光学两个世界之间的桥梁。它证明，一个完美有序、旋转的光束与一个部分混乱、扭曲的光束是二阶孪生体。它们在近距离观察时截然不同，但如果测量它们的平均尺寸、发散度和扭转度，它们则是完全相同的。这使得科学家能够利用混乱光束的简便数学来预测复杂旋转光束的行为。

技术摘要

技术摘要：扭曲高斯谢尔模型光束与轨道角动量本征模的二阶矩等价性

问题陈述
结构化光场的研究历史上沿着两条大体独立的轨迹发展：一是完全相干轨道角动量（OAM）本征模（如拉盖尔 - 高斯、贝塞尔 - 高斯和完美涡旋光束）的研究，二是部分相干扭曲高斯谢尔模型（TGSM）光束的理论。虽然 OAM 本征模的特征在于具有明确定义的拓扑荷 $\ell$ 和特定的径向分布 $U(r)$，而 TGSM 光束则由其互相干函数定义，其中包含一个诱导横向空间与角自由度之间相关性的“扭曲”相位，但已知 TGSM 光束可分解为 OAM 模的统计混合，且 OAM 编码于任意光束的交叉矩中，然而单个相干 OAM 本征态与 TGSM 光束的协方差矩阵之间是否存在直接的结构等价性，此前并未明确建立。本研究的核心问题在于：相干 OAM 光束的二阶统计特性能否精确映射到 TGSM 光束上，从而使得部分相干光学的广泛传播工具箱能够应用于相干结构化光。

方法论
作者采用严格的基于矩的分析方法，比较两类不同光束的协方差矩阵（CM）：

1. 相干 OAM 本征模：由波函数 $\psi(\vec{r}) = U(r)e^{i\ell\phi}$ 定义。作者推导了任意柱对称 OAM 本征态的 CM 一般形式，计算了位置（$x, y$）、波矢量（$k_x, k_y$）及其交叉乘积的期望值。这些计算仅通过二阶矩 $\langle r^2 \rangle$ 和 $\langle k_r^2 \rangle$ 依赖于径向分布 $U(r)$。
2. 扭曲高斯谢尔模型（TGSM）光束：由包含扭曲参数 $u$ 的特定交叉谱密度函数定义。回顾了 TGSM 光束的标准 CM，该矩阵表征了光束宽度、曲率、相干长度以及空间 - 角相关性。

核心方法论涉及将推导出的通用 OAM 本征态 CM 与标准 TGSM CM 进行逐项比较。随后，作者将这种通用对应关系应用于三个具体的光束族：

• 拉盖尔 - 高斯（LG）模：利用其已知的解析径向分布。
• 完美涡旋光束（PVBs）：利用窄环极限（$R \gg w$）下的近似。
• 贝塞尔 - 高斯（BG）光束：应用贝塞尔函数在高斯包络内振荡多次的区域的近似。

对于每个光束族，作者推导了明确的参数对应关系，将 OAM 光束参数（如束腰 $w_0$、径向指数 $p$、环半径 $R$）与 TGSM 参数（光束束腰 $\sigma$、扭曲 $u$、相干长度 $\delta$）联系起来。此外，作者还研究了物理可实现性的条件（确保 TGSM 参数满足类似不确定性的约束 $|u| \leq 1/k\delta^2$）以及映射的可逆性（确定 CM 是否能唯一恢复光束参数）。

主要贡献与结果

• 通用协方差结构：论文证明，任意柱对称相干 OAM 本征模的协方差矩阵采取一种通用形式，仅依赖于 $\langle r^2 \rangle$、$\langle k_r^2 \rangle$ 和量子数 $\ell$。至关重要的是，该矩阵具有与 TGSM 协方差矩阵完全相同的零/非零项模式。
• 直接参数映射：作者建立了两种光束类型之间直接的、逐项的对应关系：
  • 光束宽度 $\sigma^2$ 对应于 $\langle r^2 \rangle/2$。
  • 波矢量方差 $\tau^2$ 对应于 $\langle k_r^2 \rangle/2$。
  • TGSM 扭曲参数 $u$ 与 OAM 量子数 $\ell$ 成正比，并与光束宽度成反比（$u = \ell / k\langle r^2 \rangle$）。
  • 相干长度 $\delta$ 由波矢量方差与角动量贡献之差决定。
• 族特定的可实现性：
  • LG 模：对于任意整数模阶数，该映射在物理上总是可实现的。然而，这种对应是离散的；并非每一个任意的 TGSM 光束都能由 LG 模实现，因为 LG 模的二阶矩乘积是量子化的。
  • PVBs 和 BG 光束：在感兴趣的区域（PVB 的窄环、BG 的多次振荡），匹配的 TGSM 光束必然表现出低相干性（$\sigma^2/\delta^2 \gg 1$）。在这些极限下，相干长度有效地与 OAM 数 $\ell$ 解耦。
• 二阶等价类：该工作定义了一种“二阶等价关系”，即如果两个光束具有相同的 CM，则它们是等价的。因此，任何相干 OAM 光束及其匹配的 TGSM 光束在所有二阶可观测量（在任意辛（ABCD）变换下）方面是不可区分的。这包括相同的光束宽度演化、瑞利范围、远场发散角以及 $M^2$ 光束质量因子。
• 参数唯一性：论文证明，对于 LG 模，协方差矩阵唯一且精确地确定了光束参数（$w_0$ 和 $p$）。对于 PVBs 和 BG 光束，CM 在相关近似下以主导阶确定了参数，尽管从完整矩方程中确定精确唯一性仍是一个未决问题。
• 基矢性质：作者证明了在环宽趋于零（$w \to 0$）的极限下，PVB 模构成一个完整的正交归一基。

意义与主张
论文声称在相干结构化光束社区与部分相干光学社区之间架起了一座“直接桥梁”。通过确立相干 OAM 光束的二阶矩演化由与 TGSM 光束相同的数学结构所支配，作者断言，为 TGSM 光束开发的成熟传播工具箱（包括 ABCD 系统的解析解）可以直接应用于相干 OAM 光束，而无需进一步计算。

其意义在于能够设计一种部分相干的 TGSM 光束，以模仿特定相干 OAM 本征态的传播动力学和 OAM 含量，即使未复现详细的径向场结构。反之，这种等价性允许利用 TGSM 理论的统计参数来表征相干 OAM 光束。作者指出，这种等价性 specifically 适用于二阶矩；高阶结构细节仍然不同。该工作还阐明了特定 OAM 族（LG、PVB、BG）映射到物理可实现 TGSM 光束的条件，强调对于 PVBs 和 BGs，这种映射本质上要求处于低相干区域。