Sample-efficient benchmarking of shallow all-to-all random quantum circuits

本文在解析推导和数值模拟的支持下，引入了非线性交叉熵和基于重输出的二分类器作为样本高效的基准，能够区分含噪的浅层全连接随机量子电路与最先进的经典伪造器。

要点

想象一下，你试图证明一辆新的、超快的赛车（量子计算机）实际上比模拟器中一位非常聪明的赛车手（经典计算机）更快。问题在于，这辆赛车有一个不稳定的引擎（噪声），而模拟器每天都在变得更聪明，有时会欺骗我们，让我们误以为它就是真正的赛车。

本文旨在寻找一种更好的方法来评判这场比赛，特别是针对“浅层”比赛——即那些短暂、快速的电路，赛车尚未有时间变得完全混乱。作者提出了两种新的方法来区分真正的量子赛车和虚假的模拟器。

问题：“虚假”的分数

过去，科学家使用一种称为线性交叉熵（Linear Cross-Entropy）的测试来查看量子计算机是否在执行其任务。这就像老师给学生的作文打分。如果作文看起来像是人类（量子计算机）写的，老师就会给出高分。

然而，最近，“作弊者”（经典算法）学会了如何写出看起来完全像人类写的作文，尽管它们并没有真正从头开始进行艰苦的写作工作。它们可以“欺骗”测试，在没有成为真正的量子计算机的情况下获得高分。对于短而浅的电路来说，这种情况尤为如此。

解决方案 1：“深入挖掘”测试（非线性交叉熵）

作者提出了一种名为非线性交叉熵（Nonlinear Cross-Entropy）的新测试。

• 类比：想象一下，线性测试就像问：“你写了一个句子吗？”作弊者可以轻易地回答“是”并伪造它。而非线性测试则像问：“写一个句子，然后解释为什么你选择了每一个单词，以及这些字母在你嘴里的感觉如何。”
• 工作原理：这种测试以更复杂的方式查看数据的“形状”。作者使用了一种称为布朗电路（Brownian Circuit）的数学工具（将其视为量子电路的“流体”版本，更易于分析，就像研究水流而不是单个水分子一样），证明了：
  1. 真正的、有噪声的量子计算机将产生特定的“指纹”分数。
  2. 试图伪造的作弊者将获得完全不同的分数。
  3. 即使有“不稳定的引擎”（噪声），真实计算机的分数也足够独特，以至于你不需要数百万次比赛运行就能看出差异。你只需要少量样本。

他们发现，对于短电路，这种测试是样本高效的。这意味着你不需要运行十亿次比赛来确认；少量运行就足以将真正的量子计算机与作弊者区分开来。

解决方案 2：“重击手”检测器（二分类器）

第二种方法甚至更快。它基于一个称为重输出生成（Heavy Output Generation, HOG）的概念。

• 类比：想象一下彩票机。公平的机器完全随机地选择数字。然而，量子机器是混乱的，倾向于比其他数字更频繁地选择某些“幸运”数字（重输出），同时避开其他数字。
• 测试：作者创建了一个简单的“是/否”分类器。
  • 你运行一次电路并获得结果。
  • 你检查：“这个结果是否是‘重’幸运数字之一？”
  • 如果答案是“是”，它很可能是真正的量子计算机。如果是“否”，则很可能是作弊者。
• 神奇之处：作者证明，使用这种方法，你所需的样本数量随着计算机变大而增长得非常缓慢（对数级）。
  • 类比：如果你有一台小型计算机，你可能需要 10 个样本。如果你有一台巨大的计算机，你可能只需要 20 个样本。你不需要在计算机变大时加倍努力；你只需要多一点点。这极其高效。

他们是如何做到的（“秘密武器”）

为了证明这些想法有效，作者并没有仅仅猜测。他们使用了一种巧妙的数学技巧：

1. 流体模型：他们将量子电路建模为“布朗”流体。这使得他们能够使用物理学工具（通常用于研究磁铁或热量）来计算这些电路行为的精确公式。
2. 复制技巧：他们想象并行运行电路多次（就像拥有计算机的克隆体）来计算平均行为。这帮助他们准确预测真实计算机与作弊者的分数将如何表现。
3. 验证：他们还在多达 40 个量子比特的计算机上运行了计算机模拟，以确认他们的“流体”数学与真实、离散的量子门发生的情况相匹配。

底线

该论文声称，对于短而浅的量子电路：

1. 非线性交叉熵是一种可靠的测试，可以区分真实的有噪声量子计算机和经典作弊者，即使计算机并不完美。
2. 一种新的二分类器（基于“重输出”）甚至更高效，只需要极少的样本即可进行区分。

这为科学家提供了一种新的、稳健的方法来证明“量子优势”（即量子计算机正在做经典计算机无法轻易伪造的事情），而无需等待纠错或等待电路变得非常深。

技术摘要

标题： 浅层全连接随机量子电路的样本高效基准测试

问题陈述
随机电路采样（RCS）是展示含噪声中等规模量子（NISQ）硬件量子优势的主要框架。然而，现有的基准测试，特别是线性交叉熵基准（LXEB），已被证明易受“欺骗”攻击，即那些未能忠实采样理想输出分布的经典算法。这一脆弱性提出了一个关键问题：是否存在样本高效的基准测试，能够区分真实的含噪声量子硬件与最先进的经典欺骗者，特别是在浅层深度随机电路的范围内？尽管有证据表明，超过某一深度阈值后，从浅层随机电路采样在经典计算上可能是不可行的，但目前尚无任何基准测试能在此范围内可靠地区分含噪声量子计算机与对抗性经典欺骗者。

方法论
作者采用了一个基于全连接布朗随机电路系综的理论框架。与离散 Haar 随机电路不同，布朗电路是连续时间模拟，由受高斯白噪声耦合支配的随机全连接双量子比特相互作用组成。该模型作为一个解析上可处理的“实验室”，用于 RCS 研究。

核心技术方法包括：

1. 统计力学映射： 作者将酉矩阵矩的系综平均（具体为 $2k$ 份或副本）映射到逆温度 $\beta$ 与电路深度成正比的量子统计力学问题。这产生了一个有效的多体哈密顿量 $H^{(k)}_{\text{eff}}$。
2. 大 $n$（平均场）方法： 利用全连接特性，作者应用大 $n$（平均场）技术求解 $H^{(k)}_{\text{eff}}$ 的谱。这使得能够精确计算输出概率分布的任意高阶矩，而这一任务对于离散酉电路而言 notoriously 困难。
3. 副本技巧： 为了计算概率对数的均值等非线性量（交叉熵所需），作者采用了副本技巧。这涉及计算整数 $k$ 的矩 $\langle q^k \rangle$，将其解析延拓至复平面，对 $k$ 求导，并取极限 $k \to 0$。
4. 噪声建模： 通过微扰理论将单量子比特去极化噪声纳入模型，将噪声率 $\gamma$ 视为相对于耦合强度 $J$ 的小参数。
5. 数值验证： 由布朗模型导出的解析结果得到了离散全连接随机量子电路数值模拟的证实，这些电路由 Haar 随机双量子比特门组成（最多 40 个量子比特）。

主要贡献与结果

1. 作为样本高效基准的非线性交叉熵（log XEB）：
   论文推导了系综平均非线性交叉熵（$\log \text{XEB}$）及其方差关于电路深度、系统大小 $n$ 和噪声率 $\gamma$ 的精确解析表达式。

   • 结果： 在浅层深度范围内（$\log n \gtrsim \beta J \gg 1$），估计 $\log \text{XEB}$ 的信噪比随系统大小呈多项式倒数缩放。
   • 推论： 与需要指数级样本才能估计的深层电路不同，非线性交叉熵对于浅层电路是样本高效的。它在完美清洁采样器（$\gamma=0$）、含噪声量子采样器（$\gamma > 0$）和“哈佛”欺骗算法（建模为 $\gamma \to \infty$ 的极限）之间建立了严格的层级关系，使得它们能够被可靠地区分。

2. 重输出生成（HOG）二分类器：
   作者开发了一种基于“重输出生成”（HOG）概念的新二分类协议，该协议利用了随机量子电路倾向于以更高概率产生特定“重”比特串的特性。

   • 结果： 该分类器在短深度下具有对数样本复杂度（$m \sim \log n$）。它仅需单个比特串样本即可高概率地区分含噪声量子采样器与经典欺骗者。
   • 机制： 该分类器利用决策边界（阈值分数 $z^*$）来分离清洁量子采样器（倾向于高分）与经典欺骗者（倾向于低分）的分数分布。误分类的概率随样本数量呈指数衰减。

3. 解析表达式：
   论文提供了以下闭式表达式：

   • 平均非线性交叉熵：$\log \text{XEB} = nH\left(\frac{1+a}{2}\right) + \gamma_e - e^{-n\beta\gamma}$（其中 $a = e^{-12\beta J}$，$H$ 为二元熵）。
   • 非线性交叉熵的方差，显示了取决于电路深度是低于还是高于交叉点（$c=1/2$）的不同缩放行为。

意义与主张
论文声称证明了非线性交叉熵是浅层全连接随机电路的可行且样本高效的基准测试，而在该范围内之前的基准测试要么失败要么被欺骗。作者认为，即使存在去极化噪声，该指标也能可靠地区分真实的含噪声量子硬件与最先进的经典欺骗者（特别是哈佛算法）。

此外，提出的基于HOG 的二分类器通过将样本复杂度从多项式（均值估计所需）降低到对数，提供了显著的实用优势，从而能够以最少的数据快速验证量子优势。

作者指出，虽然他们的结果是基于布朗电路系综推导的，但数值模拟证实这些发现可推广至离散全连接随机电路。他们建议，这些基准测试对于未来在全连接平台上进行的实验尤为相关，例如中性原子和囚禁离子量子计算机，在这些平台上可以使用这些指标评估逻辑随机电路采样。论文明确指出，针对其他潜在欺骗算法的更严格分析留待未来工作。