Kohn-Luttinger Superconductivity of Weyl Fermi Arcs in PtBi$_2$

本文提出，在 Weyl 半金属 PtBi$_2$ 表面观察到的非常规超导电性源于由 Weyl 费米弧上的排斥相互作用介导的 Kohn-Luttinger 机制，该机制稳健地导致了一种在每条弧中心具有节点的拓扑 $i$-波配对态。

要点

想象一种被称为 PtBi2（铂-铋）的晶体，它就像一座繁忙的城市。在这座城市内部，电子通常以一种混乱、拥挤的方式移动。但在这种特定晶体的表面上，神奇的事情发生了：电子表现得像是被称为**外尔费米子（Weyl fermions）**的无质量、幽灵般的粒子。

可以将这些表面电子想象成不是密集的拥挤人群，而是沿着特定的、蜿蜒的公路移动的旅行者，这些公路被称为费米弧（Fermi arcs）。这些弧线就像是连接城市地图中两个遥远点的桥梁。

谜团：超导幽灵

最近，科学家们注意到这些表面公路正在变成超导体。在超导体中，电子会配对并无摩擦或阻力地移动，就像在完美光滑的冰面上滑行的舞者。

然而，这里存在一个谜题。一些实验表明，这些表面电子是以一种非常奇怪的“节点（nodal）”方式配对的（这意味着超导能力会在特定点降为零，就像中间有一个洞的甜甜圈）。但也有人并不确定这是否真的在发生。核心问题在于：是什么看不见的力量促使这些电子进行配对？

解决方案：“科恩-卢廷格（Kohn-Luttinger）”之舞

本文提出了一种使用被称为科恩-卢廷格理论的解决方案。

用日常语言来说，想象表面上的电子是一群彼此厌恶的人（它们有一种“排斥力”，就像同极相斥的磁铁）。通常你会认为它们会互相远离。

但科恩-卢廷格理论表明，由于这些电子处于一种特定的、拥挤的环境中（即费米弧），它们之间的相互厌恶实际上创造了一种复杂的、间接的“舞蹈”。它们以一种奇特的方式互相推挤，这种推挤竟然产生了一种节奏，使得它们能够配对。这就像一群讨厌靠近的人，因为房间的形状呈现出特定的圆圈，突然间找到了一种握手的方式。

发现：“i-波（i-wave）”形状

研究人员构建了一个该晶体的数学模型，并运行了模拟，以观察电子会选择什么样的“舞蹈”。

他们发现，在他们模型的很大一部分区域内，电子自然而然地选择了一种特定的配对风格，称为 i-波对称性（i-wave symmetry）。

• 类比： 想象费米弧是一座弯曲的桥。“i-波”配对意味着电子在桥的两端强烈配对，但在桥的中心位置，配对能力降为零。这就像一座桥在支撑处很坚固，但在正中间却有一个微小的、看不见的缝隙。
• 为什么重要： 这个“中间的空隙”（节点）与最近一些实验（使用一种称为 ARPES 的技术）在 PtBi2 表面观察到的现象完全吻上。

发现的稳健性

团队通过改变其模型的“规则”来测试了他们的理论：

• 改变人群规模（化学势）： 即使在增加或减少电子的情况下，“i-波”舞蹈仍然是最受欢迎的选择，尤其是在电子靠近公路中心时。
• 改变厌恶强度（相互作用强度）： 即使让电子之间的排斥力变得更强，i-波状态依然保持稳固。
• “无解”区域： 他们发现，如果电子离公路中心太远，另一种舞蹈（称为“节点 s-波”）就会占据主导，但在最相关的条件下，i-波仍然是主要的领导者。

核心结论

本文认为，在 PtBi2 表面观察到的奇异超导现象并非由晶体中的振动（声子）或某种外部力量引起。相反，它纯粹是由表面高速公路上电子之间的排斥作用驱动的。

其结果是一种高度特定的拓扑态，称为 i-波超导性，其特征是在电子路径的正中心有一个“洞”或节点。这为我们现有的实验数据提供了一个强大的理论解释，表明这种晶体的表面是一个独特的游乐场，在这里，排斥的电子学会了以一种非常特定且奇异的模式进行舞蹈。

技术摘要

问题陈述

最近在非中心对称 Weyl 半金属 $\text{PtBi}_2$ 中的实验观察表明，存在由拓扑表面态（具体为 Weyl Fermi 弧）承载的非常规超导电性。这些实验表明，其表面临界温度（$T_c \sim 5\text{--}14\text{ K}$）与非超导或弱超导的体相（$T_c \sim 0.5\text{ K}$）截然不同。虽然扫描隧道显微术/谱学（STM/STS）和角分辨光电子能谱（ARPES）已报道了具有高度节点超导态的证据，且该状态在每个 Fermi 弧的中心存在一个节点，但这种状态的本质和配对机制仍然是一个谜。目前尚不清楚这种不稳定性是由声子、由 Fermi 弧介导的电子相互作用，还是两者的结合所驱动。此外，由于体相 Weyl 半金属在费米能级附近的态密度受到抑制，使得内在的体相配对变得困难，而表面 Fermi 弧则提供了有限的态密度，这可能允许更高温度的表面超导电性的出现。Fermi 弧上超导序参量的特定对称性，以及斥力型电子相互作用在驱动此类状态中的作用，需要理论上的澄清。

研究方法

作者采用双管齐下的理论方法来研究 Weyl Fermi 弧上的超导配对：

1. 唯象斑块模型（Phenomenological Patch Model）： 作者构建了一个通用的唯象模型，将六个 Fermi 弧视为十二个斑块（每个弧有两个，由体相 Weyl 点的手征性进行标记）。他们分析了零动量电子对在质心系中的散射过程。相互作用被分为同手征（$g_\theta$）和异手照（$w_\theta$）散射，其中 $\theta$ 表示散射角。通过构建一个 $12 \times 12$ 的配对矩阵并求解所得的特征值方程，他们绘制了作为相互作用参数函数的潜在超导不稳定性相图。该模型考虑了费米子不可区分性和时间反演对称性，这些因素限制了允许的散射过程和能隙函数的宇称。

2. 微观 Kohn-Luttinger 计算： 为了从第一性原理出发确定有效相互作用，作者利用了 Kohn-Luttinger 方法。他们使用具有两个自旋轨道每格点的最小紧束缚哈密顿量对 $\text{PtBi}_2$ 的电子结构进行建模，该哈密顿量在 $C_{3v}$ 点群下是不变的，保持了时间反演对称性，并打破了反演对称性。相互作用通过具有在位排斥能 $U$ 和交换耦合 $J$ 的 Hubbard-Hund-Kanamori 哈密顿量进行建模。在弱耦合情景下，他们通过用粒子-空穴涨落（二阶图表贡献）对裸排斥相互作用进行修饰，计算了库珀通道中的有效配对顶点。随后，他们对线性化能隙方程进行数值求解，以识别作为相互作用强度（$U, J$）和化学势（$\mu$）函数的领先超导不稳定性。

核心贡献与结果

• 不稳定性相图： 唯象 12-斑块模型揭示了依赖于同手征与异手征相互作用比例的丰富相图。当同手征相互作用相近时，系统倾向于具有二重简并的 $d$-波和 $g$-波解（可能是手性 $d+id$和$g+ig$）。然而，当降低相对于异手征相互作用的同手征相互作用时，这些态会被抑制，并产生节点型$i$-波和全能隙$s$-波配对不稳定性。该模型还预测了一个不存在解（无正特征值）的区域，以及一个分隔$i$-波相和全能隙$s$-波相的窄$s$-波节点区域。
• 宇称约束： 研究确认，对于保持时间反演对称性的非中心对称 Weyl 半金属，由于费米子不可区分性和反对易性，奇宇称解（$p$-波、$f$-波、$h$-波）是被禁止的。带内能隙函数必须是偶宇称的。作者澄清说，此类系统中的“单态-三态混合”是由于散射过程中自旋-动量锁定导致的运动学结果，而非真正的不同宇称能隙函数的混合。
• $i$-波态的主导地位： $\text{PtBi}_2$ 的微观 Kohn-Luttinger 计算表明，对于较小的裸排斥相互作用（$U < 1.5$）且化学势靠近 Weyl 点（$\mu = 0$）的情况，领先的超导不稳定性是一个 $i$-波态。该状态在每个 Fermi 弧的中点处具有精确的节点，这与最近的 ARPES 观测结果一致。
• 化学势依赖性： 当化学势偏离 Weyl 点时，节点型 $s$-波态（每个弧有两个节点）变得日益显著。在较大的相互作用强度（$U$）下，会出现全能隙 $s$-波态，并且该态对化学势的变化具有鲁棒性。
• 定量一致性： 作者展示了从微观 Kohn-Luttinger 计算中提取的唯象散射振幅能够定量地重现斑块模型得到的相图。这证实了当异手征散射具有强排斥性时，由相反手征 Weyl 点的表面投影之间的排斥相互作用驱动 $i$-波态的形成是受到青睐的。

意义

本文为在 $\text{PtBi}_2$ 表面观察到的拓扑 $i$-波超导电性提供了一种可能的机制，这种超导电性完全由通过 Kohn-Luttinger 机制介导的电子排斥相互作用所驱动。结果表明，观察到的高度节点态是 Weyl Fermi 弧相图中一个鲁棒的特征，特别是当异手征散射具有强排斥性时。研究结果意味着，Weyl 半金属表面的超导序参量的特定对称性对化学势和相互作用参数高度敏感，而这些参数可能会随表面终止方式而变化。本研究建立了一个理解 Weyl 半金属表面（超越 $\text{PtBi}_2$）产生的超导不稳定性之框架，这可能影响对这些材料中如手征异常诱导磁电阻等输运特性的理解。作者指出，虽然其最小模型捕捉到了本质物理，但若要全面解决表面与体相态之间的相互作用以及特定表面终止的影响，则需要更真实的基于密度泛函理论的模型。