Deterministic generation of cat states with more than $100$ photons under dissipation

本文提出了一种基于通用量子控制理论和动力学不变性的确定性协议，用于在混合比特-玻色子系统中生成平均光子数超过 120 的大型猫态，在厄米情形下实现了完美保真度，并在非厄米耗散条件下实现了超过 0.962 的保真度。

要点

想象一下你正试图烘焙一个完美的、巨大的“量子蛋糕”。在量子物理世界中，这个蛋糕被称为薛定谔猫态（Schrödinger's cat state）。就像那个著名的思想实验中，猫同时处于死与活的状态一样，这个量子蛋糕也是两种截然不同的状态同时存在的叠加态。

问题在于，这些蛋糕极其脆弱。你试图把蛋糕做得越大（增加更多的“光子”或粒子），它在被端上桌之前就更容易崩塌的可能性就越大。通常情况下，如果你尝试做一个巨大的蛋糕，环境（噪声、热量、损耗）会毁掉它，最终你得到的不是一个宏伟的蛋糕，而是一个微小且凌乱的碎屑。

Zhu-yao Jin 和 Jun Jing 的这篇论文提出了一种全新的、万无一失的配方，旨在确定性地（即每次都能成功，而不只是靠运气）烘焙出这些巨大的量子蛋糕。

核心秘诀：“动力学不变性”（The Dynamical Invariant）

作者使用了一个被称为动力学不变性的数学工具。你可以把它想象成一个“神奇指南针”或“GPS 轨迹”，系统必须遵循这条路径。

通常，当你试图操控一个量子系统时，就像是在蒙着眼睛驾驶一辆行驶在颠簸路面上的汽车；你可能会偏离航线。但这个“不变性”就像是行驶在轨道上的火车。无论引擎（能量源）如何改变速度或方向，火车都必须保持在轨道上。作者设计了一套特定的规则（哈密顿量），迫使量子系统始终保持在这条完美的轨道上，从一个简单的起点（真空态）直接引导至一个巨大的猫态，而从未迷失方向或崩塌。

配方：两部分组成的系统

为了烘焙这个蛋糕，他们使用了一个混合厨房，包含两种主要原料：

1. 量子比特（厨师）： 一个微小的二能级系统（类似于一个“开”或“关”的开关）。
2. 玻色子模（搅拌碗）： 一个容纳光粒子（光子）的容器。

厨师（量子比特）与搅拌碗（玻色子模）相连。奇迹发生于此：厨师处于一种特殊的“既开又关”的状态。正因如此，搅拌碗被迫同时沿着两条不同的路径运行，从而创造出巨大的叠加态（猫态）。

两种场景：完美厨房 vs. 漏水的厨房

1. 完美厨房（厄米特情形/Hermitian Case）
在一个理想的世界里，没有噪声或能量损耗，作者展示了他们的配方可以创造出完美的猫态。

• 结果： 他们成功培育出了一个平均拥有 120 个光子的猫态。
• 质量： 保真度（Fidelity）为 100%。它完全符合预期。

2. 漏水的厨房（非厄米特情形/Non-Hermitian Case）
在现实世界中，东西会泄漏。能量会逃逸，或者有时会有额外的能量意外进入（增益）。这通常会破坏量子态。

• 窍门： 作者意识到他们可以利用这种“泄漏”来化被动为主动。他们将烘焙过程分为两个阶段。
  • 第一阶段： 他们让系统“损失”能量（就像让蒸汽逃逸）。
  • 第二阶段： 他们切换到“增益”模式（将能量补回）。
• 结果： 通过精心计算这种切换的时机，他们抵消了误差。即使存在泄漏，他们也成功烘焙出了一个拥有 120 个光子且保真度高达 96.2% 的猫态。虽然不是完美的，但已经非常接近，并且是确定性地实现的。

更大的蛋糕：“四足”猫态

论文还展示了如何制作更复杂的蛋糕。

• 内禀猫态（Intrinsic Cat States）： 这些是涉及猫、毒药瓶和放射性原子三者同时纠缠的复杂蛋糕。
• 四足猫态（罗盘态/Compass States）： 想象一只猫不仅是“死与活”并存，而且同时在四个方向上呈现出“死-活”和“活-死”的叠加。作者展示了如何同样以高保真度烘焙出这些大型、多部分的蛋糕。

为什么这很重要

该论文声称这是一个重大的进步，原因如下：

1. 尺寸： 他们打破了 100 个光子的壁垒，这对于此类状态来说是非常巨大的规模。
2. 可靠性： 他们是“确定性”地完成的。以往的方法往往像是在掷骰子——你可能偶尔能得到一个大的猫态，但大部分时间你什么也得不到。而这种方法每次都奏效。
3. 通用性： 同一个“神奇指南针”（动力学不变性）无论是在完美系统还是泄漏系统中都适用，并且可以制作不同形状的量子蛋糕（如两足、四足等）。

简而言之，作者构建了一条鲁棒且自动化的流水线，能够可靠地制造出大规模、复杂的量子态，克服了长期以来困扰此类研究的脆弱性难题。

技术摘要

技术摘要：在耗散条件下确定性生成超过100个光子的猫态

问题陈述
大尺寸薛定谔猫态是探索量子-经典过渡、量子计量学和容错量子计算的重要资源。然而，由于这些状态在退相干下的脆弱性日益增加，生成具有大振幅的猫态仍然是一个重大挑战。现有方法面临特定的局限性：

• 原子系统： 制备过程受到单个原子系统误差和耗散的影响，导致保真度较低（例如，20个里德堡原子的保真度约为0.54）。
• 玻色子系统： 虽然更具通用性，但目前的方案在确定性实现大振幅（$|\alpha|$）方面仍存在困难。
  • 绝热方案（Adiabatic protocols） 受限于长时间的环境暴露。
  • 绝热捷径（Shortcuts to adiabaticity, STA） 通常需要极高的挤压水平（约15 dB），或者产生的振幅有限（$|\alpha| < 2$）。
  • 基于门的确定性方法 已展示出振幅约为 $|\alpha| \sim \sqrt{7}$，保真度约为 0.91。
  • 概率性方法（如光子减除法）可以预测高保真度和大振幅，但成功概率较低（约0.02）。
  • 稳态稳定化 需要特定的二光子损耗占主导地位，这在工程实现上非常困难。

因此，需要一个统一的理论框架，能够在具有可控性的闭合和开放量子系统中，确定性地生成大尺寸猫态。

方法论
作者提出了一种基于**通用量子控制（UQC）理论的方案，利用动力学不变性（dynamical invariants）**来控制混合比特-玻色子系统的动力学。该方法包括：

1. 系统模型： 一个量子比特与一个玻色子模式纵向耦合的混合系统。该系统可以是封闭的（厄米特/Hermitian）或开放的（非厄米特/non-Hermitian，源自在后选择下的林德布拉德主方程）。
2. 辅助图像变换： 通过一个依赖于量子比特状态的时间相关幺正变换 $V(t)$，在辅助表示中分析系统动力学。该变换将原始哈密顿量 $H(t)$ 映射到旋转后的哈密顿量 $H_{rot}(t)$。
3. 动力学不变性： 该方案构建了静态动力学不变性 $J(0)$，它满足关于旋转哈密顿量的海森堡方程。这对于原始哈密顿量的时变参数（特征频率、耦合强度和相位）施加了特定的约束。
4. 演化控制： 通过确保系统根据这些不变性进行演化，使玻色子模式能够从真空态确定性地驱动至目标猫态。
   • 厄米特情况： 约束确保了向目标态的完美演化。
   • 非厄米特情况（开放系统）： 方案考虑了增益和损耗率。为了在目标时刻保持概率守恒，演化被分为两个阶段：一个由增益主导，另一个由损耗主导。通过调节相位参数 $\beta_i(t)$ 来管理这两个阶段之间的转换，以确保动力学不变性的连续性，从而在最终时刻实现波函数的归一化。

核心贡献

• 统一框架： 本文将 UQC 理论扩展到了混合离散-连续变量系统，提供了一种在厄米特（封闭）和非厄米特（开放）机制下生成大尺寸猫态的方法。
• 确定性生成： 与概率性方法不同，该方案提供了猫态的确定性生成。
• 可扩展性： 该方法不像 STA 方案那样受限于驱动强度与非线性的比例，从而允许生成超大振幅的态。
• 多功能性： 该方案经过推广，不仅可以生成标准的双分量猫态，还可以生成“内在”猫态（将玻色子模式与两个量子比特纠缠）以及四腿（指南针型）猫态。

结果
基于所提方案的数值模拟表明：

• 封闭系统（厄米特）： 从真空态和处于平衡叠加态的量子比特开始，系统演化至一个具有**单位保真度（$F=1$）**且平均光子数 $\bar{n} \sim 120$（振幅 $|\alpha| \approx 3.5\pi$）的猫态。
• 开放系统（非厄米特）： 在存在耗散的情况下，该方案实现的猫态平均光子数 $\bar{n} \sim 120$，且保真度 $F > 0.962$。通过增益/损耗切换，密度矩阵的迹在目标时刻被恢复为一。
• 内在及四腿态：
  • 内在猫态： 以接近单位的保真度和 $\bar{n} > 100$ 生成。
  • 四腿猫态： 该方案成功生成了四分量猫态（$|\alpha\rangle + |-\alpha\rangle + |i\alpha\rangle + |-i\alpha\rangle$），其保真度 $F > 0.965$ 且平均光子数 $\bar{n} \sim 95$。

意义
本文声称，这项工作实质上推动了通用量子控制向混合离散-连续变量系统的发展。通过利用动力学不变性，该方案克服了大型猫态在退相干下的脆弱性，实现了具有创纪录高保真度和振幅（超过100个光子）的宏观量子态的确定性制备。这为创建容错量子计算和高精度量子计量学所需的宏观量子态提供了一条重要的途径。该模型被认为可以通过位移操作在各种实验平台（包括电路量子电动力学（circuit QED）和陷阱离子系统）中直接实现或执行。