Dynamic scaling and Family-Vicsek universality in the Hubbard model at infinite temperature

本文研究了无限大温度下的一维哈伯德模型中电荷、自旋和能量涨落的 Family-Vicsek 标度行为，揭示了尽管可积系统表现出弹道或 KPZ 输运机制，且破缺可积性会导致扩散，但所有情形在进入各自的水动力标度窗口之前，都表现出普遍的短时弹道增长。

要点

想象一条长长的、拥挤的走廊，里面充满了可以向左或向右移动的人（电子）。这条走廊代表了被称为**哈伯德模型（Hubbard model）**的一种材料中的一维原子链。这篇论文研究了当人们在最大速度（无限温度）下混乱移动时，“混乱度”或“涨落”是如何在走廊中传播的。

研究人员试图回答一个简单的问题：特定区域内的“混乱度”如何随时间增长？

为了便于理解，你可以将这种“混乱度”想象成一堆沙子的堆积高度，或者是墙面被粉刷时的粗糙程度。在物理学中，这被称为Family-Vicsek 标度律（Family-Vicsek scaling）。这是一个规则手册，它根据你观察的区域有多大以及经过了多少时间，来预测表面的粗糙度如何变化。

以下是研究人员的发现，通过日常概念进行了拆解：

1. 三种类型的“交通”

研究人员观察了在走廊中移动的三种不同事物：

• 电荷（Charge）： 人们自身的移动（电子）。
• 自旋（Spin）： 人们面对的方向（向上或向下）。
• 能量（Energy）： 人群的总活动量或“热度”。

他们发现，这三种事物的传播方式完全取决于“游戏规则”（人与人之间的相互作用）。

2. 三种情景

情景 A：自由流动的群体（无相互作用）
想象走廊里的人彼此完全不会碰撞。他们只是径直行走。

• 结果： 所有事物都以恒定速度沿直线运动。这被称为**弹道式（Ballistic）**传输。
• 类比： 就像没有交通灯的空旷高速公路上的汽车。如果你观察一段路面，其“混乱度”（涨落）会稳定且可预测地增长。
• 谁表现出这种行为？ 当不存在相互作用时，电荷、自旋和能量都表现出这种行为。

情景 B：“可积”群体（有严格规则，但存在相互作用）
现在，想象人们会互相碰撞，但他们遵循一套非常严格的、神奇的规则（数学上的“可积性”），这种规则防止了完全的混沌。他们的动作不能随心所欲；他们的移动是高度协调的。

• 电荷与自旋： 这两者陷入了一种奇特的、超扩散状态，称为 KPZ 标度律。
  • 类比： 想象一群人试图排队，但他们不断地互相碰撞，从而产生了一种“交通堵塞”——这种堵塞增长的速度比普通扩散快，但比自由流动慢。这就像是在音乐节现场，人群试图同步起舞，却因为彼此干扰而产生波动。这种“粗糙度”呈现出一种特定的、曲线式的增长模式。
• 能量： 出人意料的是，能量仍然像自由流动的群体那样运动（弹道式）。
  • 类比： 尽管人们在互相碰撞，但房间里的“热度”或“喧闹声”依然能瞬间穿透，不受人群本身交通拥堵的影响。

情景 C：混乱的群体（规则被打破）
最后，研究人员通过引入一种新的、混乱的相互作用（人们会撞到邻居的邻居）打破了那些神奇的规则。这破坏了“可积性”。

• 结果： 一切都变成了扩散式（Diffusive）。
• 类比： 这就像是一个拥挤的派对，每个人都在随机地碰撞。如果你在水中滴入一滴染料，它会缓慢地扩散并均匀地铺开。这种“混乱度”的增长比前两种情景要慢得多。
• 谁表现出这种行为？ 当规则被打破时，电荷、自旋和能量都会变慢，并变为扩散式。

3. “微观层面”的惊喜

在这些长期模式（无论是高速公路、交通堵塞还是派对）完全显现之前，研究人员发现存在一个非常短暂的初始时刻，此时所有事物的表现都是相同的：它们增长得非常快，就像被投掷出去的球一样。

• 类比： 无论后来的规则是什么，如果你观察最初的极短瞬间，“混乱度”会在进入长期节奏之前迅速飙升。这是一个普遍存在的“微观机制”，发生在宏观图景显现之前。

研究结果总结

论文的结论是，可积性（Integrability）（即那些严格且神奇规则的存在）才是核心。

• 如果规则是完美的（可积）： 电荷和自旋会被困在“交通堵塞”中（KPZ），但能量会飞速穿过（弹道式）。
• 如果规则被打破（非可积）： 一切都会减速，变成缓慢的随机扩散（扩散式）。
• 如果没有人互相碰撞（自由）： 一切都会飞速穿过（弹道式）。

研究人员使用了一种巧妙的数学工具——量子生成函数（Quantum Generating Function），通过它可以在无需追踪走廊中每一个人的情况下，统计出这些涨落，从而清晰地观察到这些模式。他们证实了系统的“粗糙度”遵循一个普遍的数学定律，但其增长的速度完全取决于系统是在遵循这些严格规则还是在打破规则。

技术摘要

技术摘要：哈伯德模型在无限温度下的动态标度与 Family–Vicsek 普适性

问题陈述
本研究探讨了无限温度下的一维费米–哈伯德（Fermi–Hubbard）模型的输运性质与涨落动力学。具体而言，作者旨在表征子系统中电荷、自旋和能量涨落的标度行为。研究重点在于这些涨落如何从短时微观机制演化到长时流体动力学窗口，以及这些行为如何随系统相互作用强度和可积性的变化而变化。核心问题在于，最初为经典界面生长开发的 Family–Vicsek (FV) 标度框架是否适用于量子多体系统，以及电荷、自旋和能量部门在不同相互作用强度和可积条件下具有怎样的普适类差异。

方法论
作者采用量子生成函数 (QGF) 方法来计算转移守恒量的随时间变化的累积量，而无需重建完整的概率分布。

• 模型： 研究利用具有最近邻跳跃 ($J$) 和在位相互作用 ($U$) 的一维哈伯德哈密顿量 ($H_{\text{Hubb}}$)。为了探测破缺可积性的影响，添加了次近邻密度相互作用 ($V$) ($H = H_{\text{Hubb}} + H_{\text{NNN}}$)。
• 初始态： 模拟在无限温度下进行，由完全混合密度矩阵 $\rho_\infty = 1/4^L$ 表示，对应于半填充且零磁化强度。
• 数值技术： 使用矩阵乘积算符 (MPO) 表示法和李乌维尔空间中的时间演化块解离 (TEBD) 来评估 QGF。该方法涉及向链的一个片段施加“扭转”算符 $R(\lambda) = e^{i\lambda Q_\ell}$，演化状态，并从特征函数中提取累积量。
• 标度分析： 作者分析了“粗糙度” $W(\ell, t)$，其定义为大小为 $\ell$ 的子系统中转移量平方根的二阶累积量。他们测试了 FV 标度假设 $W(\ell, t) \sim \ell^\alpha f(t/\ell^z)$，以提取粗糙度指数 ($\alpha$)、增长指数 ($\beta$) 和动力学指数 ($z$)。

主要贡献与结果
本文通过分析电荷、自旋和能量三个不同的部门，建立了哈伯德模型输运机制的全面映射。

1. 普适的短时微观机制：
   在所有部门和参数机制下（自由、可积相互作用及非可积），作者都观察到一个短时机制，其中涨落呈弹道式增长 ($W \sim t$)。这发生在流体动力学标度窗口出现之前。

2. 电荷与自旋部门：

• 自由极限 ($U=0, V=0$)： 电荷和自旋均表现出弹道输运，动力学指数 $z=1$（增长指数 $\beta=1/2$）。
• 可积相互作用极限 ($U \neq 0, V=0$)： 系统向 Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) 普适类转变。动力学指数变为 $z=3/2$ ($\beta=1/3$)，表明存在超扩散输运。
• 非可积极限 ($V \neq 0$)： 破缺可积性驱动系统进入扩散机制，其 $z=2$ ($\beta=1/4$)。

3. 能量部门：

• 可积机制 ($V=0$)： 与电荷和自旋不同，即使在存在有限在位相互作用 ($U \neq 0$) 的情况下，能量部门仍保持弹道输运 ($z=1$)。作者将其归因于能量流不与导致其他部门产生 KPZ 反常的非阿贝尔荷耦合。
• 非可积机制 ($V \neq 0$)： 与其他部门类似，破缺可积性使能量输运变为扩散型 ($z=2$)。

4. 粗糙度的普适性：
   研究发现粗糙度指数 $\alpha$ 在所有部门和机制中都是普适的 ($\alpha = 1/2$)，这与一维系统的预期一致。

意义与主张
本文声称，Family–Vicsek 标度框架提供了一种紧凑且统一的方法，用于组织和区分哈伯德模型内的弹道、反常 (KPZ) 和扩散输运。其主要意义在于证明了可积性是控制因素，决定了长时动力学，但其影响具有部门依赖性：

• 在可积哈伯德链中，电荷和自旋表现出 KPZ 标度，而能量保持弹道输运。
• 可积性的破缺（通过 $V$）普遍恢复了所有部门的扩散行为。

作者强调，其结果将微观守恒律和可积性与涌现的流体动力学联系起来。他们指出，以往的工作侧重于无相互作用系统或特定极限，而本研究系统地比较了在可积和非可积相互作用机制下的电荷、自旋和能量。研究结果表明，能量输运沿可积线遵循一条与电荷和自旋截然不同的路径，这一细微差别通过 FV 标度分析得到了有效的捕捉。这项工作受到能够探测此类高温、远离平衡态动力学的冷原子量子模拟器技术的启发。