Order parameters and ground-state phase diagram of the interacting topological Su-Schrieffer-Heeger model with extended-range hoppings

本文研究了具有扩展程跳跃的相互作用 Su-Schrieffer-Heeger 模型，揭示了包含拓扑、超导类及电荷密度波相的丰富基态相图，并推导出了序参数，以展示相互作用如何使非单向跳跃区别于非相互作用情形。

要点

想象一个长长的、狭窄的走廊，两旁排列着成对的储物柜。在这个走廊里，我们有一些微小的、看不见的粒子（我们称之为“舞者”），它们可以在这些储物柜之间跳跃。这种设置在物理学中被称为苏-施里弗-海格（SSH）模型。

多年来，科学家们一直在研究当舞者独自一人或者仅跳向紧邻的下一个储物柜时是如何移动的。他们发现舞者可以形成“拓扑”模式——这是一种特殊的排列方式，具有鲁棒性且难以被破坏，就像是一个即使你晃动绳子也能保持打结状态的绳结。

然而，这篇新论文提出了一个更复杂的问题：如果舞者可以跳得更远（跳到两步或三步之外的储ло柜）并且他们开始彼此相互作用（互相推挤或拉扯）会发生什么？

以下是研究人员的发现，其解释如下：

1. “舞池”规则

在原始版本的模型中，舞者只跳向紧邻的邻居，而且他们并不真正在意彼此。研究人员增加了两条新规则：

• 扩展跳跃（Extended Hopping）： 舞者现在可以跳得更远。
• 相互作用（Interactions）： 舞者有了感情。有时他们讨厌靠近彼此（排斥），有时则喜欢靠近彼此（吸引）。至关重要的是，同一对储物柜内舞者之间的“爱”或“恨”，可能与相邻储物柜对之间的“爱”或“恨”不同。

2. 一张新的“物质状态图谱”

当研究人员调高这些相互作用和长距离跳跃的强度时，他们发现的不仅仅是旧有的模式。他们发现了一个丰富的“相图”（描述所有可能状态的地图），其中包含 10 种不同的相（phases）。

可以将这些“相”想象成舞者在舞池中排列的不同方式：

• 拓扑舞者（The Topological Dancers）： 其中一些群体仍然形成那些特殊的、带有“结”的模式（称为缠绕数）。有趣的是，研究人员发现，即使舞者在互相推挤和拉扯，这些特殊的模式并没有消失；它们只是改变了舞蹈动作。
• 电荷密度波（Charge Density Waves, CDW）： 这些就像是仪仗队，舞者排列成严格的、重复的模式（例如，“这里有两个舞者，那里有两个舞者，此处为空，此处为空”）。研究人员发现了 五种不同类型的 这类仪仗队。其中两种新类型仅因长距离跳跃和不均匀相互作用的结合而出现。
• 相分离（Phase Separation）： 在某些极端情况下，舞者们变得非常渴望彼此靠近，以至于他们全部聚集成一大堆，留下其余的走廊空空如也。

3. “类超导”的惊喜

最令人兴奋的发现是一个 类超导（SC-like）相。

• 类比： 在真实的超导体中，电子会配对（就像舞伴）并无摩擦地移动。在这里，“舞者”（实际上是无自旋费米子，一种类型的粒子）也进行了配对。
• 转折点： 通常，一维系统（如单条走廊）由于量子规则（Mermin-Wagner 定理）无法维持完美的超导性。然而，这个新相展示了 拟长程有序（quasi-long-range order）。
• 这意味着： 这就像是一场几乎在长距离上都完美协调的舞蹈。舞伴们保持同步很长时间，但最终节奏会发生轻微的漂移。这是因为舞者利用了那些“长距离跳跃”和特定的相互作用不平衡，创造出了这种独特的配对方式。

4. 他们是如何了解情况的（“序参数”）

为了确定舞者处于哪种相，科学家们需要一种方法来“观察”这种模式。在物理学中，这被称为 序参数（Order Parameter, OP）。

• 旧方法： 在简单的、无相互作用的版本中，序参数就像一个单向箭头。它只观察朝一个方向（例如，从左到右）的跳跃。
• 新发现： 当加入相互作用后，舞者不再仅仅朝一个方向移动。他们开始以复杂的方式来回跳跃。研究人员不得不发明了 更复杂的新型序参数（OPs）。这些新工具观察的是所有可能跳跃方向的“叠加”。
• 隐喻： 想象试图描述一个混乱的 Mosh Pit（冲撞舞池）。如果你只看向前移动的人，你会错过全貌。新的序参数通过观察整个混乱的旋转运动来正确识别该相。

5. “有限尺寸”缺陷

研究人员使用计算机模拟来测试。他们发现，对于某些相（特别是他们称为“W1-like”的相），当他们模拟一个小型的走廊与一个巨大的走廊时，结果看起来是不同的。

• 类比： 这就像是通过一个小窗户来判断天气。在一个小房间里，空气可能感觉停滞，但在一个大厅里，会有微风吹过。“W1-like”相对系统的尺寸极其敏感，以至于如果不进行大规模的模拟，很难准确界定它究竟是什么。这凸显了他们方法的一个局限性：有时小型模型并不能说明完整的故事。

总结

这篇论文是对一个量子玩具模型的深入探讨。通过加入 长程跳跃 和 不均匀的相互作用，作者发现该系统变得比之前认为的更加复杂。他们绘制了 10 种不同的相，包括 五种新型的有序模式 以及一种 新的“类超导”态，在这种状态下，粒子以一种独特的方式配对。他们还开发了新的数学工具（序参数）来检测这些相，表明相互作用实际上可以 增强 或 修改 拓扑特征，而不是仅仅破坏它们。

技术摘要

技术摘要：具有扩展程跳跃相互作用的拓扑 Su-Schrieffer-Heeger 模型的序参数与基态相图

问题陈述
Su-Schrieffer-Heeger (SSH) 模型是研究拓扑绝缘体的范型系统，其特征是非平凡的拓扑不变性（缠绕数）和受保护的边缘态。虽然非相互作用的 SSH 模型及其长程跳跃扩展（扩展 SSH 或 ESSH）已被广泛研究，但电子-电子相互作用与扩展程跳跃之间的相互作用仍有待深入探索。表征相互作用 ESSH 模型基态相图的一个主要挑战在于，缺乏成熟的序参数 (OPs) 来区分各种拓扑相和对称性破缺相，特别是在相互作用诱导产生偏离简单非相互作用极限的复杂多体基态时。

方法论
作者采用了一种由文献 [52] 提出的非变分、子系统无关方案来构建相互作用 ESSH 模型的序参数。该方法论流程如下：

1. 模型定义： 研究重点关注包含胞内 ($U$) 和胞间 ($V$) 密度-密度相互作用，以及最近邻 ($t_a, t_b$) 和次近邻 ($t_c, t_d$) 跳跃的 ESSH 哈密顿量。
2. 序参数构建： 作者分析了多体基态中的主导 Fock 态。通过识别这些主导态中粒子占据（0 和 1）的通用模式，他们构建了在特定相中具有非零期望值的算符 $\hat{O}$。
3. 针对相互作用的精细化： 与非相互作用情况下主导 Fock 态倾向于纯单向跳跃不同，相互作用机制引入了不平衡的相互作用，倾向于非单向跳跃配置。因此，作者通过对所有可能的局部厄米共轭跳跃项组合进行求和，对序参数进行了精细化处理（例如 $O'_{Wm} = \sum_{\kappa \in P(\{1,\dots,n\})} O_{n,\kappa}^{Wm}$）。
4. 数值验证： 使用以下方法验证导出的序参数：
   • 精确对角化 (ED)： 在小系统 ($N=8$) 上进行，以绘制相图并识别主导 Fock 态。
   • 密度矩阵重整化群 (DMRG)： 在大系统 ($N=90$ 至 $N=400$) 上进行，以确认相的稳定性以及序参数、纠缠熵和保真度在热力学极限下的行为。

核心贡献与结果
本文揭示了一个包含十种不同相的丰富相图，包括五种拓扑相、五种电荷密度波 (CDW) 相以及两种新型超导类 (SC-like) 相。

1. 用于拓扑相的精细化序参数：
   作者证明，在相互作用机制下，基态并不严格倾向于单向跳跃。他们推导出了包含所有跳跃方向组合叠加的精细化序参数 ($O'_{Wm}$)。这些序参数成功捕捉到了拓扑相（$W_0, W_1, W_2, W_{-1}$），并表明相互作用可以增强或保持拓扑特征，而非仅仅是破坏它们。

2. 新型 CDW 相的识别：
   识别出五种不同的 CDW 相：

   • CDW-1A： 一种拓扑平凡的莫特绝缘相（周期为 1）。
   • CDW-2A 和 CDW-2B： 由强排斥相互作用产生的周期为 2 的相。
   • CDW-4A 和 CDW-4B： 由不平衡相互作用 ($U \neq V$) 和扩展程跳跃 ($t_c$ 或 $t_d$) 共同作用产生的具有周期 4 的新型相。这些相在仅含最近邻相互作用的 SSH 模型中并不存在。

3. 超导类 (SC-like) 相的发现：
   在吸引相互作用和特定扩展跳跃的机制下，发现了一种表现出准长程有序的新型相。

   • 机制： 该相的特征是跨子格子的无自旋费米子配对，类似于库珀对。主导 Fock 态涉及费米子在位点间跳跃的构型，这种跳跃方式在保持总粒子数不变的同时展现出配对关联。
   • 序参数： 基于配对算符 $\Delta^\dagger_j = c^\dagger_{j+1,A}c^\dagger_{j,B}$ 的关联构建了 SC-like 序参数 ($C_{SC}$)。
   • 性质： 与 Mermin-Wagner 定理一致，该相表现出准长程有序，其关联函数呈代数衰减，而非真正的长程有序。

4. 相图与有限尺寸效应：
   研究绘制了作为函数 $U$ 和 $V$ 的基态相图（针对不同跳跃参数）：

   • W1-like 相： 识别出一种类似于 $W_1$ 拓扑相但具有不同性质（如基态简并度）的相。作者指出，该相受到强烈的有限尺寸效应影响，即随着系统尺寸增加，基态简并度和保真度波动会持续甚至扩大，使得构建完美的序参数具有挑战性。
   • 相分离 (PS)： 识别出一个费米子聚集在高密度区域的相分离区域。

意义
本文声称在理解相互作用拓扑系统方面做出了显著贡献：

• 超越对称性破缺： 它提供了一个表征相互作用拓扑系统中相的框架，在这些系统中传统的对称性破缺序参数是不充分的。
• 相互作用与拓扑的相互作用： 它挑战了“相互作用总是破坏拓扑序”的观点，表明特定的相互作用机制可以增强拓扑特征或稳定新的拓扑相。
• 来自扩展跳跃的新物理： CDW-4A/4B 和 SC-like 相的识别表明，当扩展程跳跃与不平衡相互作用结合时，可以产生仅在最近邻模型中不存在的全新量子相。
• 方法论见解： 这项工作展示了从主导 Fock 态构建序参数的效用与局限性。虽然对大多数相是成功的，但也暴露了在处理具有强有限尺寸效应和基态简并（如 $W_1$-like 相）的相时的局限性，在这种情况下，小系统的行为可能无法在定性上收敛到大系统极限。

作者总结道，他们推导出的序参数提供了关于基态构型的物理洞察，并为理解相互作用 ESSH 模型提供了与现有研究（如使用弦序参数的研究）互补的视角。