1651 ورقة بحثية
تقدم هذه الورقة طريقة لحساب حلقة كوكس (Cox ring) لمتنوع منغرس ضمن فضاء حلم موري (Mori dream space) عبر التعبير عنها كتقاطع لتموضعات (localizations) لناتج قسمة حلقة كوكس للفضاء المحيط، مما يوفر خوارزمية لتحديد تولدها النهائي وتطبيق هذه النتائج على الأسطح الفائقة في المتنوعات التوريكية الإسقاطية الملساء.
تستخدم هذه الورقة الهندسة اللوغاريتمية لبناء نظير لوغاريتمي لفضاءات التشكيل لفولتون-ماكفيرسون وفهماً لتردٍّ لوغاريتمي سلس مقابل، مما يؤسس لصيغة تدهور تصف مكونات الألياف الخاصة كتحويرات عقلانية منطبقة ملائمة لمنتجات هذه الفضاءات اللوغاريتمية.
تثبت هذه الورقة أن الحجم مضاد الكانوني لأي متعدد طيات فانو (Fano manifold) مستقر-K ذي أبعاد ومختلف عن محدود من الأعلى بـ ، مع تحقق المساواة حصرياً لـ والأسطح الرباعية الملساء، وهي نتيجة مشتقة من صلة مبتكرة بين استقرار-K والمنحنيات العقلانية الدنيا.
مدفوعاً بأمثلة على بنيات جويس، تقوم هذه الورقة ببناء بنيات جويس وتقديم وصف هندسي جديد لمقاييس هايبر-كاهلر (hyper-Kähler) على فضاءات المودولي لمتمايزات التربيع الميرومورفية (meromorphic quadratic differentials) على الكرة الريمانية من خلال تحليل التشوهات الإيزومودرومية (isomonodromic deformations) لمعادلات تفاضلية عادية خطية من الدرجة الثانية ذات جهود عقلانية.
تثبت هذه الورقة أن كوهومولوجيا شعاع البنية للمخططات الناعمة والملائمة فوق الحقول غير الأرشيميدية يمكن تنقيحها إلى نظرية ثابتة تحت التحويل ذات قيم في شبكات ، وهي نتيجة تتحقق في جميع الأبعاد في حالة المميز صفري وحتى البعد الثالث في حالة المميز الموجب، مما يثبت أن مجموعات التماثل للحقول الدالية في الأبعاد المنخفضة ذات المميز الموجب تعمل بشكل شبه أحادي في شبه شبه منتظم (quasi-unipotently) على مجموعات الكوهومولوجيا هذه.
تتقصى هذه الورقة فضاءات الموتورات (tensors) التي تتجاوز صيغة الحدود من خلال ربط كوديمشن (codimension) الفضاء الممتد لمتجهات مفردة من حيث التوليفة بالأنوية الكوهمولوجية، وتحديد عائلة لانهائية من الموتورات ذات الرتبة الثالثة المعيبة، واقتراح تصنيف مرتبط بكوهمولوجيا كوسكول (Koszul cohomology).
تتقصى هذه الورقة حلقات كوكس (Cox rings) لمتعددات السطوح الكالابي-ياو (Calabi-Yau hypersurfaces) مضادة لكانونيكال (anticanonical) وناعمة في فارييتي فانو التوريكية (toric Fano varieties) عبر الاستفادة من البيانات التوليفية لتحديد شروط خاصية فضاء حلم موري (Mori dream space)، وتقديم عرض صريح للحلقات، وتحليل الازدواجية بين التوليد المحدود لحلقة كوكس ومجموعات التماثل ذي التحويل الثنائي اللانهائية في الأبعاد ثلاثة وأربعة، وإثبات حدسية مخروط موريسون-كاواتا (Morrison-Kawamata cone conjecture) لأمثلة محددة غير تابعة لحلم موري.
تقدم هذه الورقة "المتغيرات القابلة للتكامل" كبديل جديد لفئات "بسي" (psi classes) الخاصة بويدن للارتباط بنظريات الحقول الكوهومولوجية، مبرهنةً أن هذا الإطار يحافظ على القابلية للتكامل، ويوحد تسلسلات "دوبروفين-زانغ" وتسلسلات راميفيكاشن المزدوجة، ويقدم برهاناً جديداً لتخمين ويدن.
تُطوّر هذه الورقة تمثيلاً بارامترياً صريحاً لزمر "ويتاكر" ومنحنيات "مومفورد" فوق الحقول غير الأرخميدسية المرتبطة بها باستخدام دالات "ثيتا"، مُثبتةً أن المورفيزم الطبيعي الذي يربط تكوينات النقاط الثابتة بمواقع التفرع هو غطاء إيتالي صلب، وتُقدم تصنيفاً لهذه الزمر إلى جانب اختزالاتها التحليلية.
تثبت هذه الورقة فرضية أرنولد للتقارب اللاجرانجي لـ (p,q)-pinwheels في كرة هومولوجيا عقلانية B_{p,q} من خلال إثبات أن أي تضميدين من هذا النوع يرتبطان عبر تماثل هاميلتوني مدعوم مركزيًا، وذلك باستخدام تقنيات تمدد العنق وإثبات أن مجموعة التماثل السيمبلكتيكي المدعومة مركزيًا يتم توليدها بواسطة "pintwist" محدد.