1787 ورقة بحثية
تطبق هذه الورقة النهج الموديولي (النمطي) لوضع حدود فعالة لمعادلة فيرما المعممة عبر حقول تربيعية محددة ذات عدد فئة واحد، مما يثبت عدم وجود حلول معينة في ظل حدسية سير لنمطية الموديولات ونظير لـ آيخلر-شيمورا، مع التمييز بين سلوكيات الحقول الحقيقية كلياً والحقول المعقدة كلياً.
تضع هذه الورقة شرطاً كافياً ليكون الرسم البياني ذو الحلقات محدداً بواسطة طيفه العام، حيث تثبت أنه إذا كان لمصفوفة المشي محدد خالٍ من المربعات، فإن الرسم البياني يتميز حتى التماثل من خلال طيفه وطيف متممه.
تقدم هذه الورقة طريقة تكامل كونتور لتقييم متسلسلات "أبيري" (Apéry-like) السيكلوتومية التي تتضمن معاملات ثنائية الحد من التعميم في دلالة لوغاريتمات متعددة (multiple polylogarithms) وقيم زيتا، مع اشتقاق هويات جديدة لتكاملات "فوس-كاتالان" (Fuss-Catalan) وطرح أسئلة مفتوحة في هذا المجال.
تثبت هذه الورقة أن تمثيلات غالوا رباعية الأبعاد المرتبطة بمتعدد ثلاثي كالابي-ياو محدد، والذي عُرِّف بأنه "جاذب من الرتبة 2"، هي تمثيلات قابلة للاختزال بعوامل ثنائية الأبعاد مشتقة من أشكال مودولار ذات أوزان 2 و4 عند المستوى 14، مما يؤكد حدسية ماير وفيريل.
تثبت هذه الورقة أن أعداد واغستافف الأولية الوحيدة التي تظهر في متتالية أعداد لوكاس هي ، و، و لجميع قيم ، وذلك باستخدام الأشكال الخطية في اللوغاريتمات وطريقة اختزال LLL لإثبات هذه النتائج.
تُوصّف هذه الورقة جميع التماثلات في فضاء تربيعي فوق حقل محلي غير أرخميدي ذي خاصية لا تساوي 2، والتي يستلزم فيها الترافق ضمن الزمرة الخطية العامة الترافق ضمن الزمرة المتعامدة، مما يعمم نتيجة سابقة لـ "ميل".
تُطوّر هذه الورقة نظرية نواتج التويج الكمومية من النوع متعدد الحدود المائل لتوفير أوصاف شفافة لـجبرات "إيهوا-هييكي" من نوع "برو-بي" ونماذج "جيلفاند-جريف" الخاصة بها لمجموعات الخطية العامة الـ "بي-آدية" وأغطيتها الميتابليكتية، مما يؤدي إلى رؤى بنيوية جديدة، وقواعد صريحة، وبراهين جبرية لنتائج هامة في نظرية التمثيل الـ "بي-آدي".
تقترح هذه الورقة تمديداً نظرياً لحدسية إيردوس-ستراوس من خلال تعميم معلمتها التربيعية إلى أسس حقيقية ومركبة، مما يشير إلى أن الامتداد التحليلي للتحلل الناتج قد يؤسس علاقة دالية مباشرة بين بنية الحدسية ودالة زيتا لريمان.
تقدم هذه الورقة خوارزميات عملية لتحديد ما إذا كان رتبة في جبر شبه بسيط ذي أبعاد منتهية فوق حقل عددي تمتلك خاصية إلغاء الحرية المستقرة، وتطبق هذه الأساليب لتصنيف جميع الزمر المنتهية التي رتبتها ثلاثمائة وثلاث وثمانون أو أقل والتي تحقق حقولها الحلقية التكاملية هذه الخاصية.
تتقصى هذه الورقة توزيع النقاط ذات التقييم الـ -adic الذي يساوي 1 لكثيرة حدود في متغيرين ضمن مربع عشوائي بحجم ، مثبتةً أن العدّ يتبع توزيع بويسون عندما تؤول إلى ما لا نهاية بموجب حدسية تتعلق بالتوزيع الموحد لتتابع متجهي القيم.