1774 ورقة بحثية
تقدم هذه الورقة مفهوم مجموعات فئات الأشكال المؤطرة الأديلي وتثبت وجود تماثل صريح بينها وبين زمرة غالوا محددة، مما يوحد تركيب غاوس الكلاسيكي، ومجموعات فئات أشكال المستوى المحدود، وتبادل شيمورا ضمن إطار أديلي واحد لنظرية الحقول الممتدة صراحة.
تؤسس هذه الورقة حالة تقارب كمي لمبرهنة خينتشين للنقاط على القطع المكافئ مع دالات تقريب غير رتيبة، وذلك عبر اشتقاق ثوابت صريحة في النتائج النظرية العددية الكلاسيكية، ولا سيما حد بيرجس لمجموعات الخصائص.
تُثبت هذه الورقة مبرهنة الجيوديسية الأولية بأس للمجموعات الفرعية التطابقية لرتب الكواتيرنيون غير المحددة فوق ، بما في ذلك الحالة غير المنقسمة، وذلك عن طريق اختزال المسألة إلى الحالة المنقسمة التي تم حلها مسبقاً.
تضع هذه الورقة تقديراً جديداً لمتوسط القيمة التكاملية لمجموعات وايل (Weyl sums) عبر فترات قصيرة (الأقواس المكسورة) من خلال الجمع بين التقريب الديوفانتيني، ونظرية القيمة الرئيسية لفينوغرادوف، وحجة تفاضل وايل المنقحة التي تتغلب على قيود القوى الزوجية والفردية الكلاسيكية.
تؤسس هذه الورقة نسخًا ميمية (motivic) لتمهيدية لانغلاندز-شيلستاد الأساسية واستقرار نغو الهندسي، وذلك عبر تكييف استراتيجية "غروتشينيغ-ويس-زيغلر" القائمة على التكامل الـ -آدي والازدواجية التاتية، باستخدام بناء "دنيف و لوسير" للموتيفات الافتراضية للمجموعات القابلة للتعريف في الحقول شبه المنتهية.
تُثبت الورقة البحثية نظرية انتقال "لكل القيم تقريباً" لدالة القواسم من الرتبة في الفترات القصيرة، حيث تُبين أنه عندما يتجاوز طول الفترة نافذة حرجة محددة بواسطة ، فإن القيمة المتوسطة للدالة تتقارب مع متوسطها الطويل الأمد الكامل لجميع قيم تقريباً.
تُنشئ هذه الورقة أمثلة صريحة لتغيرات غير صحيحة (non-integral) للهياكل الهودجية فوق حقل الأعداد النسبية باستخدام بارامترات فنتشل-نيلسنن (Fenchel–Nielsen parameterizations) لتوضيح أنه في غياب البنى الصحيحة، يُظهر موضع هودج (Hodge locus) سلوكيات مرضية مثل فشل نظرية كاتاني-ديلي-كابلان (Cattani–Deligne–Kaplan) وتخمين أندريه-أورت (André–Oort).
تقدم هذه الورقة خوارزمية غربلة لتحديد أزواج الأعداد الأولية ذات الرتب المضاعفة الصغيرة نسبيًا بمقدار كل منها بالنسبة للآخر —وهو متطلب رئيسي لبناء دورات ثنائية للمنحنيات الصديقة للازدواج— وتوفر قاعدة بيانات تشير إلى أنه، باستثناء عائلة لانهائية معروفة، تصبح هذه الأزواج نادرة بشكل متزايد مع نمو أحجام الأعداد الأولية.
تقدم هذه الورقة صيغاً صريحة لتفكيك جوردان لشبكات المثالية فوق حقول CM عند المثليات الأولية، مُعبر عنها بدلالة تحليل المثالي الأولي للمثالي الأساسي، وذلك عبر اختزال الحساب إلى السلوك المحلي باتباع نهج إيريز وموراليس وبيرليس.
تثبت هذه الورقة أنه لأي أعداد صحيحة موجبة و ، فإن كل تلوين بـ من الألوان للمجموعة يحتوي على حل أحادي اللون للمعادلة كلما كان ، وهو حد أمثل نوعياً عندما يكون لوغاريتمياً في .