1778 ورقة بحثية
تقدم هذه الورقة خوارزمية في وقت حدودي لحل مشكلتي المتجه الأطول والمتجه الأقرب في الحقول الـ -adic من خلال الاستفادة من الخصائص غير الأرخميدسية، والرتب القصوى، والجذور الـ -راديكالية لبناء قواعد متعامدة وتوصيف المعايير بكفاءة.
تُعد هذه المذكرة بمثابة منشور دراسي يحدد نظرية غالوا للحقول المنتهية من خلال إرساء التناظر بين الحقول الوسيطة وقواسم درجة التوسع، ووصف زمرة غالوا الدورية، وإثبات التناظر الغالوي للتوسعات المنتهية.
تثبت الورقة أنه بينما توجد عدد لا نهائي من الثلاثيات المكونة من أعداد نسبية متميزة وغير صفرية بحيث تكون الأعداد نفسها مضافًا إليها واحد، وجميع نواتج ضربها الثنائية والثلاثية مضافًا إليها واحد، مربعات كاملة، فإنه لا توجد مثل هذه الثلاثية ضمن الأعداد الصحيحة الموجبة.
تعيد هذه الورقة صياغة مسألة "طوبيد إيولر الكامل" كمسألة تتعلق بمربعات كاملة متزامنة في زوج رباعي محدد، وتختزلها إلى عائلة من المنحنيات فوق الإهليلجية من الجنس 3، وتثبت وجود عوائق إهليلجية وأدلة حوسبية تستبعد الحلول للمعاملات الصغيرة مع الإقرار بأن الحالة العامة تظل مفتوحة.
تؤسس هذه الورقة نظيراً لمبرهنة نويكيرش-أوتشيدا للمتعددات ثلاثية الأبعاد من خلال إثبات أن الأغطية المتفرعة لكرات الثلاث أبعاد فوق روابط تشيبوتريف المستقرة تكون متماثلة في الهيئة إذا وفقط إذا كانت زمر غالوا المطلقة المعرفة لها متماثلة، مما يثبت بدقة التفسير الطوبولوجي لروابط تشيبوتريف كأعداد أولية ضمن الطوبولوجيا الحسابية.
تثبت هذه الورقة أن المنحنيات الإهليلجية فوق حقول عددية محددة تقابل نقاطاً على منحنيات مودولار، مثل تلك ذات التورشن الدوري من الرتبة 20 فوق أو ، تُظهر بالضرورة اختزالاً سيئاً عند العدد الأولي 3، وذلك باستخدام تقنيات إثبات متميزة تعتمد على ما إذا كان 3 ينقسم أو يظل خاملاً في الحقل.
تؤكد هذه الورقة أنه لأي حقل (بما في ذلك حالة ) وامتداد منفصل من الدرجة ، توجد نقطة في لا يقع مدار غالو الخاص بها ضمن أي سطحي من الدرجة مُعرَّف فوق ، مما يحل مسألة طرحها أسغارلي وغيوكا وريتششتاين.
تستخدم هذه الورقة نظرية التوزيع المتساوي لمؤثرات هيكي (Hecke operators) لإثبات أنه في حدود الكبيرة المختلفة لنظريات الحقل المطابق في بعدين، يندمج القطاع الثقيل لدالة التجزئة لئلا يترك سوى مساهمات الحالات الخفيفة، مما يوفر تفسيراً هولوغرافياً كجموع فوق هندسات المقابض شبه الكلاسيكية.
تحلل هذه الورقة حد الطاقة العالية عند الزاوية الثابتة لسعات الأوتار ذات المستوى الشجري لـ من النقاط عبر أطر رياضية متنوعة، كاشفةً أن بنيتها التقاربية محكومة بأعداد برنولي بدلاً من قيم زيتا المتعددة، وتستخدم نظرية الارتداد لبناء سلاسل متسلسلة (transseries) توحد التوسعات منخفضة وعالية الطاقة مع توفير تمثيل جديد للنسخ المزدوج لسعات الأوتار المغلقة عبر نظرية دي رام الملتوية.
تثبت هذه الورقة أن كل تمثيل غير قابل للاختزال وناعم لزمر سيمبلكتيك أو زمر أورثوغونال منقسمة فوق حقل محلي غير أرخميدي بمعاملات في (حيث هو عدد أولي تافه) يقبل رفعاً إلى ، وتوسع هذه النتيجة لتشمل الزمر الكلاسيكية الأخرى لإثبات ثنائية هاو في الحالة التافهة القوية.