1785 ورقة بحثية
تؤسس هذه الورقة جسراً قابلاً للحوسبة بين المنحنيات الإهليلجية فائقة الشذوذ الموجهة والرموز النمطية عبر بناء متجهات دورية -adic بواسطة تكامل كولمان، مما يقدم مشكلة عكس الرمز النمطي ويستكشف صلاتها برسوم التماثل المتشابه (isogeny graphs)، وأشجار بروات-تيتوس (Bruhat-Tits trees)، والتشفير.
تتقصى هذه الورقة المنحنيات النمطية والحدوديات المعرفة بواسطة دالات ويبر، محللةً تأثيرات المجموعات والتمثيلات الوسيطة لتوصيف رسوم بيانية لتقارب التماثل للمنحنيات الإهليلجية فائقة التفرد، مع تطبيقات في الحسابات التشفيرية الفعالة وتمثيلات غالوا الصريحة.
بافتراض حدسية $abcO(X^{9/10}\log X)X$، بينما تقدم أيضًا تنبؤًا استدلاليًا لحدوثها اللانهائي والضئيل في آن واحد.
تؤسس هذه الورقة نسخة موتيفية لتخمين باتيريف-مانين-بيير للممتدات المتسايرة للمجموعات الجمعية، وذلك من خلال إثبات أن الفئة المعيرة لفضاء مودولي المقاطع تتقارب، ضمن حلقة غروتينديك للمتغيرات المناسبة، نحو منتج أويلر موتيفي فعال وغير صفري كلما ابتعدت المقاطع عن حدود المخروط الفعال المزدوج.
تعمم هذه الورقة صيغة فالدشبيرجر الـ -adic على الأعداد الأولية غير المنقسمة وتؤسس لنظرية إيواسا المحلية -اللا-دورية (anticyclotomic) الجديدة لإثبات عكس نظرية غروس-زاغير-كوليفاجين لخصائص CM ذاتية الثنائية، مما يؤكد حدسية سيلفستر حول مجموع مكعبين نسبيين وحدسية غولدفيلد للمنحنيات الإهليلجية من نوع CM.
تثبت هذه الورقة محدودية فئات التماثل للمنحنيات الإهليلجية السماوية عبر جميع الحقول التربيعية لأي عدد أولي ثابت ، وتقدم تصنيفاً كاملاً لهذه المنحنيات ذات الضرب المعقد ومعاملات غير النسبية، وتستكشف تشابهاتها الهيكلية مع منحنيات الضرب المعقد مع توسيع هذه النتائج إلى أبعاد ودرجات أعلى.
تُثبت هذه الورقة عقلانية وعلاقات الدور للقيم الحرجة لدوال من نوع رانكين-سيلبيرج لـ فوق حقول عددية تحتوي على حقل CM، وذلك باستخدام نهج الرمز المودولار.
تقدم هذه الورقة وتُحلل "لعبة زيكندورف المرتبة"، وهي متغير توافيقي للاعبين يفرض قيوداً على ترتيب المجموعات والتقارب بينها، مما يؤدي إلى مشهد استراتيجي أكثر توازناً حيث يفوز اللاعب الأول في معظم القيم الصغيرة، مع إثبات أن اللعبة تنتهي دائماً عند تفكيك زيكندورف التصاعدي مع تباين في أعداد الحركات يتراوح من الخطية إلى التربيعية.
تُبين هذه الورقة أن خصائص التوازن للمصفوفات المستطيلة المتكونة من كلمات فيبوناتشي يمكن تقريرها بواسطة آلة ذات حالة محدودة، وتوسع هذه النتيجة لتشمل كلمات ستورميان المرتبطة بالأعداد غير النسبية التربيعية، وتتقصى خصائص مماثلة لكلمات تريبوناتشي وثو-مورس.
تقدم هذه الورقة نظرة عامة على التطورات الأخيرة في الجبر التبدلي التي استلهمت من العمل الرائد حول نمطية المنحنيات الإهليلجية بواسطة وايلز، وتايلور، ودايموند، ولينسترا.