Simultaneous Online System Identification and Control using Composite Adaptive Lyapunov-Based Deep Neural Networks

ملخص تقني: تحديد هوية النظام والتحكم المتزامن عبر الإنترنت باستخدام الشبكات العصبية العميقة التكيفية المركبة القائمة على دالة ليابونوف

صياغة المشكلة
تُستخدم المتحكمات القائمة على الشبكات العصبية العميقة (DNN) على نطاق واسع للأنظمة الديناميكية غير الخطية غير المؤكدة، ومع ذلك، تعتمد الأساليب التقليدية عادةً على التدريب المسبق خارج الخط (offline). في هذه السيناريوهات، تكون أوزان الشبكة العصبية العميقة ثابتة أثناء التنفيذ، مما يحد من القدرة على التكيف ويثير مخاوف بشأن موثوقية النموذج عند العمل خارج مجموعة بيانات التدريب. وبينما تسمح أساليب التحكم التكيفي الأخيرة القائمة على ليابونوف (Lb) بتحديث الأوزان عبر الإنترنت لضمان تتبع المسار، إلا أنها تعتمد حصرياً على تغذية الخطأ في التتبع الراجعة. وبناءً على ذلك، تضمن هذه الأساليب تقارب خطأ التتبع، لكنها تفشل في تقديم ضمانات بشأن تحديد هوية النظام (تقدير المعلمات). وبدون تحديد دقيق للهوية، لا يمكن للشبكة العصبية العميقة التعميم على المسارات غير المستكشفة، ولا يمكن للمتحكم تعويض حالات عدم اليقين بفعالية أثناء الفقدان المتقطع لتغذية الحالة الراجعة. علاوة على ذلك، فإن توسيع قوانين التكيف المركبة — التي تجمع بين أخطاء التتبع والتنبؤ — يعد تحدياً تقنياً بسبب بنية "اللاخطية في المعلمات" (NIP) للشبكات العصبية العميقة، حيث تكون أوزان الطبقات الداخلية مدمجة داخل دالات تنشيط متداخلة وغير خطية.

المنهجية
تقترح الورقة متحكماً تكيفياً مركباً يعتمد على ليابونوف والشبكات العصبية العميقة (Lb-DNN)، يقوم بتحديد هوية النظام وتتبع المسار بشكل متزامن عبر الإنترنت لأنظمة غير خطية من الدرجة الثانية. تتضمن المنهجية الجوهرية المكونات التالية:

1. مراقب مشتق الحالة الديناميكي: لمعال معالجة صعوبة الحصول على خطأ التنبؤ (الفرق بين الديناميكيات الفعلية وتقدير الشبكة العصبية العميقة) دون الوصول المباشر إلى مشتق الحالة المجهول، تم تصميم مراقب مشتق حالة ديناميكي. يقوم هذا المراقب بتقدير دالة الانجراف $f(x, \dot{x})$ باستخدام قياسات الحالة المتاحة ومدخل التحكم، مما يلغي الحاجة إلى مشتق الحالة المجهول في قانون التكيف.
2. قانون التكيف المركب: تم بناء صيغة جديدة لخطأ التنبؤ باستخدام تقدير المراقب للانجراف. ويتم دمج خطأ التنبؤ هذا مع خطأ التتبع لتشكيل قانون تكيف مركب قائم على المربعات الصغرى.
3. التعامل مع بنية NIP: للتغلب على التحديات التي تفرضها بنية NIP المتداخلة للشبكات العصبية العميقة، يستخدم قانون التكيف "جاكوبي" (Jacobian) الشبكة العصبية بالنسبة لأوزانها. حيث يتم تطبيق توسيع متسلسلة تايلور من الدرجة الأولى على مخرجات الشبكة العميقة للتعبير عن خطأ التنبؤ بدلالة خطأ تقدير المعلمات، مما يسمح بصياغة قانون التكيف رغم وجود اللاخطية.
4. تحليل الاستقرار: تم إجراء تحليل استقرار مشترك يعتمد على ليابونوف. يتضمن التحليل خطأ التتبع، وخطأ تقدير مشتق الحالة، وأخطاء تقدير أوزان الشبكة العميقة. ويستخدم المنهج "عامل الإسقاط" (projection operator) لضمان بقاء تقديرات المعلمات ضمن مجموعة محدودة، كما يستخدم مصفوفة كسب المربعات الصغرى المتغيرة زمنياً مع عامل نسيان.

المساهمات الرئيسية
تدعي الورقة المساهمات الأساسية التالية:

• أول نتيجة لتحديد الهوية والتحكم المتزامن: يقدم هذا العمل أول نتيجة تحقق تحديد الهوية وتتبع المسار عبر الإنترنت للأنظمة غير الخطية باستخدام التحديثات عبر الإنترنت لجميع طبقات الشبكة العصبية العميقة.
• صيغة مبتكرة لخطأ التنبؤ: تطوير خطأ تنبؤ يعتمد على مراقب مشتق الحالة الديناميكي، والذي يتم دمجه مع خطأ التتبع لبناء قانون تكيف مركب مناسب لعدم اليقين من نوع NIP.
  la.
• ضمانات الاستقرار: يثبت التحليل أن خطأ التتبع، وخطأ تقدير مشتق الحالة، وأخطاء تقدير أوزان الشبكة العميقة هي "مقيدة نهائياً بشكل منتظم" (UUB).
• التقارب الأسي تحت شرط PE: تحت شرط "الاستثارة المستمرة" (Persistence of Excitation - PE)، ثبت أن أخطاء التتبع وتقدير الأوزان تتقارب أسياً نحو جوار نقطة الأصل. ويعتمد حجم هذا الجوار ومعدل التقارب على كسب التحكم وعامل الـ PE.
• التعميم من أجل التغذية الراجعة المتقطعة: من خلال تحقيق تحديد دقيق للهوية، يمكن نشر نموذج الشبكة العميما المحدد زمنياً للتنبؤ بالديناميكيات والتعويض عنها أثناء الفقدان المتقطع لتغذية الحالة الراجعة، بشرط استيفاء شروط زمن المكوث (dwell-time) الكافية.

النتائج
أُجريت محاكاة مقارنة على نظامين: ذراع روبوت ثنائي الوصلات، ومركبة تعمل تحت الماء (UUV).

• ذراع الروبوت: أظهر متحكم الـ Lb-DNN التكيفي المركب تحسينات كبيرة في الأداء مقارنة بمتحكم Lb-DNN التكيفي القائم على خطأ التتبع، ومتحكم رفض الاضطرابات القائم على المراقب، ومتحكم PD غير الخطي، والتحكم التنبئي بالنموذج غير الخطي (MPC). وتحديداً، قلل المنهج المركب من جذر متوسط مربع (RMS) خطأ التتبع بنسبة 50% تقريباً مقارنة بالنموذج المرجعي القائم على تتبع الخطأ، وحقق تحسناً بنسبة 72% في خطأ تقريب الدالة على مجموعة بيانات اختبارية، مما يشير إلى قدرة فائقة على التعميم. كما كان جهد التحكم مماثلاً أو أقل من النماذج المرجعية.
• المركبة التي تعمل تحت الماء (UUV): في المحاكاة التي تضمنت فقداناً متقطعاً لتغذية الحالة الراجعة، حافظ متحكم Lb-DNN التكيفي المركب على أداء تتبع متفوق مقارنة بجميع النماذج المرجعية. وبينما تباعدت تنبؤات الطريقة القائمة على خطأ التتبع بسرعة أثناء فقدان التغذية الراجعة بسبب غياب ضمانات تقدير المعلمات، نجح المنهج المركب في التنبؤ بالديناميكيات المنحرفة والتعويض عنها. أما النهج القائم على المراقب فقد كان أداؤه مماثلاً عند توفر التغذية الراجعة، لكنه تدهور بشكل كبير أثناء فقدان التغذية الراجعة وتطلب جهداً تحكمياً أعلى.

الأهمية
تؤكد الورقة أن هذا العمل يمثل خطوة تأسيسية نحو التحكم التكيفي القوي حيث لا يكتفي المتحكم بتتبع المسار فحسب، بل يتعلم أيضاً الديناميكيات الأساسية للنظام. ومن خلال ضمان تقدير المعلمات، تكتسب النموذج المحدد القدرة على التعميم بما يتجاوز المسار المستكشف. هذه القدرة حاسمة للتطبيقات الحرجة للسلامة التي تتضمن فشلاً متقطعاً في المستشعرات، حيث يجب أن يعتمد النظام على نموذج داخلي للحفاظ على الاستقرار. وتثبت النتائج أن دمج تحديد هوية النظام مباشرة في حلقة التحكم عبر التكيف المركب يحقق فوائد ملموسة في كل من دقة التتبع والتعويض الديناميكي مقارنة بالأساليب التي تركز فقط على تقليل خطأ التتبع.