WellPINN: Accurate Well Representation for Transient Fluid Pressure Diffusion in Subsurface Reservoirs with Physics-Informed Neural Networks

ملخص تقني: WellPINN

بيان المشكلة
يعد التمثيل الدقيق للآبار أمراً بالغ الأهمية لتوصيف الخزانات الموثوق وتطوير محاكاة السيناريوهات التشغيلية في نماذج التدفق تحت السطحي. وبينما تقدم الشبكات العصبية المستوحاة من الفيزياء (PINNs) نهجاً هجيناً واعداً من خلال دمج بيانات المراقبة مع المعادلات الفيزيائية الحاكمة، إلا أن الدراسات الحالية القائمة على PINNs تواجه صعوبة في تمثيل حقول ضغط السوائل بالقرب من الآبار، لا سيما خلال المراحل الأولى من الحقن. وينبع هذا القصور من كون الحلول التحليلية تعامل الآبار كنقاط تفرد (مصادر نقطية)، بينما تعمل الشبكات العصبية الاصطناعية (ANNs) بشكل أفضل على المتغيرات السلسة والمستمرة وذات المقاييس المتشابهة. وقد حاولت المحاولات السابقة لمعالجة ذلك باستخدام "دوال الآبار المكافئة" (مثل الدوال الغاوسية، أو لورنتز، أو الدوال المجزأة) عبر استخدام نصف قطر بئر مكافئ كبير (غالباً $\ge$ 10% من حجم النطاق) لتحقيق تقارب مستقر. ورغم أن هذه الطريقة كافية للتنبؤات بعيدة المدى في أوقات الحقن المتأخرة، إلا أنها تقلل بشكل كبير من ضغط البئر ($p_w$) بنسبة تصل إلى 30% أثناء الحقن المتأخر، وتفشل تماماً في رصد الانتشار في الأوقات المبكرة. هذا النقص يقوض موثوقية نماذج PINN في عمليات مطابقة التاريخ بناءً على معدلات التدفق ($q_w$).

المنهجية: سير عمل WellPINN
لمعالجة التحدي متعدد المقاييس المتمثل في تمثيل بئر بمقياس سنتيمتر داخل نطاق خزان بمقياس م reservoir (يمتد عبر ثلاثة مراتب عشرية)، يقترح المؤلفون WellPINn، وهو سير عمل تدريب متسلسل يجمع بين نماذج PINN متعددة. تتضمن المنهجية المكونات الرئيسية التالية:

1. تجزئة النطاق والتدريب المتسلسل: يتم تقسيم نطاق النمذجة إلى نطاقات فرعية متداخلة. يبدأ سير العمل بتدريب نموذج PINN ($D_1$) عبر النطاق بأكامل لالتقاط الضغط في المجال البعيد. بعد ذلك، يتم تدريب نماذج PINN لاحقة ($D_2, D_3, \dots$) على نطاقات فرعية أصغر تدريجياً ممركزة حول البئر. ويتم تحديد حجم كل نطاق فرعي جديد بواسطة نصف قطر البئر المكافئ ($\bar{r}_{weq}$) للنموذج المدرب سابقاً.
2. التقليص التدريجي لنصف القطر: يتم تقليص نصف قطر البئر المكافئ خطوة بخطوة ($\bar{r}_{weq, D} = b \cdot \bar{x}_{max, D}$) حتى يتطابق مع نصف قطر البئر الفيزيائي. يسمح هذا للشبكة بتحسين الحل تدريجياً بالقرب من البئر دون الحاجة إلى شبكة واحدة قادرة على حل التدرجات الحادة عبر النطاق بأكمله في آن واحد.
3. القيود الصارمة والحل المركب: لضمان الاستمرارية والالتزام الصارم بالشروط الحدية، يستخدم المؤلفون نهج القيد الصارم (hard constraint). حيث يتم بناء دالة ضغط مركبة $\hat{p}_c$ عن طريق جمع مخرجات نماذج PINN المدربة، بحيث تُوزن كل منها بمعامل $\epsilon_n$ وتُضرب في دالة مسافة تقريبية مجزأة $\tau_n$. تضمن هذه الدالة $\tau$ أن تكون القيمة صفراً عند حدود النطاق وعند الزمن الأولي.
4. دالة الخسارة والتحسين: يستخدم التدريب حداً واحداً للخسارة يعتمد على متبقي (residual) المعادلة التفاضلية الجزئية اللابعدية الحاكمة. ولتجنب تراكم الأعباء الحسابية، يتم حساب المتبقيات من مراحل التدريب السابقة مسبقاً وإضافتها كحدود ثابتة إلى دالة الخسارة للمرحلة الحالية. يستخدم التدريب محسن Adam متبوعاً بـ L-BFGS.
5. تدرج المدخلات: يتم استخدام مقياس لوغاريتمي لمتغير الزمن لاستيعاب اللاخطية في انتشار الضغط في الأوقات المبكرة، وهي تقنية وُصفت بأنها مبتكرة لتمثيل الآبار في نماذج PINN.

النتائج الرئيسية
تم التحقق من صحة سير العمل باستخدام دراسة حالة ثنائية الأبعاد اصطناعية تتضمن بئراً واحداً للحقن ($r = 10$ سم) في نطاق $100 \text{ m} \times 100 \text{ m}$ مع نفاذية متجانسة.

• الدقة: نجح التدريب المتسلسل في تقليل أقصى خطأ مطلق ($AE_{max}$) بالقرب من البئر من 0.53 في النموذج الأولي الشامل للنطاق ($D_1$) إلى 0.11 في النموذج النهائي ($D_3$).
• الدقة الزمنية: على عكس الطرق السابقة، نجح WellPINN في رصد تطور الضغط بدقة طوال فترة الحقن، بما في ذلك مرحلة الانتشار الحرجة في الأوقات المبكرة.
• تحسين المعلمات: حددت دراسة المعلمات نسبة مثالية $b$ (نصف قطر البئر المكافئ إلى حجم النطاق الفرعي) تتراوح بين 0.1 و 0.17. اختار المؤلفون $b = 0.17$، مما سمح لثلاثة نطاقات فرعية بتمثيل البئر بفعالية.
• الكفاءة الحسابية: من خلال عزل حدود PDE لكل مرحلة، حافظت الطريقة على أوقات تدريب ثابتة وتجنبت التكلفة الحسابية لتقييم جميع الشبكات في كل حقبة (epoch).

الأهمية والادعاءات
يزعم البحث أن WellPINN هو أول سير عمل قائم على PINN قادر على استنتاج ضغط السوائل بدقة من معدلات الضخ طوال فترة الحقن بأكملها، بما في ذلك الأوقات المبكرة، ضمن نطاق كبير. وتكمن أهميته الأساسية في:

• سد الفجوة متعددة المقاييس: يوفر حلاً قابلاً للتوسع لتمثيل الآبار حيث يكون نصف القطر الفيزيائي أصغر بعدة مراتب من نطاق الخزان، وهو تحدٍ لا تستطيع نماذج PINN ذات الشبكة الواحدة التي تستخدم دالة التنشيط tanh حله.
• إمكانات النمذجة العكسية: من خلال تمكين الاستنتاج الدقيق لضغط البئر ($p_w$) بناءً على معدلات التدفق ($q_w$) دون الاعتماد على بيانات رصد كثيفة، يعزز سير العمل من إمكانات PINN للنمذجة العكسية ومطابقة التاريخ لاختبارات آبار الضخ.
• التقدم المنهجي: توضح الدراسة أن الجمع بين تجزئة النطاق والتحجيم الزمني اللوغاريتمي والقيود الصارمة ضروري لتمثيل البئر بدقة باستخدام نماذج PINN ذات دالات التنشيط tanh.

أشار المؤلفون إلى أنه بينما تركز الدراسة الحالية على بئر واحد ونفاذية متجانسة، فإن سير العمل قابل للتوسع نظرياً ليشمل نطاقات غير متجانسة وتكوينات متعددة الآبار، وإن كان الأخير قد يتطلب مزيداً من البحث في الكفاءة الحسابية وتحجيم دالات التنشيط.