WellPINN: Accurate Well Representation for Transient Fluid Pressure Diffusion in Subsurface Reservoirs with Physics-Informed Neural Networks

本文介绍了 WellPINN，这是一种新颖的工作流程，它利用在收缩子域上顺序训练的物理信息神经网络，在整个注入期间准确模拟井周流体压力扩散，从而克服了以往在捕捉早期阶段压力动态方面的局限性。

要点

以下是用通俗语言和日常类比对论文"WellPINN"的解释。

核心难题：“像素化”的油井

想象一下，你正在绘制一张巨型地下储层（就像一块巨大的海绵）中的水压分布图。在这块海绵的中央，有一个微小的油井正在抽水。

问题在于，油井非常微小（大约铅笔的宽度），但储层却巨大（相当于一个足球场的大小）。

如果你尝试使用标准计算机模型（甚至标准人工智能）来绘制这张图，计算机会感到困惑。这就像试图在一块巨大的画布上绘制一个清晰锐利的像素点。人工智能倾向于平滑处理，因为它偏好平滑的线条，但油井紧邻处的压力变化却非常剧烈。标准人工智能模型往往会“模糊”这种急剧变化，导致压力看起来过低，或者忽略了抽水刚开始时发生的快速变化。这就像试图透过雾蒙蒙的窗户去观察一座尖锐的山峰。

解决方案：WellPINN（“变焦”策略）

作者们创造了一种名为WellPINN的新方法。他们不试图一次性完美地绘制整张地图，而是采用了一种“变焦”策略。

这就好比拍摄一系列照片来捕捉风景：

1. 照片 1（广角镜头）： 你拍摄整个储层的照片。你可以看到山丘和山谷的大致轮廓（远离油井处的压力），但中心那个微小的油井看起来只是一个模糊的点。
2. 照片 2（中景变焦）： 你放大到油井所在的区域。你只拍摄这一小块区域的新照片。现在你能更清楚地看到油井，但最中心的部分仍然有点模糊。
3. 照片 3（特写镜头）： 你最后一次放大，只聚焦于油井周围的紧邻区域。现在你可以完美地看清油井的锐利细节。

WellPINN 在数学上实现了这一点。 它按顺序训练三个独立的人工智能模型：

• 第一个模型学习宏观大局。
• 第二个模型学习中观区域，将第一个模型的答案作为起点。
• 第三个模型学习油井周围极小的区域，利用第二个模型的答案。

最后，它将这三张“照片”拼接成一张完美的高清地图，该地图从储层边缘到油井中心都准确无误。

关键要素

为了让这一方法奏效，作者们调整了人工智能配方中的两个要素：

1. “时间透镜”（对数缩放）：
   当抽水开始时，压力在前几秒钟内变化极快，随后变慢。标准人工智能看待时间就像一把刻度均匀的尺子（1 秒、2 秒、3 秒）。这会漏掉开始时的快速变化。
   作者们将“尺子”改为对数刻度。想象一把尺子，第一英寸非常巨大（用于观察快速变化），而随后的英寸越来越小。这让人工智能能够特别关注抽水初期的关键时刻。

2. “硬围栏”（硬约束）：
   通常，人工智能会猜测边界在哪里。作者们在数学中构建了一道“硬围栏”。这迫使人工智能确切知道储层的边缘在哪里，并且那里的压力必须为零。这就像告诉人工智能：“你不能画出这些线之外”，从而防止模型在边缘处产生混淆。

研究结果

团队在计算机模拟中测试了该方法，模拟了一个 100 米见方的储层和一个 10 厘米的油井。

• 旧方法： 人工智能错过了油井紧邻处的压力变化，并且搞错了早期时间。
• WellPINN： 人工智能成功且高精度地预测了油井处的压力，既捕捉到了开始时的快速变化，也捕捉到了后期的稳态。

他们发现，为了使这种“变焦”方法发挥最佳效果，每个放大区域的尺寸应约为前一个区域尺寸的17%。如果变焦过于激进，人工智能会再次感到困惑；如果变焦过于温和，则无法足够接近油井。

总结

这篇论文介绍了一种利用人工智能进行地下流体建模的新方法。通过将问题分解为更小、更易管理的步骤（就像用相机变焦一样），并调整时间的测量方式，他们解决了一个长期存在的问题：使人工智能模型足够精确，能够看清巨大地下储层中油井的微小锐利细节。这是模拟储层在现实操作中行为的一大进步。

技术摘要

技术摘要：WellPINN

问题陈述
在地下流动模型中，井的精确表征对于可靠的油藏表征及操作情景模拟至关重要。尽管物理信息神经网络（PINN）通过将监测数据与控制物理方程相结合，提供了一种极具前景的混合方法，但现有的基于 PINN 的研究难以捕捉井附近的流体压力场，特别是在注入早期阶段。这一局限性源于解析解将井视为奇点（点源），而人工神经网络（ANN）在平滑、连续且量级相似的变量上表现最佳。此前尝试使用“等效井函数”（如高斯函数、洛伦兹函数或分段函数）来解决此问题，通常需要一个较大的等效井半径（往往 $\ge$ 域尺寸的 10%）才能实现稳定收敛。虽然这些方法足以满足注入后期远场预测的需求，但它们会显著低估注入后期的井底压力（$p_w$）（误差高达 30%），且完全无法捕捉早期扩散过程。这一缺陷削弱了 PINN 基于流量（$q_w$）进行历史匹配的可靠性。

方法论：WellPINN 工作流程
为了解决在跨越三个数量级的油藏尺度域内表征厘米级井的多尺度挑战，作者提出了WellPINN，这是一种结合多个 PINN 模型的顺序训练工作流程。该方法包含以下关键组成部分：

1. 域分解与顺序训练：将建模域分解为嵌套子域。工作流程首先在整个域上训练一个 PINN（$D_1$）以捕捉远场压力。随后，在围绕井的逐渐缩小的子域上训练后续的 PINN（$D_2, D_3, \dots$）。每个新子域的大小由前一个训练模型的等效井半径（$\bar{r}_{weq}$）定义。
2. 迭代半径缩减：等效井半径逐步减小（$\bar{r}_{weq, D} = b \cdot \bar{x}_{max, D}$），直至其与物理井半径相匹配。这使得网络能够在无需单个网络同时解析整个域内陡峭梯度的情况下，逐步细化井附近的解。
3. 硬约束与复合解：为确保连续性并严格遵守边界条件，作者采用硬约束方法。通过加权因子 $\epsilon_n$ 求和并乘以分段近似距离函数 $\tau_n$，构建复合压力函数 $\hat{p}_c$，该函数由训练有素的 PINN 输出组成。函数 $\tau$ 确保解在域边界和初始时刻为零。
4. 损失函数与优化：训练使用基于无量纲控制偏微分方程（PDE）残差的单一损失项。为避免累积计算开销，先前训练阶段的残差被预先计算并作为固定项添加到当前阶段的损失函数中。训练采用 Adam 优化器，随后使用 L-BFGS。
5. 输入缩放：输入时间变量采用对数缩放，以考虑压力扩散中的早期非线性，这一技术被指出是 PINN 中井表征的创新之处。

关键结果
该工作流程在一个合成二维案例研究中进行了验证，该研究涉及一个位于 $100 \text{ m} \times 100 \text{ m}$ 均质渗透率域内的单注入井（$r = 10$ cm）。

• 精度：顺序训练成功将井附近最大绝对误差（$AE_{max}$）从初始全域模型（$D_1$）的 0.53 降低至最终模型（$D_3$）的 0.11。
• 时间分辨率：与以往方法不同，WellPINN 准确捕捉了整个注入期间（包括关键的早期扩散阶段）的压力演化。
• 参数优化：参数研究确定了等效井半径与子域大小之比 $b$ 的最佳范围在 0.1 到 0.17 之间。作者选择了 $b = 0.17$，这使得三个子域能够有效解析井。
• 计算效率：通过为每个阶段隔离 PDE 项，该方法保持了稳定的训练时间，并避免了在每个 epoch 评估所有网络所带来的计算成本。

意义与主张
该论文声称，WellPINN 是首个能够在大域内根据注入率准确推断整个注入期间（包括早期）流体压力的基于 PINN 的工作流程。其主要意义在于：

• 弥合多尺度差距：它为表征物理半径比油藏域小几个数量级的井提供了一种可扩展的解决方案，这是具有标准 tanh 激活函数的单网络 PINN 无法解决的挑战。
• 反演建模潜力：通过使基于流量（$q_w$）准确推断井底压力（$p_w$ 成为可能，而无需依赖密集观测数据，该工作流程提升了 PINN 在注水井测试反演建模和历史匹配方面的潜力。
• 方法论进步：该研究表明，对于使用 tanh 激活函数的 PINN 进行准确的井表征，域分解结合对数时间缩放和硬约束是必要的。

作者指出，虽然当前研究侧重于单井和均质渗透率，但该工作流程理论上可扩展至非均质域和多井配置，尽管后者可能需要进一步研究计算效率和激活函数缩放问题。