Kinematic and rheological equivalence of steady shearing and planar extensional flows

إليك ملخص تقني مفصل للورقة البحثية بعنوان "التكافؤ الكينماتيكي والريولوجي لتدفقات القص المستقر والامتداد المستوي" للباحثين نيكولاس كينج وغاريث إتش. مكنلي.

1. بيان المشكلة

تُوصَف ريولوجيا السوائل المعقدة عادةً باستخدام مجالين تدفق متميزين: القص البسيط والامتداد النقي.

• التحدي: يتم توليد تدفقات القص البسيطة بسهولة في مقاييس الريولوجيا الالتوائية القياسية لقياس لزوجة القص ($\eta$) وفروق الإجهاد الطبيعي ($N_1, N_2$)، بينما يصعب تجريبياً توليد تدفقات الامتداد المستوي المستقرة. معظم الأجهزة الموجودة تنتج تدفقات امتدادية عابرة أو غير متجانسة.
• الفجوة: بناءً على ذلك، فإن البيانات المتعلقة بلزوجة الامتداد المستوي المستقر ($\eta_{P1}$) شحيحة. ويُفترض عموماً أن القص والامتداد المستوي يستقصيان استجابات بنيوية مجهرية مختلفة جوهرياً (مثل انتقال الملف إلى التمدد/coil-stretch transitions)، وأنه لا يمكن التنبؤ بأحدهما من الآخر.
• السؤال: هل هناك رسم خرائط كينماتيكي أو ريولوجي أساسي يسمح بإعادة بناء سلوك الامتداد المستوي المستقر باستخدام بيانات مستمدة فقط من تجارب القص المستقر؟

2. المنهجية

يستفيد المؤلفان من التكافؤ الكينماتيكي بين القص البسيط والامتداد المستوي، استناداً إلى الثوابت للموترات الثابتة إطارياً (موتر معدل الانفعال $\dot{\boldsymbol{\gamma}}$ وموتر ستريج فينغر $\mathbf{B}$).

• التحليل الكينماتيكي:

  • يقع كلا التدفقين على نفس خطوط الثوابت في خريطة تصنيف التدفق، مما يجعلهما غير متمايزين كينماتيكياً إذا تمت إزالة المكونات الدورانية.
  • في القص البسيط، تكون متجهات الوحدة لموتر معدل الانفعال ثابتة عند زاوية $45^\circ$ بالنسبة لاتجاه التدفق، بينما تدور متجهات موتر الإجهاد اعتماداً على الاستجابة التكوينية للمادة.
  • في الامتداد المستوي، تكون متجهات معدل الانفعال والإجهاد متطابقة وثابتة.

• اشتقاق "معدل الامتداد الفعال" ($\dot{\epsilon}_{eff}$):

  • عرّف المؤلفون متغيراً جديداً، $\dot{\epsilon}_{eff}$، عن طريق إسقاط معدل التشوه المفروض لتدفق القص على المحاور الرئيسية لموتر الإجهاد الناتج.
  • هذا الإسقاط يزيل رياضياً مكون الدوران (الدوامية) المتأصل في تدفق القص، مما يعزل مكون التمدد الصافي الذي تتعرض له عنصر المادة.
  • الصيغة المشتقة هي:
    $$\dot{\epsilon}_{eff} = \frac{\dot{\gamma} \sigma_{12}}{\Delta \sigma} = \frac{\dot{\gamma} \sigma_{12}}{\sqrt{N_1^2 + 4\sigma_{12}^2}}$$
    حيث $\dot{\gamma}$ هو معدل القص، و$\sigma_{12}$ هو إجهاد القص، و$\Delta \sigma$ هو فرق الإجهاد الرئيسي.

• تعريف اللزوجة المركبة:

  • باستخدام $\dot{\epsilon}_{eff}$، عرّفوا دالة لزوجة الامتداد المستوي المركبة، $\eta_{[P1]}$، والتي تربط بيانات القص بسلوك الامتداد:
    $$\eta_{[P1]} \equiv \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{\dot{\epsilon}_{eff}} = \frac{N_1^2 + 4\sigma_{12}^2}{\dot{\gamma}\sigma_{12}} = 4\eta(\dot{\gamma})\left[1 + \left(\frac{N_1}{2\sigma_{12}}\right)^2\right]$$
  • تعتمد هذه المعادلة فقط على قياسات القص المستقر ($\eta$ و $N_1$).

• التحقق من الصحة:

  • نظرياً: تم اختبار الطريقة مقابل نماذج ظواهرية (Linear PTT, UCM) ونماذج مستندة إلى المجهريات (Rolie-Poly للمصهورات المتشابكة).
  • تجريبياً: أُجريت تجارب على محلول بولي أيزوبيوتيلين (PIB) بتركيز 2% وزني في زيت البارافين باستخدام مقياس ريولوجيا مخروطي-مسطح (cone-and-plate). تمت مقارنة $\eta_{[P1]}$ المستمدة مع التوقعات النظرية للامتداد المستوي.

3. المساهمات الرئيسية

1. إثبات التكافؤ: تثبت الورقة أنه لأي معادلة تكوينية موضوعية المادة، فإن لزوجة الامتداد المستوي المستقر تتحدد تماماً من خلال لزوجة القص المستقر وفارق الإجهاد الطبيعي الأول.
2. إزالة الدوران: من خلال تقديم معدل الامتداد الفعال، نجح المؤلفون في فصل فيزياء التمدد عن فيزياء الدوران في تدفق القص، مما كشف أن هذين التدفقين متكافئان كينماتيكياً عند النظر إليهما في إطار الإجهاد الرئيسي.
3. إمكانية الوصول التجريبي: يوفر هذا العمل مساراً عملياً لتحديد منحنيات لزوجة الامتداد المستوي المستقر للسوائل التي قد تكون شديدة اللزوجة لأجهزة الامتداد الموائع الدقيقة أو ضعيفة جداً لتقنية تمدد الخيوط، وذلك باستخدام ريولوجيا القص القياسية فقط.
4. تعميم قاعدة كوكس-ميرز: عقد المؤلفون مقارنة مع قاعدة كوكس-ميرز، مشيرين إلى أنه كما أن اللزوجة المرنة الخطية تتنبأ بالقص غير الخطي، فإن بيانات القص غير الخطي يمكنها الآن التنبؤ بسلوك الامتداد غير الخطي.

4. النتائج

• التحقق من النموذج:
  • بالنسبة لنموذج Linear PTT، أعادت الدالة المركبة $\eta_{[P1]}$ بناء منحنى لزوجة الامتداد المستوي المستقر بدقة، بما في ذلك سلوك التشبع عند المعدلات العالية.
  • بالنسبة لنموذج Rolie-Poly (البوليمرات المتشابكة)، نجحت الطريقة في التقاط السلوك المعقد غير الرتيب: انخفاض أولي بسبب توجيه السلاسل، يليه ارتفاع حاد (انتقال الملف إلى التمدد) عند رقم وايسنبرغ حرج، ثم تشبع نهائي بسبب محدودية الامتداد.
• التأكيد التجريبي:
  • باستخدام محلول PIB بتركيز 2% وزني، حسب المؤلفون $\eta_{[P1]}$ من بيانات القص.
  • طابقت المنحنى الناتج توقعات الامتداد المستوي تماماً.
  • لوحظ أن نسبة تروتون ($Tr = \eta_{P1}/\eta_0$) تزداد من حد نيوتني قدره 4 إلى حوالي 50 عند معدلات الامتداد الفعالة العالية، مما يؤكد سلوك التصلب بالانفعال المميز للبوليمرات المرنة اللزجة.
• السلوك التقاربي:
  • في الحد النيوتني ($N_1 \to 0$)، تختزل المعادلة بشكل صحيح إلى نسبة تروتون البالغة 4.
  • عند معدلات القص العالية، ينخفض معدل الامتداد الفعال بالنسبة لمعدل القص، مما يعكس اصطفاف متجهات الإجهاد مع اتجاه التدفق.

5. الأهمية

• التغلب على القيود التجريبية: يزيل هذا العمل الحاجة إلى مقاييس ريولوجيا امتداد مستوي متخصصة وصعبة التنفيذ للعديد من السوائل المعقدة. يمكن للباحثين الآن استنتاج خصائص الامتداد من بيانات القص عالية الدقة المتوفرة بالفعل.
• تعميق الفهم الفيزيائي: يتحدى هذا العمل الاعتقاد السائد بأن القص والامتداد هما تاريخا تشوه مختلفان جوهرياً. بدلاً من ذلك، يظهر أنهما مجرد إسقاطات مختلفة لنفس الحالة الكينماتيكية الأساسية، والفرق بينهما يكمن فقط في وجود الدوران.
• التطبيق الصناعي: بما أن العديد من العمليات الصناعية (تكسر الخيوط، النفث، الطلاء) تتضمن كينماتيكا مختلطة حيث يهيمن الامتداد، فإن هذه الطريقة تسمح بتنبؤ أفضل بسلوك السوائل في هذه العمليات باستخدام قواعد البيانات الريولوجية الموجودة.
• الاتجاهات المستقبلية: يقترح المؤلفون إعادة تقييم البيانات التاريخية للقص لاستخراج خصائص الامتداد وتطبيق هذا الإطار على تدفقات معقدة أخرى كانت تُعتبر منفصلة.

باختصار، يوضح كينج ومكنلي أن "الحلقة المفقودة" بين القص والامتداد المستوي هي المكون الدوراني للتدفق. ومن خلال الإزالة الرياضية لهذا الدوران، يوحدان الوصف الريولوجي لهذين النوعين من التدفق، مما يقدم أداة قوية لتوصيف السوائل المعقدة.