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Kinematic and rheological equivalence of steady shearing and planar extensional flows

यह शोध पत्र एक प्रभावी विस्तार दर (extension rate) व्युत्पन्न करके निरंतर शियरिंग (steady shearing) और प्लेनर एक्सटेंशनल प्रवाह (planar extensional flows) के बीच एक गहरा रियोलॉजिकल तुल्यता स्थापित करता है, जो घूर्णी प्रभावों को हटा देता है, जिससे जटिल तरल पदार्थों के लिए निरंतर शियर मापन से प्लेनर एक्सटेंशनल श्यानता का पुनर्निर्माण सक्षम होता है।

मूल लेखक: Nicholas King, Gareth H. McKinley

प्रकाशित 2026-04-14

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Nicholas King, Gareth H. McKinley

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप यह समझने की कोशिश कर रहे हैं कि एक जटिल तरल पदार्थ (जैसे कि एक गाढ़ा पॉलीमर घोल, शहद और रबर का मिश्रण, या यहाँ तक कि केचप) कैसे व्यवहार करता है जब आप उसे खींचकर अलग करते हैं। वैज्ञानिक इसे एक्सटेंशनल फ्लो (extensional flow) कहते हैं। यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है कि प्लास्टिक को कैसे ढाला जाता है, पेन से स्याही कैसे छिड़कती है, या रक्त संकीर्ण केशिकाओं (capillaries) के माध्यम से कैसे बहता है।

हालाँकि, एक बड़ी समस्या है: एक तरल पदार्थ को पूरी तरह से नियंत्रित और स्थिर तरीके से खींचकर अलग करना प्रयोगशाला में करना अविश्वसनीय रूप से कठिन है। यह टॉफी के एक टुकड़े को बिना टूटे या मुड़े बिल्कुल सीधा खींचने की कोशिश करने जैसा है।

दूसरी ओर, तरल पदार्थ को शीयर (shear) करना (जैसे मक्खन को टोस्ट पर फैलाते समय उसकी परतों को एक-दूसरे के ऊपर खिसकाना) आसान है। हमारे पास ऐसी मशीनें हैं जो इसे हमेशा करती रहती हैं।

दशकों तक, वैज्ञानिकों ने माना कि ये दो क्रियाएं—खिसकाना (shear) और खींचना (extension)—पूरी तरह से अलग दुनिया हैं। उन्होंने सोचा कि आप यह अनुमान नहीं लगा सकते कि किसी तरल पदार्थ को खींचने पर वह कैसे प्रतिक्रिया करेगा, सिर्फ यह देखकर कि उसे कैसे खिसकाया गया।

बड़ी खोज:
निकोलस किंग और गैरेथ मैकिनले द्वारा लिखा गया यह शोध पत्र कहता है: "वास्तव में, वे एक ही चीज़ हैं, बस देखने का नज़रिया अलग है।"

उन्होंने एक गणितीय "जादुई ट्रिक" खोजी है जो हमें आसानी से प्राप्त 'खिसकने' (shear) के डेटा से उस स्थिति का सटीक पुनर्निर्माण करने देती है जो तब होती जब हम तरल को खींचकर अलग कर रहे होते।

सादृश्य (Analogy): घूमता हुआ स्केटर बनाम खिंचता हुआ बैंड

यह समझने के लिए कि उन्होंने यह कैसे किया, आइए हम दो सादृश्यों का उपयोग करें:

1. घूमता हुआ स्केटर (शीयर की समस्या)
कल्पना कीजिए कि एक फिगर स्केटर बर्फ पर घूम रहा है।

द स्लाइड (The Slide): स्केटर आगे बढ़ रहा है (यह प्रवाह/flow है)।
द स्पिन (The Spin): लेकिन वे पागलपन की हद तक घूम भी रहे हैं।
समस्या: यदि आप जानना चाहते हैं कि स्पिन के कारण स्केटर के हाथ कितनी जोर से बाहर की ओर खिंच रहे हैं, तो इसे मापना कठिन है क्योंकि पूरा शरीर ही घूम रहा है। "खिंचाव" (stretching) उस "घूर्णन" (spinning) के भीतर छिपा हुआ है।

एक तरल पदार्थ में, जब आप उसे शीयर (खिसकाते) करते हैं, तो तरल के तत्व केवल खिंचते ही नहीं; वे घूमते (rotate) भी हैं। यह घूर्णन इस माप को बिगाड़ देता है कि सामग्री वास्तव में कितनी खींची जा रही है।

2. खिंचता हुआ बैंड (लक्ष्य - एक्सटेंशन)
अब, कल्पना कीजिए कि एक रबर बैंड को सीधा खींचा जा रहा है।

वहाँ कोई स्पिन (घूर्णन) नहीं है।
सामग्री बस एक दिशा में खिंच रही है और दूसरी दिशा में पतली हो रही है।
यह "शुद्ध विस्तार" (pure extension) है।

"जादुई ट्रिक" (समाधान)
लेखकों ने महसूस किया कि "घूमते हुए स्केटर" (shear) में होने वाला खिंचाव वास्तव में "खिंचते हुए बैंड" (extension) के खिंचाव के समान ही है, यदि आप गणितीय रूप से स्पिन को हटा सकें।

उन्होंने "प्रभावी विस्तार दर" (Effective Extension Rate) नामक एक अवधारणा बनाई।
इसे तरल पदार्थों के लिए "नॉइज़-कैंसलिंग हेडफ़ोन" की तरह समझें।

तरल पदार्थ दो तरह के शोर के साथ चिल्ला रहा है: "खिंचाव" और "घूर्णन"।
लेखकों ने एक गणितीय फ़िल्टर बनाया जो "घूर्णन" के शोर को घटा देता है।
जो बचता है, वह शुद्ध "खिंचाव" का संकेत है।

व्यवहार में यह कैसे काम करता है

आसान परीक्षण: आप तरल पदार्थ को एक मानक मशीन में डालते हैं और उसे खिसकाते (shear) हैं। आप दो चीजें मापते हैं:
- इसकी मोटाई (Viscosity)।
- यह बगल की ओर कितना दबाव डालता है (Normal Stress)।
गणितीय फ़िल्टर: आप उन नंबरों को उनके नए फॉर्मूले के माध्यम से चलाते हैं। यह फॉर्मूला एक अनुवादक की तरह काम करता है, जो घूर्णन घटक को हटा देता है।
परिणाम: आउटपुट आपको बताता है कि तरल कैसा व्यवहार करता यदि आपने उसे खींचकर अलग किया होता (extension), भले ही आपने वास्तव में उसे खींचा ही न हो!

यह क्यों महत्वपूर्ण है

कोई कठिन प्रयोग नहीं: अब आपको उन महंगे और नाजुक मशीनों की आवश्यकता नहीं है जो तरल पदार्थ को पूरी तरह से खींचने की कोशिश करती हैं। आप उन मानक, आसान मशीनों का उपयोग कर सकते हैं जो पहले से ही सबके पास हैं।
सार्वभौमिक सत्य: उन्होंने सिद्ध किया कि यह कई अलग-अलग प्रकार के तरल पदार्थों के लिए काम करता है, सरल गणितीय मॉडलों से लेकर वास्तविक दुनिया के पॉलीमर समाधानों (जैसे कि उन्होंने पॉलीआइसोब्यूटिलीन का परीक्षण किया) तक।
नई अंतर्दृष्टि: "शीयर" डेटा को इस नए नजरिए से देखकर, वे छिपे हुए भौतिक विज्ञान को देख सके, जैसे कि पॉलीमर चेन कैसे अचानक एक उलझी हुई गेंद से एक सीधी रेखा में बदल जाती है (जिसे "coil-stretch transition" कहा जाता है), जिसे पहले पहचानना कठिन था।

मुख्य निष्कर्ष (The Bottom Line)

यह शोध पत्र एक ऐसी खोज की तरह है कि आप यह सीख सकते हैं कि एक कार सीधे राजमार्ग पर कैसे चलती है, सिर्फ यह देखकर कि वह घेरे में (circle) कैसे घूम रही है, बशर्ते आप मुड़ने की गति को घटाना जानते हों।

यह प्रकट करता है कि खिसकना (sliding) और खींचना (pulling) एक ही तरह के जुड़वां हैं। "स्लाइड" से "स्पिन" को हटाकर, हम अंततः भविष्यवाणी कर सकते हैं कि जटिल तरल पदार्थ खिंचने पर कैसे व्यवहार करेंगे, जिससे बेहतर सामग्री, दवाएं और औद्योगिक प्रक्रियाओं को डिजाइन करने के नए रास्ते खुलेंगे, बिना किसी असंभव मशीन को बनाए रखे।

यहाँ निकोलस किंग और गैरेथ एच. मैककिन्ले के शोध पत्र "Kinematic and rheological equivalence of steady shearing and planar extensional flows" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

जटिल तरल पदार्थ (complex fluid) की रियोलॉजी को आमतौर पर दो अलग-अलग प्रवाह क्षेत्रों (flow fields) का उपयोग करके वर्णित किया जाता है: सरल कतरनी (simple shear) और शुद्ध विस्तार (pure extension)।

चुनौती: मानक टॉर्सनल रियोमीटर का उपयोग करके स्थिर कतरनी प्रवाह (steady shear flows) के माध्यम से शियर विस्कोसिटी ( $\eta$ ) और सामान्य प्रतिबल अंतर ( $N_1, N_2$ ) को आसानी से मापा जा सकता है, लेकिन स्थिर प्लेनर एक्सटेंशनल प्रवाह (steady planar extensional flows) उत्पन्न करना प्रयोगात्मक रूप से कठिन है। अधिकांश मौजूदा उपकरण क्षणिक (transient) या असजातीय (inhomogeneous) एक्सटेंशनल प्रवाह उत्पन्न करते हैं।
अंतराल (Gap): फलस्वरूप, स्थिर प्लेनर एक्सटेंशनल विस्कोसिटी ( $\eta_{P1}$ ) के लिए डेटा बहुत कम उपलब्ध है। यह सामान्यतः माना जाता है कि शियर और प्लेनर एक्सटेंशन मौलिक रूप से भिन्न सूक्ष्म संरचनात्मक प्रतिक्रियाओं (जैसे: coil-stretch transitions) को प्रोब करते हैं और एक की भविष्यवाणी दूसरे से नहीं की जा सकती है।
प्रश्न: क्या कोई मौलिक गतिक (kinematic) या रियोलॉजिकल मैपिंग मौजूद है जो केवल स्थिर शियर प्रयोगों से प्राप्त डेटा का उपयोग करके स्थिर प्लेनर एक्सटेंशनल व्यवहार का पुनर्निर्माण करने की अनुमति देती है?

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक 'इनवेरिएंट्स ऑफ फ्रेम-इनवेरिएंट टेंसर' (स्ट्रेन रेट $\dot{\boldsymbol{\gamma}}$ और फिंगर स्ट्रेन $\mathbf{B}$ ) पर आधारित, सरल कतरनी और प्लेनर विस्तार के बीच गतिक समानता (kinematic equivalence) का लाभ उठाते हैं।

गतिक विश्लेषण (Kinematic Analysis):
- दोनों प्रवाह फ्लो क्लासिफिकेशन मैप पर एक ही इनवेरिएंट लाइनों पर स्थित हैं, जिससे यदि घूर्णी घटकों (rotational components) को हटा दिया जाए, तो वे गतिक रूप से अविभेद्य (indistinguishable) हो जाते हैं।
- सरल कतरनी (simple shear) में, स्ट्रेन रेट टेंसर के आइजनवेक्टर्स (eigenvectors) प्रवाह दिशा के सापेक्ष $45^\circ$ पर स्थिर होते हैं, जबकि स्ट्रेस टेंसर के आइजनवेक्टर्स सामग्री की संरचनात्मक प्रतिक्रिया के आधार पर घूमते हैं।
- प्लेनर विस्तार (planar extension) में, स्ट्रेन रेट और स्ट्रेस आइजनवेक्टर्स एक ही दिशा में और स्थिर होते हैं।
"प्रभावी विस्तार दर" ( $\dot{\epsilon}_{eff}$ ) का व्युत्पन्न:
- लेखक एक नया चर $\dot{\epsilon}_{eff}$ परिभाषित करते हैं, जो शियर प्रवाह के आरोपित विरूपण दर (imposed deformation rate) को परिणामी स्ट्रेस टेंसर के मुख्य अक्षों (principal axes of the resulting stress tensor) पर प्रोजेक्ट करता है।
- यह प्रोजेक्शन गणितीय रूप से शियर प्रवाह में निहित घूर्णी (vorticity) घटक को हटा देता है, जिससे शुद्ध खिंचाव (stretching) घटक को अलग किया जा सके जिसे सामग्री का तत्व अनुभव करता है।
- व्युत्पन्न सूत्र है:
  $\dot{\epsilon}_{eff} = \frac{\dot{\gamma} \sigma_{12}}{\Delta \sigma} = \frac{\dot{\gamma} \sigma_{12}}{\sqrt{N_1^2 + 4\sigma_{12}^2}}$
  जहाँ $\dot{\gamma}$ शियर रेट है, $\sigma_{12}$ शियर स्ट्रेस है, और $\Delta \sigma$ मुख्य प्रतिबल अंतर (principal stress difference) है।
मिश्रित विस्कोसिटी की परिभाषा (Definition of Composite Viscosity):
- $\dot{\epsilon}_{eff}$ का उपयोग करते हुए, वे एक मिश्रित प्लेनर एक्सटेंशनल विस्कोसिटी फंक्शन, $\eta_{[P1]}$ को परिभाषित करते हैं, जो शियर डेटा को एक्सटेंशनल व्यवहार में मैप करता है:
  $\eta_{[P1]} \equiv \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{\dot{\epsilon}_{eff}} = \frac{N_1^2 + 4\sigma_{12}^2}{\dot{\gamma}\sigma_{12}} = 4\eta(\dot{\gamma})\left[1 + \left(\frac{N_1}{2\sigma_{12}}\right)^2\right]$
- यह समीकरण केवल स्थिर शियर माप ( $\eta$ और $N_1$ ) पर निर्भर करता है।
सत्यापन (Validation):
- सैद्धांतिक: इस पद्धति का परीक्षण फेनोमेनोलॉजिकल मॉडल (Linear PTT, UCM) और सूक्ष्म रूप से प्रेरित मॉडल (एंटैंगल्ड मेल्ट्स के लिए Rolie-Poly) के विरुद्ध किया गया।
- प्रायोगिक: पैराफिन ऑयल में 2 wt% पॉलीआइसोब्यूटिलीन (PIB) समाधान का उपयोग करके कोन-एंड-प्लेट रियोमीटर के माध्यम से प्रयोग किए गए। प्राप्त $\eta_{[P1]}$ की तुलना प्लेनर एक्सटेंशन के सैद्धांतिक अनुमानों से की गई।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

समानता का प्रमाण: यह शोध पत्र स्थापित करता है कि किसी भी मटेरियल रूप से ऑब्जेक्टिव कॉन्स्टिट्यूटिव इक्वेशन के लिए, स्थिर प्लेनर एक्सटेंशनल विस्कोसिटी, स्थिर शियर विस्कोसिटी और प्रथम सामान्य स्ट्रेस डिफरेंस द्वारा पूरी तरह से निर्धारित होती है।
घूर्णन को हटाना: प्रभावी विस्तार दर को पेश करके, लेखकों ने सफलतापूर्वक शियर प्रवाह के भीतर निहित घूर्णी (रोटेशनल) भौतिकी को खिंचाव (stretching) की भौतिकी से अलग कर दिया, जिससे यह प्रकट हुआ कि स्ट्रेस प्रिंसिपल फ्रेम में देखने पर दोनों प्रवाह गतिक रूप से समान हैं।
प्रायोगिक सुलभता: यह कार्य उन तरल पदार्थों के लिए स्थिर प्लेनर एक्सटेंशनल विस्कोसिटी वक्र निर्धारित करने का एक व्यावहारिक मार्ग प्रदान करता है जो माइक्रोफ्लुइडिक एक्सटेंशनल उपकरणों के लिए बहुत चिपचिपे हैं या फिलामेंट स्ट्रेचिंग के लिए बहुत कमजोर हैं, और यह केवल मानक शियर रियोमेट्री का उपयोग करता है।
कॉक्स-मेर्ज़ का सामान्यीकरण: लेखक कॉक्स-मेर्ज़ नियम के समानांतर एक तुलना खींचते हैं, यह सुझाव देते हुए कि जिस प्रकार रैखिक विस्कोइलास्टिसिटी (linear viscoelasticity) गैर-रैखिक शियर की भविष्यवाणी करती है, अब गैर-रैखिक शियर डेटा गैर-रसीएल (nonlinear) एक्सटेंशनल व्यवहार की भविष्यवाणी कर सकता है।

4. परिणाम (Results)

मॉडल सत्यापन:
- Linear PTT मॉडल के लिए, मिश्रित फंक्शन $\eta_{[P1]}$ ने उच्च स्ट्रेन पर संतृप्ति (saturation) व्यवहार सहित स्थिर प्लेनर एक्सटेंशनल विस्कोसिटी वक्र को पूरी तरह से पुनर्गठित किया।
- Rolie-Poly मॉडल (एंटैंगल्ड पॉलिमर) के लिए, पद्धति ने जटिल गैर-मोनोटोनिक व्यवहार को सटीक रूप से कैप्चर किया: ओरिएंटेशन के कारण प्रारंभिक कमी, एक क्रिटिकल वीसेनबर्ग नंबर (Weissenberg number) पर तीव्र वृद्धि (coil-stretch transition), और परिमित विस्तार क्षमता (finite extensibility) के कारण अंततः संतृप्ति।
प्रायोगिक पुष्टि:
- 2 wt% PIB समाधान का उपयोग करते हुए, लेखकों ने शियर डेटा से $\eta_{[P-1]}$ की गणना की।
- प्राप्त वक्र ने प्लेनर एक्सटेंशन के सैद्धांतिक अनुमान से पूरी तरह मेल खाया।
- ट्रौटन अनुपात ( $Tr = \eta_{P1}/\eta_0$ ) को उच्च प्रभावी विस्तार दरों पर न्यूटोनियन सीमा के 4 से बढ़कर लगभग 50 तक बढ़ते हुए देखा गया, जो विस्कोइलास्टिक पॉलिमर की विशिष्ट स्ट्रेन-स्टिफनिंगिंग व्यवहार की पुष्टि करता है।
एसिम्प्टोटिक व्यवहार (Asymptotic Behavior):
- न्यूटोनियन सीमा ( $N_1 \to 0$ ) में, समीकरण सही ढंग से ट्रौटन अनुपात 4 में बदल जाता है।
- उच्च शियर दरों पर, प्रभावी विस्तार दर शियर दर के सापेक्ष कम हो जाती है, जो प्रवाह दिशा के साथ स्ट्रेस आइजनवेक्टर्स के संरेखण (alignment) को दर्शाती है।

5. महत्व (Significance)

प्रायोगिक सीमाओं को दूर करना: यह कार्य कई जटिल तरल पदार्थों के लिए विशेष, कठिन-से-लागू प्लेनर एक्सटेंशनल रियोमीटर की आवश्यकता को समाप्त करता है। शोधकर्ता अब मौजूदा रियोलॉजिकल डेटाबेस का उपयोग करके एक्सटेंशनल गुणों का अनुमान लगा सकते हैं।
गहन भौतिक समझ: यह इस धारणा को चुनौती देता कि शियर और एक्सटेंशन मौलिक रूप से भिन्न विरूपण इतिहास (deformation histories) हैं। इसके बजाय, यह दिखाता है कि वे एक ही अंतर्निहित गतिक अवस्था के दो अलग-अलग प्रोजेक्शन हैं, जो केवल घूर्णन की उपस्थिति से भिन्न होते हैं।
औद्योगिक अनुप्रयोग: चूंकि कई औद्योगिक प्रक्रियाओं (फिलामेंट ब्रेकअप, जेटिंग, कोटिंग) में मिश्रित गतिकी शामिल होती है जहाँ विस्तार (extension) प्रमुख होता है, यह विधि मौजूदा रियोलॉजिकल डेटाबेस का उपयोग करके इन प्रक्रियाओं में तरल व्यवहार की बेहतर भविष्यवाणी करने की अनुमति देती है।
भविष्य की दिशाएँ: लेखक ऐतिहासिक शियर डेटा का पुनर्मूल्यांकन करने और एक्सटेंशनल गुणों को निकालने के लिए इस ढांचे को लागू करने का सुझाव देते हैं।

संक्षेप में, किंग और मैककिन्ली यह प्रदर्शित करते हैं कि शियर और प्लेनर एक्सटेंशन के बीच की "लुप्त कड़ी" (missing link) प्रवाह का घूर्णी घटक (rotational component) है। इस घूर्णन को गणितीय रूप से हटाकर, वे इन दोनों प्रवाह प्रकारों के रियोलॉजिकल विवरण को एकीकृत करते हैं, जो जटिल तरल पदार्थों के लक्षण वर्णन के लिए एक शक्तिशाली नया उपकरण प्रदान करता है।