Support Vector Machine with a Scalable Quantum Kernel

ملخص تقني: آلة متجه الدعم مع نواة كمومية قابلة للتوسع

بيان المشكلة
تعتمد آلات متجه الدعم الكمومية (QSVMs) على النوى المولدة كمومياً لتعيين البيانات في فضاءات هيلبرت عالية الأبعاد، مما يوفر نظرياً مزايا على الطرق الكلاسيكية. ومع ذلك، تعاني طريقة "نواة الوفاء الكمومية" (Fidelity Quantum Kernel - FQK) القياسية من حاجز توسع حرج يُعرف باسم "التركيز الأسي". فمع زيادة عدد الكيوبتات ($n$)، يتلاشى التداخل بين الحالات الكمومية المتميزة أسياً ($\sim 2^{-n}$). ونتيجة لذلك، تتقارب مدخلات مصفوفة النواة نحو قيمة واحدة (عادة ما تكون صفراً للعناصر خارج القطر الرئيسي)، مما يجعل مصفوفة النواة غير قابلة للتمييز عن مصفوفة الوحدة، وهذا يجعلها تبدو كمصفوفة هوية. هذه الظاهرة تستلزم عدداً أسياً من عمليات القياس (shots) لتمييز الاختلافات بين نقاط البيانات، مما يعيق فعلياً التوسع الكفء لما يتجاوز الأنظمة ذات عدد قليل من الكيوبتات، ويؤدي إلى ضعف في القدرة على التعميم في مجموعات البيانات الأكبر.

المنهجية
لمعالجة قيود FQK، يقترح المؤلفون نواة هامينج الكمومية (Hamming Quantum Kernel - HQK). وبخلاف FQK التي تعتمد فقط على احتمالية قياس السلسلة الثنائية الصفرية بالكامل ($|0\dots0\rangle$) لتقدير تداخل الحالة، تستخدم HQK إحصائيات القياس الكاملة الناتجة عن الدائرة الكمومية.

تتضمن المنهجية الجوهرية الخطوات التالية:

1. ترميز الحالة: يتم ترميز نقاط البيانات المدخلة $x_i$ و $x_j$ إلى حالات كمومية $|\psi(x)\rangle = U(x)|0\rangle^{\otimes n}$ باستخدام دائرة كمومية معلمية (تحديداً نموذج نواة ZZ).
2. القياس: يتم تنفيذ الدائرة $U^\dagger(x_i)U(x_j)$، وتُقاس السلاسل الثنائية الناتجة.
3. المعالجة اللاحقة المستندة إلى التوزيع: بدلاً من استبعاد جميع النتائج باستثناء السلسلة الصفرية، تقوم HQK بتجميع جميع السلاسل الثنائية المقاسة $b$ حسب وزن هامينج الخاص بها $h(b)$ (عدد الواحدات في السلسلة).
4. حساب النواة: يتم حساب عنصر النواة كمجموع مرجح لاحتمالات هذه السلاسل الثنائية:
   $$\kappa_{HQK}(x_i, x_j) = \sum_{b} |\langle b|U^\dagger(x_i)U(x_j)|0\rangle^{\otimes n}|^2 e^{-\lambda h(b)}$$
   هنا، $\lambda$ هو معلمة فائقة قابلة للضبط.

• عندما تؤول $\lambda \to \infty$، تتقارب HQK إلى FQK القياسية (التي تركز فقط على $h(b)=0$).
• عندما تؤول $\lambda \to 0$، تقترب النواة من مصفوفة مكونة من الرقم واحد بالكامل.
• تسمح القيم المتوسطة لـ $\lambda$ للنواة بالاستفادة من توزيع السلاسل الثنائية ذات أوزان هامينج المنخفضة، والتي تكون أكثر احتمالاً للحالات المتشابهة، مما يحافظ على قوة الإشارة حتى مع زيادة $n$.

المساهمات الرئيسية

• القابلية للتوسع: تخفف HQK من مشكلة التركيز الأسي من خلال استخدام إحصائيات القياس الكاملة بدلاً من قيمة وفاء واحدة. وهذا يسمح للطريقة بالبقاء فعالة عند مقاييس كيوبت أكبر دون الحاجة إلى موارد كمومية إضافية أو حلقات تحسين هجينة معقدة.
• المعالجة اللاحقة الكلاسيكية: تقدم الطريقة دالة معالجة لاحقة كلاسيكية محددة تستفيد من توزيعات وزن هامينج لتعزيز مقاييس التشابه، متجنبة الحاجة إلى محاذاة النواة أو التحسين التكراري للمعلمات أثناء مرحلة التدريب.
• المتانة: صُممت الطة لتكون مستقلة عن المشكلات، حيث تعتمد على الخصائص الإحصائية لنتائج القياس بدلاً من هياكل مجموعات البيانات المحددة.

النتائج
قيم المؤلفون HQK مقابل FQK القياسية ونواة غاوسية (RBF) كلاسيكية باستخدام مجموعتي بيانات:

1. البيانات الكلاسيكية (MNIST): أرقام مكتوبة بخط اليد (0 مقابل 1، 0 مقابل 6، وفردي مقابل زوجي) تم تقليل أبعادها عبر تحليل المكونات الرئيسية (PCA) إلى أبعاد تتراوح من 2 إلى 27.
   • عندما كان $n < 15$، أدت جميع النوايا أداءً متشابهاً.
   • عندما كان $n \ge 15$، انخفضت دقة FQK بشكل حاد بسبب التركيز الأسي، مقتربة من التخمين العشوائي.
   • حافظت HQK على دقة مستقرة، متفوقة على FQK ومقتربة من أداء نواة RBF الكلاسيكية.
2. البيانات الكمومية الاصطناعية: تم توليد البيانات بواسطة دائرتين كموميتين متميزتين ($V_0$ و $V_1$) مع عدد متغير من الكيوبتات (من 4 إلى 27).
   • تفوقت HQK باستمرار على كل من FQK ونواة RBF الكلاسيكية عبر جميع أعداد الكيوبتات.
   • والأهم من ذلك، بالنسبة لـ $n$ الكبيرة، حققت HQK دقة اختبار قريبة من الحد النظري الأقصى (حد التمييز)، بينما أظهرت نواتا FQK و RBF تدهوراً كبيراً في الأداء أو ركوداً.

الأهمية والادعاءات
يزعم البحث أن نواة هامينج الكمومية توفر مساراً عملياً لتعلم الآلة الكمومي القابل للتوسع. فمن خلال تجنب التركيز الأسي المتأصل في نوايا الوفاء، تمكن HQK من عمل آلات (QSVMs) بفعالية على أنظمة تحتوي على 15 كيوبت أو أكثر دون الحاجة إلى أجهزة مقاومة للأخطاء أو موارد كمومية إضافية.

يؤكد المؤلفون أن HQK تحسن من القدرة التعبيرية ومتانة النوايا الكمومية عند المقاييس الأكبر. ومن الجدير بالذكر أن الطريقة أظهرت ميزة حاسمة في البيانات المولدة كمومياً، حيث تفوقت على كل من النوايا الكمومية والكلاسيكية القياسية. وقد وُجد أن المعلمة الفائقة المثلى $\lambda$ تبلغ باستمرار حوالي 0.1 عبر مجموعات البيانات المتنوعة، مما يشير إلى إمكانية نشر الطريقة بكفاءة دون الحاجة إلى تحقق تبادلي واسع النطاق. ويخلص العمل إلى أن HQK مرشح قوي لاستبدال FQK في الإعدادات واسعة النطاق أو البيئات محدودة الموارد، حيث تقدم بديلاً قابلاً للتوسع يستفيد من القوة الكاملة لإحصائيات القياس الكمومي.