Isotonic Bradley-Terry Model for Paired Comparison Data

تخيل أنك مشجع رياضي يحاول معرفة من هو أفضل لاعب في العالم. لديك قائمة ضخمة من نتائج المباريات: من هزم من، ومن تعادل، ومن خسر. لكن الجزء الصعب هنا هو أنه لا يمكنك مجرد النظر إلى عدد الانتصارات؛ فقد يكون لاعب قد هزم خصماً ضعيفاً عشر مرات، لكنه خسر أمام واحد قوي. لجعل هذا الأمر منطقياً، يستخدم العلماء أداة رياضية تسمى نموذج برادلي-تيري (Bradley-Terry model). فكر في هذا النموذج كأنه "حاسبة قوة". فهو يخصص "درجة قوة" (رقم مخفي) لكل لاعب. إذا كان لدى اللاعب (أ) درجة أعلى من اللاعب (ب)، فإن النموذج يتوقع فوز (أ). ولتحويل الفرق بين درجتي هذين اللاعبين إلى احتمالية فوز حقيقية (مثل "احتمال 60% لفوز أ")، يستخدم النموذج شكلاً أو "منحنى" محدداً يسمى دالة الربط العكسي (inverse link function).

لعقود من الزمن، اضطر الباحثون لتخمين شكل المنحنى الصحيح. كانوا يختارون شكلاً ثابتاً — مثل منحنى "S" الناعم (لوجستي) أو شكل منحنى الجرس (غاوسي) — ويلتزمون به، آملين أن يناسب البيانات. المشكلة هي أن الحياة الواقعية فوضوية. فأحياناً لا تتناسب البيانات مع المنحنى المختار مسبقاً، مما يؤدي إلى تنبؤات سيئة. تسأل هذه الورقة سؤالاً بسيطاً ولكنه جريء: ماذا لو لم نُجبر البيانات على اتخاذ شكل منحنى جاهز؟ ماذا لو تركنا البيانات هي التي تحدد شكل المنحنى؟ تقترح المؤلفة طريقة جديدة تتعلم شكل المنحنى مباشرة من النتائج، بدلاً من تخمينه مسبقاً.

المشكلة: فخ "المقاس الواحد للجميع"

في عالم المقارنات الثنائية — سواء كانت لعمالقة الشطرنج، أو محترفي التنس، أو فرق كرة القدم — غالباً ما نريد القيام بشيئين: التنبؤ باحتمالات الفوز بين لاعبين لم يلعبا ضد بعضهما بعد، وترتيب الجميع من الأقوى إلى الأضعف. الطريقة التقليدية للقيام بذلك هي نموذج برادلي-تيري.

تخيل النموذج كآلة تتكون من جزأين. الجزء الأول يتعلم "درجة قوة" لكل لاعب. أما الجزء الثاني فيأخذ الفرق بين درجتي لاعبين ويمرره عبر "مرشح" ثابت (دالة الربط العكسي) ليخرج احتمالية الفوز. لسنوات، كان على العلماء اختيار هذا المرشح مسبقاً. قد يقولون: "لنستخدم المرشح اللوجستي"، أو "لنستخدم المرشح الغاوسي".

تشير مؤلفة هذه الورقة إلى خلل في هذا النهج وهو: خطأ توصيف النموذج (model missification). الأمر يشبه محاولة وضع وتد مربع في ثقب مستدير. إذا كان الواقع يتصرف مثل دالة متدرجة ومتعرجة، ولكنك تجبرها على المرور عبر منحنى "S" ناعم، فستكون تنبؤاتك خاطئة. وتجادل الورقة بأننا، من خلال حصر شكل المنحنى في شكل محدد قبل النظر في البيانات، قد نتخلص من معلومات قيمة.

الحل: النموذج "متغير الشكل"

لإصلاح ذلك، تقدم المؤلفة نموذج برادلي-تيري المتوافق (Isotonic Bradley-Terry Model). فبدلاً من اختيار منحنى ثابت، تترك البيانات تبني منحناها الخاص، قطعة بقطعة.

إليك كيف يعمل ذلك، باستخدام تشبيه مرح: تخيل أنك تحاول رسم خريطة لتضاريس تلال بناءً على تقارير جوية متفرقة.

1. الطريقة القديمة: تقرر مسبقاً أن التضاريس يجب أن تكون قطعاً مكافئاً (parabola) مثالياً وناعماً. تقوم بتعديل ارتفاع التل ليتناسب مع التقارير، ولكن إذا أظهرت التقارحات وجود منحدر مفاجئ، فإن القطع المكافئ الناعم الخاص بك لن يتمكن ببساطة من التقاطه.
2. الطريقة الجديدة (النموذج المتوافق - Isotonic Model): أنت لا تفترض الشكل. بدلاً من ذلك، تنظر إلى التقارير وترسم خطاً "يصل النقاط ببعضها" يتجه صعوداً فقط (أو يبقى مسطحاً) بينما تتحرك من الدرجات المنخفضة إلى الدرجات العالية. هذا يسمى الانحدار المتوافق (isotonic regression). وهو نهج "لا بارامتري" (non-parametric)، مما يعني أنه لا يفترض صيغة رياضية محددة؛ بل يتبع اتجاه البيانات فحسب.

تقترح المؤلفة رقصة ذكية بين جزئي النموذج:

1. أولاً، تخمن درجات قوة اللاعبين باستخدام منحنى قياسي.
2. ثم، تنظر إلى نتائج المباريات الفعلية وتعيد رسم المنحنى (المرشح) ليتناسب مع تلك النتائج تماماً، مع ضمان عدم تراجعه للخلف (الرتابة - monotonicity).
3. ثم، تستخدم هذا المنحنى الجديد ذو الشكل المخصص لإعادة حساب درجات قوة اللاعبين.
4. تكرر هذه العملية، بالتناوب بين تحديث الدرجات وتحديث شكل المنحنى، حتى يتوقف النموذج عن التحسن.

ما وجدوه: تنبؤات أفضل وتعادلات صادقة

اختبرت المؤلفة هذه الطريقة الجديدة باستخدام نوعين من البيانات: بيانات اصطناعية (مباريات تم إنشاؤها بواسطة الكمبيوتر حيث عرفوا الإجابة "الحقيقية") وبيانات من العالم الحقيقي من الدوري الإنجليزي الممتاز لكرة القدم لموسم 2024/2025، وموسم كرة القاعدة (MLB) لعام 2025، وجولة التنس (ATP) لعام 2025.

في محاكاة الكمبيوتر، أنشأت سيناريوهات حيث كانت العلاقة "الحقيقية" بين القوة والفوز غريبة ولا تطابق المنحنيات القياسية. في هذه الحالات، عانى النموذج التقليدي، لكن نموذج برادلي-تيري المتوافق كان أداؤه أفضل بكثير. لقد تعلم الشكل الغريب للبيانات وقدم تنبؤات أكثر دقة للفوز.

والأكثر إثارة للاهتمام، هو أن النموذج الجديد أفضل في الاعتراف عندما لا يعرف الإجابة. في النموذج التقليدي، إذا كان للاعبين درجات متشابهة، فقد يفرض النموذج فرقاً ضئيلاً ويقول "اللاعب (أ) لديه فرصة 51% للفوز". ومع ذلك، فإن النموذج المتوافق (Isotonic) أكثر عرضة للقول: "هذان اللاعبان متعادلان فعلياً"، مما يؤدي إلى احتمالية فوز بنسبة 50%. وجدت المؤلفة أن سلوك "التعادل" هذا هو في الواقع ميزة وليس عيباً. فعندما لا توجد بيانات كافية للتمييز بين لاعبين، يرفض النموذج بشكل صحيح وضع ترتيب صارم، مما يؤدي إلى ترتيبات عامة أكثر صدقاً واستقراراً.

وفي بيانات الرياضة من العالم الحقيقي، كانت النتائج مماثلة. حسن النموذج الجديد دقة تنبؤات احتمالية الفوز، خاصة عندما كانت البيانات المتاحة قليلة (كما في التنس، حيث لا يلعب اللاعبون ضد بعضهم البعض كثيراً). كما حسن أيضاً درجة "تاو كيندال" (Kendall's Tau)، وهي مقياسية لمدى مطابقة ترتيب النموذج للنتائج الفعلية.

الخلاصة

تشير هذه الورقة إلى أننا لسنا بحاجة لإجبار بياناتنا على الدخول في صناديق رياضية جاهزة. فمن خلال ترك البيانات تملي شكل العلاقة بين القوة والفوز، يمكننا بناء نماذج أكثر مرونة ودقة. نموذج برادلي-تيري المتوافق لا يخمن المنحنى فحسب، بل يتعلمه. وبينما يتطلب خطوات حسابية أكثر (التناوب بين تحديث الدرجات وتحديث المنحنى)، فإن العائد هو نظام يتعامل مع بيانات العالم الحقيقي الفوضوية بشكل أفضل ويعرف متى يقول: "لا يمكنني تحديد من الأفضل"، بدلاً من تقديم تخمين مهتز. وتخلص المؤلفة إلى أن هذا النهج يعد خطوة واعدة للأمام لتحليل كل شيء، من مباريات الرياضة إلى تفضيلات الاستطلاع.