Isotonic Bradley-Terry Model for Paired Comparison Data

कल्पना कीजिए कि आप एक खेल प्रेमी हैं जो यह पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि दुनिया का सर्वश्रेष्ठ खिलाड़ी कौन है। आपके पास गेम के परिणामों की एक विशाल सूची है: किसने किसे हराया, किसने बराबरी की, और कौन हारा। लेकिन पेचीदा बात यह है कि आप केवल जीत की संख्या को नहीं देख सकते। एक खिलाड़ी ने एक कमजोर प्रतिद्वंद्वी को दस बार हराया हो सकता है, लेकिन एक मजबूत खिलाड़ी से हार गया हो सकता है। इस बात को समझने के लिए, वैज्ञानिक ब्रैडली-टेरी मॉडल (Bradley-Terry model) नामक एक गणितीय उपकरण का उपयोग करते हैं। इस मॉडल को एक "स्ट्रेंथ कैलकुलेटर" (शक्ति कैलकुलेटर) के रूप में सोचें। यह प्रत्येक खिलाड़ी को एक छिपा हुआ नंबर (एक "स्ट्रेंथ स्कोर") प्रदान करता है। यदि खिलाड़ी A का स्कोर खिलाड़ी B से अधिक है, तो मॉडल भविष्यवाणी करता है कि A जीतेगा। इन दोनों के स्कोर के बीच के अंतर को वास्तविक जीत की संभावना (जैसे "A के जीतने की 60% संभावना") में बदलने के लिए, मॉडल एक विशिष्ट आकार, या "वक्र" (curve) का उपयोग करता है जिसे इनवर्स लिंक फंक्शन (inverse link function) कहा जाता है।

दशकों से, शोधकर्ताओं को यह अनुमान लगाना पड़ता था कि सही वक्र का आकार क्या है। वे एक मानक आकार चुनते हैं—जैसे एक चिकना S-आकार (लॉजिस्टिक्स) या एक बेल-कर्व आकार (गौसियन)—और उसी के साथ चिपके रहते हैं, इस उम्मीद में कि यह डेटा के साथ फिट हो जाएगा। समस्या यह है कि वास्तविक जीवन अव्यवस्थित होता है। कभी-कभी डेटा पूर्व-निर्धारित वक्र में पूरी तरह से फिट नहीं बैठता है, जिससे भविष्यवाणियां गलत हो जाती हैं। यह शोध पत्र एक सरल लेकिन साहसी प्रश्न पूछता है: क्या होगा यदि हम डेटा को पहले से बने वक्र में जबरदंत न डालें? क्या होगा यदि हम डेटा को खुद बताए कि वक्र का आकार क्या होना चाहिए? लेखक एक नया तरीका प्रस्तावित करते हैं जो परिणामों से सीधे वक्र के आकार को सीखता है, न कि पहले से अनुमान लगाता है।

समस्या: "एक ही आकार सबके लिए" वाला जाल

पेयर्ड कंपेरिजन (जोड़ीदार तुलना) की दुनिया में—चाहे वह शतरंज के ग्रैंडमास्टर हों, टेनिस पेशेवर हों, या सॉकर टीमें—हम अक्सर दो चीजें करना चाहते हैं: उन दो खिलाड़ियों के बीच जीत की संभावना की भविष्यवाणी करना जिन्होंने अभी तक एक-दूसरे के साथ नहीं खेला है, और सभी को सबसे मजबूत से सबसे कमजोर के क्रम में रैंक करना। इसे करने का पारंपरिक तरीका ब्रैडली-टेरी मॉडल है।

मॉडल को दो भागों वाली एक मशीन के रूप में कल्पना करें। पहला भाग प्रत्येक खिलाड़ी के लिए एक "स्ट्रेंथ स्कोर" सीखता है। दूसरा भाग दो खिलाड़ियों के स्कोर के अंतर को लेता है और उसे एक निश्चित "फिल्टर" (इनवर्स लिंक फंक्शन) से गुजारता है ताकि जीत की संभावना निकाली जा सके। वर्षों से, वैज्ञानिकों को यह फिल्टर पहले से चुनना पड़ता था। वे कह सकते थे, "आइए लॉजिस्टिक फिल्टर का उपयोग करें," या "आइए गौसियन फिल्टर का उपयोग करें।"

इस शोध पत्र का लेखक इस दृष्टिकोण में एक दोष बताता है: मॉडल मिसस्पेसिफिकेशन (model misspecification)। यह एक चौकोर टुकड़े को गोल छेद में फिट करने की कोशिश करने जैसा है। यदि वास्तविक दुनिया एक टेढ़ी-मेढ़ी, सीढ़ीदार फंक्शन की तरह व्यवहार करती है, लेकिन आप उसे एक चिकने S-वक्र के माध्यम से जबरदस्ती फिट करते हैं, तो आपकी भविष्यवाणियां गलत होंगी। पेपर का तर्क है कि डेटा देखने से पहले एक विशिष्ट वक्र आकार को लॉक कर देने से, हम मूल्यवान जानकारी को खो सकते हैं।

समाधान: "शेप-शिफ्टिंग" मॉडल

इसे ठीक करने के लिए, लेखक आइसोटोनिक ब्रैडली-टेरी मॉडल (Isotonic Bradley-Terry Model) पेश करते हैं। एक निश्चित वक्र चुनने के बजाय, वे डेटा को अपना वक्र, टुकड़ों में, खुद बनाने देते हैं।

यह कैसे काम करता है, एक मनोरंजक उपमा का उपयोग करते हुए: कल्पना कीजिए कि आप कुछ बिखरी हुई मौसम रिपोर्टों के आधार पर एक पहाड़ी इलाके का नक्शा बनाने की कोशिश कर रहे हैं।

1. पुराना तरीका: आप पहले से तय कर लेते हैं कि भूभाग को एक आदर्श, चिकने पैराबोला (परवलय) जैसा होना चाहिए। आप रिपोर्टों के अनुसार अपने पहाड़ की ऊंचाई को समायोजित करते हैं, लेकिन यदि रिपोर्ट अचानक एक खड़ी ढलान दिखाती है, तो आपका चिकना पैराबोला उसे पकड़ नहीं पाता।
2. नया तरीका (आइसोटोनिक मॉडल): आप आकार का अनुमान नहीं लगाते। इसके बजाय, आप रिपोर्ट देखते हैं और एक "कनेक्ट-द-डॉट्स" रेखा खींचते हैं जो कम स्कोर से उच्च स्कोर की ओर बढ़ते हुए सख्ती से ऊपर की ओर (या स्थिर) जाती है। इसे आइसोटोनिक रिग्रेशन (isotic regression) कहा जाता है। यह एक "नॉन-पैरामीट्रिक" दृष्टिकोण है, जिसका अर्थ है कि यह किसी विशिष्ट सूत्र का अनुमान नहीं लगाता; यह बस डेटा के रुझान का पालन करता है।

लेखक मॉडल के दो भागों के बीच एक चतुर नृत्य का प्रस्ताव करते हैं:

1. पहले, वे एक मानक वक्र का उपयोग करके खिलाड़ियों के स्ट्रेंथ स्कोर का अनुमान लगाते हैं।
2. फिर, वे वास्तविक गेम परिणामों को देखते हैं और वक्र (द "फिल्टर") को उन परिणामों के अनुसार फिर से खींचते हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि यह कभी पीछे की ओर न जाए (मोनोटोनिसिटी)।
3. फिर, वे इस नए, कस्टम-आकार के वक्र का उपयोग करके खिलाड़ियों के स्ट्रेंथ स्कोर की पुन: गणना करते हैं।
4. वे इस प्रक्रिया को दोहराते हैं, स्कोर और वक्र के आकार को बारी-बारी से अपडेट करते हैं, जब तक कि मॉडल में सुधार होना बंद न हो जाए।

उन्होंने क्या पाया: बेहतर भविष्यवाणियां और ईमानदार बराबरी

लेखक ने इस नए तरीके का परीक्षण दो प्रकार के डेटा का उपयोग करके किया: सिंथेटिक डेटा (कंप्यूटर द्वारा उत्पन्न खेल जहाँ उन्हें "वास्तविक" उत्तर पता था) और वास्तविक दुनिया का डेटा जैसे कि 2024/2025 फुटबॉल प्रीमियर लीग, 2025 MLB बेसबॉल सीजन, और 2025 ATP टेनिस टूर।

अपने कंप्यूटर सिमुलेशन में, उन्होंने ऐसे परिदृश्य बनाए जहाँ स्ट्रेंथ और जीत के बीच का "वास्तविक" संबंध अजीब था और मानक वक्रों से मेल नहीं खाता था। उन मामलों में, पारंपरिक मॉडल संघर्ष करता रहा, लेकिन आइसोटोनिक ब्रैडली-टेरी मॉडल काफी बेहतर प्रदर्शन करता रहा। इसने डेटा के अजीब आकार को सीखा और अधिक सटीक जीत की भविष्यवाणियां कीं।

इससे भी दिलचस्प बात यह है कि नया मॉडल यह स्वीकार करने में बेहतर है कि वह उत्तर नहीं जानता। पारंपरिक मॉडल में, यदि दो खिलाड़ियों के स्कोर समान हैं, तो मॉडल अभी भी एक सूक्ष्म अंतर पैदा कर सकता है और कह सकता है कि "खिलाड़ी A के जीतने की 51% संभावना है।" हालांकि, आइसोटोनिक मॉडल अधिक संभावना के साथ यह कह सकता है, "ये दोनों प्रभावी रूप से बराबरी पर हैं," जिसके परिणामस्वरूप 50% जीत की संभावना होती है। लेखक ने पाया कि यह "बराबरी" वाला व्यवहार वास्तव में एक विशेषता है, कोई त्रुटि नहीं। जब दो खिलाड़ियों के बीच अंतर करने के लिए पर्याप्त डेटा नहीं होता है, तो मॉडल सही ढंग से एक सख्त रैंकिंग बनाने से इनकार करता है, जिससे अधिक ईमानदार और स्थिर समग्र रैंकिंग प्राप्त होती है।

वास्तविक दुनिया के खेल डेटा में भी परिणाम समान थे। नए मॉडल ने जीत की संभावना की भविष्यवाणियों की सटीकता में सुधार किया, विशेष रूप से जब डेटा कम उपलब्ध था (जैसे टेनिस में, जहाँ खिलाड़ी एक-दूसरे के साथ बहुत कम खेलते हैं)। इसने केंडल्स टॉ (Kendall's Tau) स्कोर में भी सुधार किया, जो यह मापता है कि मॉडल की रैंकिंग वास्तविक परिणामों से कितनी अच्छी तरह मेल खाती है।

निष्कर्ष

यह शोध पत्र सुझाव देता है कि हमें अपने डेटा को पहले से बने गणितीय बक्सों में डालने की आवश्यकता नहीं है। डेटा को स्ट्रेंथ और जीत के बीच के संबंध के आकार को निर्धारित करने देकर, हम ऐसे मॉडल बना सकते हैं जो अधिक लचीले और सटीक हों। आइसोटोनिक ब्रैडली-टेरी मॉडल केवल वक्र का अनुमान नहीं लगाता; यह इसे सीखता है। हालांकि इसमें अधिक कम्प्यूटेशनल चरणों (स्कोर और वक्र को बारी-बारी से अपडेट करने) की आवश्यकता होती है, लेकिन इसका प्रतिफल एक ऐसी प्रणाली है जो अव्यवस्थित, वास्तविक दुनिया के डेटा को बेहतर ढंग से संभालती है और जानती है कि कब कहना है, "मैं नहीं बता सकता कि कौन बेहतर है," बजाय इसके कि वह एक कमजोर अनुमान लगाए। लेखक का निष्कर्ष है कि यह दृष्टिकोण खेलों के मैचों से लेकर सर्वेक्षण प्राथमिकताओं तक सब कुछ विश्लेषण करने के लिए एक आशाजनक कदम है।