تخيل أنك تحاول رسم جدارية على سطح لا يتصرف مثل الجدار المسطح أو الكرة المستديرة. في عالمنا اليومي، إذا أردت رسم لوحة ضخمة، فعادة ما تقوم بمد لوحة قماشية لتصبح مسطحة أو تلفها حول كرة. لكن علماء الرياضيات لطالما فتنوا بسطح غريب ولانهائي يسمى المستوى الزائدي (hyperbolic plane). فكر في الأمر كقطعة من القماش تزداد اتساعاً وتوسعاً كلما ابتعدت عن المركز، حيث تتمدد بسرعة تجعل المساحة المتاحة تنمو بشكل أسي. إنه نوع من الهندسة الذي يجعل رسومات "دائرة الحد" (Circle Limit) الشهيرة لإيشر ممكنة، حيث تصبح الأسماك أصغر فأصغر وهي تسبح نحو الحافة، ومع ذلك لا ينتهي النمط أبداً.

لفترة طويلة، لم تتمكن الحواسيب إلا من إنشاء صور على شاشات مسطحة أو كرات. ولكن ماذا لو أردنا إنشاء عالم كامل يعيش مباشرة على هذا السطح الغريب والمتوسع؟ هذا هو تحدي نماذج الانتشار (diffusion models)، وهي نوع من الذكاء الاصطعي الذي ينشئ الصور عن طريق تحويل الضجيج العشوائي ببطء إلى صور واضحة. عادةً، تعمل هذه النماذج عن طريق تقسيم الصورة الكبيرة إلى مربعات صغيرة متداخلة، وإصلاح كل مربع، ثم دمجها معاً. المشكلة هي أنه عندما تحاول القيام بذلك على مستوى زائدي، فإن "المربعات" تتعرض للتمطط والتشوه بطرق جنونية، وغالباً ما تتحول الحواف حيث تلتقي إلى فوضى ضبابية. إذا حاولت التجول في هذا العالم الرقمي، ستسوء حالة الضبابية أكثر فأكثر، وتتكسر الأنماط.

يقدم هذا البحث طريقة جديدة تسمى HyperbolicDiffusion تحل هذه المشكلات دون الحاجة إلى إعادة تدريب الذكاء الاصطناعي. فقد وجد الباحث طريقة ذكية لوضع "نوافذ الرسم" الخاصة بها بحيث تغطي السطح اللانهائي بكفاءة، كما بنى عملية من خطوتين لإصلاح الحواف الضبابية حيث تلتقي النوافذ. والنتيجة هي عالم زائدي حاد، متسق، وقابل للاستكشاف بلا نهاية، يبدو جيداً تماماً من أي زاوية، مثل نسخة رقمية من فن إيشر المستحيل الذي يمكنك الخطو بداخله بالفعل.

المشكلة: الأرضية المتوسعة والحواف الضبابية

لفهم سبب صعوبة ذلك، تخيل أنك تقوم بتبليط أرضية تتوسع باستمرار. في غرفة عادية، تقوم ببساطة بوضع بلاطات مربعة. ولكن في المستوى الزائدي، تصبح الأرضية أكبر بسرعة كبيرة لدرجة أنك إذا أردت تغطية مساحة واسعة، فستحتاج إلى عدد هائل من البلاطات بشكل أسي. إذا حاولت استخدام تخطيط قياسي، فإما أن تهدر الملايين من البلاطات أو تترك فجوات ضخمة.

والأسوأ من ذلك، عندما تحاول دمج الصور من هذه البلاطات معاً، تقاومك الهندسة. نظرًا لأن السطح منحني، فإن "المربع" يبدو مختلفاً اعتماداً على مكانه واتجاهه. عندما تحاول خمس نوافذ مختلفة رسم نفس البقعة على الأرض، فإنها جميعاً ترى المنطقة المحيطة بها بشكل مختلف قليلاً. إذا قمت بمجرد دمج توقعاتها معاً، فستكون النتيجة ضبابية شبحية حيث لا تتطابق الحواف. حاولت المحاولات السابقة القيام بذلك على الكرات (مثل الأرض)، وكانت تعاني من مشكلات مماثلة، ولكن في المستوى الزائدي، تكون المشكلة أصوى لأن المساحة تنمو بسرعة فائقة.

الحل: نظام تبليد ذكي وعملية إصلاح من خطوتين

وجد مؤلف هذا البحث، الذي يعمل في "Obvious Research" في باريس، حلاً لا يتطلب تعليم ذكاء اصطناعي جديد من الصفر. بدلاً من ذلك، بنى نظاماً ذكياً لإدارة كيفية رسم الذكاء الاصطناعي للعالم الزائدي. تعمل طريقتهم، HyperbolicDiffusion، عبر ثلاثة أجزاء.

1. التبليد الذكي (التغطية بالازدهار الزائدي - Hyperbolic Blooming Cover)
أولاً، احتاجوا إلى طريقة لوضع "النوافذ" (المربعات التي ينظر إليها الذكاء الاصطناعي) بحيث تغطي المنطقة بأكملها دون إهدار الموارد. اخترعوا طريقة تسمى Hyperbolic Blooming Cover (HBC). تخيل زراعة الزهور في حديقة تستمر في الكبر؛ بدلاً من زراعتها عشوائياً أو في شبكة صلبة، تقوم HBC بزراعتها في حلقات مثالية تنمو نحو الخارج. إنها تستخدم خدعة رياضية ذكية (البرمجة الديناميكية) لتحديد عدد الزهور المطلوبة بالضبط في كل حلقة لتغطية الأرض بشكل مثالي.

تظهر الورقة البحثية أن هذه الطريقة فعالة للغاية. يمكنها تخطيط توزيع يضم أكثر من 11 مليون نافذة في غض- 5.44 ثانية فقط. والأهم من ذلك، أثبتوا أنه بالنسبة للمساحات التي اختبروها، فإن تخطيطهم لا يبعد أكثر من 10% عن الترتيب الأمثل الممكن مطلقاً. وهذا يعني أنهم لا يهدرون آلاف النوافذ الإضافية لمجرد الأمان؛ بل يستخدمون تقريباً الحد الأدنى المطلوب.

2. اللوحة المشتركة (المرحلة أ - Stage A)
بمجرد وضع النوافذ، يبدأ الذكاء الاصطناعي في الرسم. المفتاح هنا هو أن كل نقطة على السطح الزائدي لها معرف (ID) دائم، مثل عنوان فريد. حتى لو ظهرت النقطة في خمس نوافذ مختلفة، فإنها تظل دائماً نفس "العنوان". ينظر الذكاء الاصطناعي إلى النوافذ المتداخلة، ويضع تخميناً لما يجب أن تبدو عليه الصورة لكل منها، ثم يدمج تلك التخمينات بناءً على مدى ثقته في كل نافذة. هذا يخلق صورة واحدة موحدة على السطح الزائدي.

ومع ذلك، وجد المؤلف أن هذه الخطوة الأولى ليست مثالية. نظرًا لأن النوافذ مشوهة بشكل مختلف، فإن الذكاء الاصطناعي يرسم أحياناً نسخاً مختلفة قليلاً من نفس التفاصيل في المناطق المتداخلة. هذا يخلق تأثيراً "شبحياً" حيث تبدو الحواف ضبابية أو مزدوجة، خاصة في المشاهد المعقدة مثل المباني أو الغابات.

3. فريق الإصلاح (المرحلة ب - Stage B)
هنا يحدث الجزء السحري الثاني. لقد أدركوا أنه يمكنهم التنبؤ بمكان حدوث الضبابية بدقة بمجرد النظر إلى الهندسة، دون الحاجة حتى لرؤية الصورة أولاً. قاموا بحساب "قناع التعددية" (multiplicity mask) — وهو خريطة توضح أين تتصارع عدة نوافذ على نفس البقعة.

حيث تظهر هذه الخريطة صراعاً (حيث تساهم نافذتان أو أكثر بالتساوي)، يقومون بتشغيل مرحلة ثانية من الإصلاح. يأخذون تلك البقع الضبابية المحددة، ويضيفون القليل من الضجيج إليها مجدداً (مثل هز مرطبان من الرمل)، ويطلبون من الذكاء الاصطناعي إعادة رسمها مرة أخرى، مع التركيز هذه المرة فقط على جعل الحواف حادة ومتسقة. خطوة "إعادة الضجيج" هذه تعالج التأثير الشبحي وتجعل التفاصيل واضحة.

ما وجدوه وما يعنيه ذلك

اختبر الباحث طريقته على كل شيء، من الأنسجة البسيطة مثل السحب إلى المشاهد المعقدة مثل الغرف الداخلية واللوحات الجدارية المعمارية. ووجدوا أن:

• التبليد يعمل: نجحت طريقة HBC في تغطية مساحات بنصف قطر يصل إلى 12 (مقياس ضخم في المصطلحات الزائدية) باستخدام عدد النوافذ المتوقع، وكان التخطيط دائماً سريعاً (أقل من 6 ثوانٍ حتى لأكبر التوزيعات).
• الضبابية اختفت: في اختباراتهم، أدت مرحلة الإصلاح الثانية إلى زيادة حدة الحواف بشكل كبير. فقد قاسوا "مقدار التدرج" (طريقة لقياس حدة الحواف) ووجدوا أنه تحسن بمتوسط 15%، و"مقدار لابلاس" (مقياس حدة آخر) تحسن بنسبة 17%.
• إنها ليست مجرد صورة مسطحة: على عكس الطرق الأخرى التي تنشئ صورة مسطحة ثم تشوهها لتصبح دائرة، تقوم هذه الطريقة بإنشاء الصورة مباشرة على السطح الزائدي. وهذا يعني أنه يمكنك تحريك "كاميرا" حول العالم، وستظل الصورة حادة ومتسقة. النمط الذي يبدو صغيراً عند الحافة سيظهر كبيراً في المركز، لكنه لن يصبح ضبابياً أو يتفكك.

تستبعد الورقة البحثية صراحةً فكرة أن عملية المرحلة الواحدة (الرسم مرة واحدة والدمج فقط) كافية للمحتوى المعقد والهيكلي. لقد جربوا عدة تنويعات للمرحلة الواحدة، مثل استخدام نوافذ أكثر كثافة أو تغيير ملكية الدمج، لكن لم تنجح أي منها في إزالة الضبابية دون فقدان التفاصيل. كان نهج المرحلتين هو الوحيد الذي نجح.

كما أظهروا أن هذه الطريقة يمكن تكييفها مع الكرات (مثل الأرض) وتتفوق على الطرق السابقة هناك أيضاً، مما يشير إلى أن فكرة الإصلاح القائم على الهندسة هي فكرة قوية.

لماذا يهم هذا الأمر

يفتح هذا العمل الباب أمام إنشاء "جداريات زائديّة قابلة للتنقل" وعوالم ألعاب غير إقليدية. تخيل لعبة فيديو حيث يمكنك السير في ممر يزداد اتساعاً كلما تقدمت فيه، أو تجربة واقع افتراضي حيث يمكنك استكشاف كاتدرائية تتوسع للأبد. نظرًا لأن الصورة يتم إنشاؤها مباشرة على السطح المنحني، يمكنك تحريك وجهة نظرك، وسيبقى العالم حاداً ومتماسكاً. إنها خطوة نحو فن توليدي يفهم حقاً الهندسة الغريبة والجميلة للمستوى الزائدي، محولةً فضولاً رياضياً إلى ساحة للإبداع الرقمي.