في الزوايا الهادئة من الفيزياء، حيث يدرس العلماء كيفية سلوك الجسيمات معاً في مجموعات هائلة، ظهرت أداة قوية لجعل المستحيل منطقياً. هذه الأداة، المعروفة باسم "شبكة الموتر" (tensor network)، صُممت في الأصل لمحاكاة الرقص المعقد للجسيمات الكمومية، مما يساعد الباحثين على فهم كيفية استقرار المادة في أكثر حالاتها استقراراً. فكر في الأمر كوسيلة لوصف نظام ضخم ومعقد باستخدام مجموعة مدروسة من وحدات البناء، بدلاً من محاولة تخزين كل تفصيل صغير في ذاكرة الحاسوب. ومؤخراً، بدأ العلماء في استعارة هذه الأفكار لتعلم الآلة، آملين في تعليم الحواسيب التعرف على الأنماط باستخدام نفس المنطق الفعال الذي يحكم العالم الكمومي. والهدف هو إنشاء أنظمة تعلم ليست قوية فحسب، بل قادرة أيضاً على العمل على الحواسيب الكمومية المستقبلية، التي تعمل وفق مبادئ تختلف عن الأجهزة التي نستخدمها اليوم. ومع ذلك، يوجد عائق كبير: فالأنظمة الكمومية لديها قاعدة صارمة تقضي بأن إجمالي الاحتمالية لجميع النتائج الممكنة يجب أن يساوي دائماً واحداً، وهو شرط غالباً ما تتجاهله طرق التعلم القياسية.
لقد سعى فريق من الباحثين لسد هذه الفجوة عبر تطويع تقنية تحسين محددة تُعرف باسم "مجموعة إعادة التطبيع لمصفوفة الكثافة" (DMRG)، لاستخدامها في تعلم الآلة. هذه الطريقة، التي تعد ركيزة أساسية في الفيزياء الكمومية منذ زمن طويل، معروفة بقدرتها على إيجاد أفضل تكوين ممكن للنظام من خلال ضبط أجزائه واحداً تلو الآخر. طبق الباحثون هذا النهج على بنية شبكة عصبية تعتمد على "حالات ضرب المصفوفات" (matrix product states)، وهي نوع من شبكات الموتر التي ترتب البيانات في هيكل يشبه السلسلة. كان ابتكارهم الأساسي هو فرض قاعدة التطبيع الصارمة لميكانيكا الكم مباشرة في عملية التعلم. وهذا يعني أنه بينما يقوم الحاسوب بضبط معلماته الداخلية للتعلم من البيانات، فإنه يُجبر على إبقاء التمثيل الرياضي للنظام متوازناً تماماً، تماماً كما تقتضي الطبيعة. وقد اختبروا طريقتين مختلفتين لتحقيق ذلك: طريقة قياسية تقوم بضبط النظام خطوة بخطوة باستخدام التدرجات، ونسختهم المعدلة الجديدة من خوارزمية DMRG، التي تستخدم اختصاراً رياضياً أكثر تطوراً لإيجاد الحل الأمثل.
ولرؤية ما إذا كانت أفكارهم قد نجحت، قام الفريق بتدريب هذه الأنظمة على التعرف على الأرقام المكتوبة بخط اليد من مجموعة بيانات MNIST الشهيرة، وهي معيار قياسي تتعلم فيه الحواسيب تحديد الأرقام من صفر إلى تسعة. استخدموا مجموعة فرعية مكونة من 5,000 صورة، مع تغيير حجمها إلى شبكة صغيرة مكونة من 49 بكسلاً، وقسموها إلى مجموعات تدريب واختبار. كشفت النتائج عن اختلاف جوهري في كيفية سلوك الأنظمة تحت القيود الكمومية. فعندما استخدموا طريقة تحسين قياسية دون فرض قيد التطبيع، حقق النظام دقة اختبار بلغت 94.7 بالمائة. ومع ذلك، فإن الحالة الرياضية الداخلية للنظام نمت وأصبحت غير متوازنة لدرجة أنها لم تعد تمثل حالة كمومية صالحة. وتشير الورقة البحثية إلى أن معيار هذه الحالة كان حوالي 3.9 مليون. وعندما أجبر الباحثون هذه الحالة غير المتوازنة على الامتثال للقواعد عبر التطبيع، أصبحت التداخلات في دالة الخسارة ضئيلة للغاية، مما أدى إلى خسارة تافهة قدرها 0.5 تقريباً. ويشير هذا إلى أنه رغم تحقيق الطريقة غير المقيدة لمقاييس دقة عالية، إلا أن النموذج الناتج ليس حالة كمومية صالحة ولا يمكن تشغيله مباشرة على الأجهزة الكمومية دون فقدان خصائصه المتعلمة.
في المقابل، تصرفت الطرق التي فرضت شرط التطبيع منذ البداية بشكل مختلف. فقد أنتج كل من "الاشتقاق المتدرج المُنظم" ونهج DMRG المعدل أنظمة تحترم القواعد الكمومية، لكنها لم تحقق نفس الدقة العالية التي حققتها الطريقة غير المقيدة. فقد وصل كل من الاشتقاق المتدرج المُنظم وDMRG المعدل إلى دقة اختبار تبلغ حوالي 73 بالمائة، مع قيمة خسارة تحوم حول 0.36. ورغم أن هذه الأرقام أقل من الطريقة غير المقيدة، إلا أنها تمثل عملية تعلم حقيقية ومستقرة يمكنها العمل فعلياً على حاسوب كمومي. ووجد الباحثون أن خوارزمية DMRG المعدلة، التي تستخدم تقنية ضغط رياضية محددة لحل مشكلة التحسين، أدت أداءً يكاد يكون متطابقاً مع الاشتقاق المتدرد المُنظم، مما أكد أن الاختصار المستوحى من الكم هو بديل قابل للتطبيق.
تخلص الدراسة إلى أنه بينما يجعل فرض القواعد الكمومية على النظام أقل قوة في شكله الحالي مقارنة بالطرق الكلاسيكية القياسية، إلا أنه خطوة ضرورية للمستقبل. فالدقة العالية التي حققتها الطريقة غير المقيدة جاءت عبر تجاهل القوانين الأساسية لعالم الكم، مما نتج عنه نموذج لا يمثل حالة كمومية صالحة. ومن خلال قبول دقة أقل الآن، وضع الباحثون أساساً سليماً رياضياً وجاهزاً للأجهزة الكمومية. وهم يقرون بأن هناك حاجة لمزيد من العمل لتحسين الأداء وتطوير طرق أكثر تعقيداً للتعامل مع هذه القيود، لكن المسار واضح: لكي تنقل تعلم الآلة إلى الحواسيب الكمومية، يجب على الخوارزميات أولاً أن تتعلم احترام القواعد الصارمة للمجال الكمومي.
ملخص تقني: تعلم شبكات الموتر الكمومية باستخدام خوارزمية DMRG
بيان المشكلة برزت شبكات الموتر (TN)، وتحديداً حالات ضرب المصفوفات (MPS)، كبنية واعدة للتعلم الآلي مستوحاة من فيزياء الأجسام المتعددة الكمومية. وبينما تعتمد نُهج شبكات الموتر القياسية غالباً على نزول التدرج (gradient descent) للتحسين، إلا أنها تفتقر في كثير من الأحيان إلى شروط التطبيع (normalization) الصارمة المطلوبة للحالات الكمومية الفيزيائية. في ميكانيكا الكم، يفرض حفظ الاحتمالية ضرورة تطبيع الحالات والقنوات الكمومية. تعالج هذه الورقة تحدي تكييف التعلم الآلي القائم على شبكات الموتر ليلبي قيود التطبيع هذه، مما يسمح بالنشر المباشر لهذه النماذج على الحواسيب الكمومية. وقد حدد المؤلفون فجوة في نقل تقنيات التحسين المحلي، وتحديداً خوارزمية مجموعة إعادة تطبيع مصفوفة الكثافة (DMRG) وطريقة لانزوس (Lanczos) الكامنة وراءها، إلى سياق التعلم الآلي الكمومي المطبّع.
المنهجية يقترح المؤلفون إطار عمل حيث يتم تقييد نموذج (MPS ansatz) لإنتاج متجه مطبّع عند إجراء عملية الالتفاف (contraction)، مما يمثله فعلياً كحالة كمومية. ويتمثل جوهر نهجهم في تعديل خوارزميات التحسين القياسية لاحترام قيد الوحدة المعيارية (⟨Ψ∣Ψ⟩=1).
دالة الخسارة والقيود: يعرف المؤلفون دالة خسارة متوسط مربع الخطأ L لمهام التصنيف. وخلافاً للتحسين غير المقيد حيث قد تكون القيمة المثلى هي A−1∣b⟩، فإن قيد التطبيع يتطلب أن تقع الحلول على كرة الوحدة في فضاء هيلبرت. تمت صياغة دالة الخسارة كالتالي: L=21+2N1i=1∑N[⟨Ψ∣(∣di⟩⟨di∣D⊗1B)∣Ψ⟩−2Re(⟨Ψ∣DB(∣di⟩D⊗∣li⟩B))] حيث يمثل ∣di⟩ بيانات المدخلات ويمثل ∣li⟩ الملصقات (labels).
نزول التدرج مع التطبيع: قام المؤلفون بتكييف خوارزمية نزول التدرج للتعامل مع قيد التطبيع. وبدلاً من التحديث البسيط، استخدموا نهج نزول التدرج المسقط (projected gradient descent). بعد حساب خطوة التدرج ∣n⟩=∣Ψ⟩−α∣g⟩، يتم إعادة تطبيع الحالة: ∣Ψ′⟩=∣n⟩/⟨n∣n⟩. ولتحسين الكفاءة، اشتقوا شرطاً لحجم الخطوة الأمثل α عبر جعل مشتقة الخسارة بالنسبة لـ α مساوية للصفر، وحلوا لـ α باستخدام تكرارات نيوتن (Newton iterations).
خوارزمية DMRG المعدلة: إدراكاً منهم أن طرق الفضاء الجزئي كريلوف (Krylov subspace methods) - مثل DMRG - هي عادة أكثر فعالية من مجرد نزول التدرج البسيط، طور المؤلفون خوارزمية DMRG معدلة. تقوم خوارزمية DMRG القياسية بتقليل قيمة توقع الطاقة ولكنها لا تأخذ في الاعتبار بطبيعتها الحد الخطي في دالة خسارة التعلم الآلي (المعادلة 3).
خطوة ما بعد المعالجة: بعد أن تقوم خوارزمية لانزوس بضغط الهاملتوني الفعال المحلي As إلى شكل ثلاثي القطري As′، أدخل المؤلفون خطوة ما بعد المعالجة. حيث يقومون بحل قيمة عامل القياس x بحيث يكون تدرج الحالة المطبّعة متعامداً مع كرة الوحدة.
الحل التحليلي: من خلال تفكيك المشكلة إلى القاعدة الذاتية للمصفوفة المضغوطة، اشتقوا معادلة لـ x (المعادلة 6) تضمن استيفاء قيد التطبيع. وقد أثبتوا وجود حد أدنى عالمي فريد لـ x<0 وحلوا له باستخدام تكرار نيوتن، مع البدء بعناية لضمان التقارب.
المساهمات الرئيسية
شرط التطبيع: إدخال شرط تطبيع عالمي على نموذج (MPS ansatz)، مما يضمن إمكانية رسم المتجه الناتج كحالة كمومية صالحة.
التكيف الخوارزمي: تعديل كل من نزول التدرج وخوارزمية DMRG/لانزوس للعمل تحت قيد التطبيع هذا.
التحليل المقارن: إجراء مقارنة مباشرة بين نزول التدرج المترافق القياسي، ونزول التدرج المطبّع، ومنهج DMRG المقترح.
النتائج التجريبية تم التحقق من صحة الطرق باستخدام مجموعة بيانات MNIST فرعية (5,000 صورة، أعيد تحجيمها إلى 7×7)، منها 4,000 للتدريب و1,000 للاختبار. تم تحسين النماذج عبر ثلاث عمليات مسح كاملة لموقعين (two-site sweeps) بحد أقصى لأبعاد الربط (bond dimension) قدره 20.
الأداء: حقق نزول التدرج المترافق القياسي أعلى دقة (دقة اختبار 94.70%) وأقل خسارة (0.08680). ومع ذلك، كان معيار (norm) الـ MPS الناتج ≈3.9×106. وعند تطبيعه لاحقاً، أدى ذلك إلى تلاشي التداخلات (vanishing overlaps) وخسارة تافهة قدرها ≈0.5، مما جعل النموذج غير فعال للنشر الكمومي.
الطرق المطبّعة: حققت كل من طريقة نزول التدرج المطبّع وطريقة لانزوس المعدلة (DMRG) خسائر تدريب واختبار متطابقة (≈0.36) ودقة متساوية (≈73%).
الملاحظة: أثر إدخال شرط التطبيع بشكل كبير على النتائج، مما قلل الدقة مقارنة بطريقة التدرج المترافق غير المقيدة، ولكنه ضمن بقاء النموذج صالحاً فيزيائياً (مطبّعاً).
الأهمية والادعاءات تزعم الورقة أن تنفيذ شروط التطبيع هو خطوة ضرورية لجعل خوارزميات شبكات الموتر مناسبة للنشر على الحواسيب الكمومية. ويضع المؤلفون هذا العمل كخطوة نحو تكييف طرق شبكات الموتر لتكون أكثر كفاءة في التعلم الآلي الكمومي.
ومع ذلك، يتسم المؤلفون بالتواضع فيما يتعلق بالأداء الحالي؛ حيث ذكروا صراحة أن نتائج هذه الطرق المطبّعة "تحتاج إلى زيادة لتكون منافسة للخوارزميات المعاصرة الأخرى". كما أقروا بأن تحقيق التكافؤ مع طرق شبكات الموتر الكلاسيكية (التي لا تفرض التطبيع بنفس الطريقة الصارمة) لم يتحقق بعد. وتخلص الورقة إلى أن المزيد من البحث مطلوب، بما في ذلك دراسة شروط التطبيع الأكثر تعقيداً (مثل تلك الخاصة بالقنوات الكمومية) وتحسين طرق التقييم، لإحضار التعلم الآلي إلى الحواسيب الكمومية بشكل فعال.