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Quantum Tensor Network Learning with DMRG

यह शोध पत्र मैट्रिक्स प्रोडक्ट स्टेट्स (Matrix Product States) को मशीन लर्निंग के लिए क्वांटम अवस्थाओं के रूप में रूपरेखा देने हेतु एक वैश्विक सामान्यीकरण स्थिति (global normalization condition) प्रस्तुत करता है और परिणामी टेंसर नेटवर्क को अनुकूलित करने के लिए ग्रेडिएंट डिसेंट (gradient descent) बनाम एक अनुकूलित डेंसिटी मैट्रिक्स रे normalcy ग्रुप (DMRG) एल्गोरिदम की प्रभावशीलता की तुलना करता है।

मूल लेखक: Gustav J L Jäger, Martin B Plenio, Hans-Martin Rieser

प्रकाशित 2026-08-20

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Gustav J L Jäger, Martin B Plenio, Hans-Martin Rieser

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

भौतिकी के उन शांत कोनों में जहाँ वैज्ञानिक इस बात का अध्ययन करते हैं कि कण विशाल समूहों में एक साथ कैसे व्यवहार करते हैं, असंभव को समझने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण उभरा है। यह उपकरण, जिसे टेंसर नेटवर्क (tensor network) के रूप में जाना जाता है, मूल रूप से क्वांटम कणों के जटिल नृत्य का अनुकरण करने के लिए डिज़ाइन किया गया था, जिससे शोधकर्ताओं को यह समझने में मदद मिलती है कि पदार्थ अपने सबसे स्थिर अवस्था में कैसे स्थिर होता है। इसे एक विशाल, जटिल प्रणाली को प्रबंधनीय बिल्डिंग ब्लॉक्स के सेट का उपयोग करके वर्णित करने के तरीके के रूप में सोचें, बजाय इसके कि कंप्यूटर की मेमोरी में हर एक विवरण को संग्रहीत करने का प्रयास किया जाए। हाल ही में, वैज्ञानिकों ने इन विचारों को मशीन लर्निंग के लिए उधार लेना शुरू कर दिया है, इस उम्मीद में कि वे कंप्यूटर को उन्हीं कुशल तर्क का उपयोग करके पैटर्न पहचानना सिखा सकें जो क्वांटम दुनिया को नियंत्रित करता है। लक्ष्य ऐसे लर्निंग सिस्टम बनाना है जो न केवल शक्तिशाली हों बल्कि भविष्य के क्वांटम कंप्यूटरों पर चलने में भी सक्षम हों, जो आज के उपकरणों की तुलना में अलग सिद्धांतों पर काम करते हैं। हालाँकि, एक महत्वपूर्ण बाधा मौजूद है: क्वांटम प्रणालियों में एक सख्त नियम है कि सभी संभावित परिणामों की कुल प्रायिकता (total probability) हमेशा एक के बराबर होनी चाहिए, एक ऐसी स्थिति जिसे मानक लर्निंग विधियाँ अक्सर अनदेखा कर देती हैं।

शोधकर्ताओं की एक टीम ने 'डेंसिटी मैट्रिक्स रेनोर्मलाइजेशन ग्रुप' (DMRG) नामक एक विशिष्ट अनुकूलन तकनीक (optimization technique) को मशीन लर्निंग के लिए अनुकूलित करके इस अंतर को पाटने का प्रयास किया। यह विधि, जो क्वांटम भौतिकी में एक प्रमुख स्तंभ रही है, अपने हिस्सों को एक-एक करके समायोजित करके किसी प्रणाली के सर्वोत्तम संभव विन्यास (configuration) को खोजने के लिए जानी जाती है। शोधकर्ताओं ने इस दृष्टिकोण को एक न्यूरल नेटवर्क आर्किटेक्चर पर लागू किया जो 'मैट्रिक्स प्रोडक्ट स्टेट्स' (matrix product states) पर आधारित है, जो एक प्रकार का टेंसर नेटवर्क है जो डेटा को एक श्रृंखला जैसी संरचना में व्यवस्थित करता है। उनका प्राथमिक नवाचार क्वांटम यांत्रिकी के सख्त सामान्यीकरण नियम (normalization rule) को सीधे सीखने की प्रक्रिया में लागू करना था। इसका अर्थ यह था कि जैसे-जैसे कंप्यूटर डेटा से सीखने के लिए अपने आंतरिक मापदंडों को समायोजित करता था, उसे सिस्टम के गणितीय प्रतिनिधित्व को पूरी तरह से संतुलित रखने के लिए मजबूर किया जाता था, जैसा कि प्रकृति मांग करती है। उन्होंने इसे प्राप्त करने के दो अलग-अलग तरीकों का परीक्षण किया: एक मानक विधि जो ग्रेडिएंट्स का उपयोग करके चरण-दर-चरण सिस्टम को समायोजित करती है, और उनका नया संशोधित DMRG एल्गोरिदम, जो इष्टतम समाधान खोजने के लिए अधिक परिष्कृत गणितीय शॉर्टकट का उपयोग करता है।

यह देखने के लिए कि क्या उनके विचार काम कर रहे हैं, टीम ने प्रसिद्ध MNIST डेटासेट से हस्तलिखित अंकों को पहचानने के लिए इन प्रणालियों को प्रशिक्षित किया, जो एक मानक बेंचमार्क है जहाँ कंप्यूटर शून्य से नौ तक की संख्याओं को पहचानना सीखते हैं। उन्होंने 5,000 छवियों के एक उपसमूह का उपयोग किया, उन्हें 49 पिक्सेल के छोटे ग्रिड में पुनर्गठित किया, और उन्हें प्रशिक्षण और परीक्षण समूहों में विभाजित किया। परिणामों ने यह खुलासा किया कि क्वांटम बाधाओं के तहत उनके सिस्टम के व्यवहार में एक महत्वपूर्ण अंतर था। जब उन्होंने बिना सामान्यीकरण प्रतिबंध के एक मानक अनुकूलन विधि का उपयोग किया, तो सिस्टम ने 94.7 प्रतिशत की टेस्ट सटीकता प्राप्त की। हालाँकि, सिस्टम की आंतरिक गणितीय अवस्था इतनी बड़ी और असंतुलित हो गई थी कि वह अब एक वैध क्वांटम अवस्था का प्रतिनिधित्व नहीं करती थी। पेपर नोट करता है कि इस अवस्था का 'नॉर्म' (norm) लगभग 3.9 मिलियन था। जब शोधकर्ताओं ने इस असंतुलित अवस्था को नियमों के अनुरूप ढालने के लिए इसे सामान्यीकृत (normalize) किया, तो लॉस फंक्शन (loss function) में इसके ओवरलैप अत्यंत सूक्ष्म हो गए, जिससे लगभग 0.5 का ट्रिवियल लॉस प्राप्त हुआ। यह इंगित करता है कि जबकि अनकन्स्ट्रेंड (unconstrained) विधि ने उच्च सटीकता मेट्रिक्स उत्पन्न किए, परिणामी मॉडल एक वैध क्वांटम अवस्था नहीं है और इसे अपने सीखे हुए गुणों को खोए बिना सीधे क्वांटम हार्डवेयर पर तैनात नहीं किया जा सकता है।

इसके विपरीत, जिन विधियों ने शुरुआत से ही सामान्यीकरण की स्थिति को लागू किया, वे अलग तरह से व्यवहार कर रहे थे। संशोधित ग्रेडिएंट डिसेंट और नए DMRG दोनों ने ऐसी प्रणालियाँ बनाईं जो क्वांटम नियमों का सम्मान करती थीं, लेकिन वे अनकन्स्ट्रेंड विधि जितनी उच्च सटीकता प्राप्त नहीं कर सकीं। सामान्यीकृत ग्रेडिएंट डिसेंट और संशोधित DMRG दोनों ने लगभग 73 प्रतिशत की टेस्ट सटीकता प्राप्त की, जिसमें लॉस वैल्यू 0.36 के करीब रही। हालाँकि ये संख्याएँ अनकन्स्ट्रेंड विधि की तुलना में कम हैं, लेकिन वे एक वास्तविक, स्थिर लर्निंग प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करती हैं जो वास्तव में एक क्वांटम कंप्यूटर पर चल सकती है। शोधकर्ताओं ने पाया कि संशोधित DMRG एल्गोरिदम, जो अनुकूलन समस्या को हल करने के लिए एक विशिष्ट गणितीय संपीड़न (compression) तकनीक का उपयोग करता है, सामान्यीकृत ग्रेडिएंट डिसेंट के लगभग समान प्रदर्शन करता है, जो पुष्टि करता है कि क्वांटम-प्रेरित शॉर्टकट एक व्यवहार्य विकल्प था।

अध्ययन यह निष्कर्ष निकालता है कि हालांकि सिस्टम को क्वांटम नियमों का पालन करने के लिए मजबूर करना इसे वर्तमान रूप में मानक क्लासिकल विधियों की तुलना में कम शक्तिशाली बनाता है, लेकिन यह एक आवश्यक कदम है। अनकन्स्ट्रेंड विधि की उच्च सटीकता क्वांटम दुनिया के मौलिक नियमों को अनदेखा करके प्राप्त की गई थी, जिसके परिणामस्वरूप एक ऐसा मॉडल मिला जो वैध क्वांटम अवस्था नहीं है। वर्तमान में कम सटीकता को स्वीकार करके, शोधकर्ताओं ने एक ऐसा आधार बनाया है जो गणितीय रूप से सुदृढ़ है और क्वांटम हार्डवेयर के लिए तैयार है। वे स्वीकार करते हैं कि प्रदर्शन में सुधार करने और इन बाधाओं को संभालने के लिए और भी जटिल तरीके विकसित करने के लिए अधिक कार्य की आवश्यकता है, लेकिन आगे का रास्ता स्पष्ट है: मशीन लर्निंग को क्वांटम कंप्यूटरों तक लाने के लिए, एल्गोरिदम को पहले क्वांटम क्षेत्र के सख्त नियमों का सम्मान करना सीखना होगा।

तकनीकी सारांश: DMRG के साथ क्वांटम टेंसर नेटवर्क लर्निंग

समस्या विवरण
टेंसर नेटवर्क (TN), विशेष रूप से मैट्रिक्स प्रोडक्ट स्टेट्स (MPS), क्वांटम मल्टी-बॉडी फिजिक्स से प्रेरित एक आशाजनक मशीन लर्निंग आर्किटेक्चर के रूप में उभरे हैं। जबकि मानक TN दृष्टिकोण अक्सर अनुकूलन (optimization) के लिए ग्रेडिएंट डिसेंट का उपयोग करते हैं, वे अक्सर भौतिक क्वांटम अवस्थाओं के लिए आवश्यक सख्त सामान्यीकरण (normalization) शर्तों की कमी रखते हैं। क्वांटम यांत्रिकी में, प्रायिकता संरक्षण (probability conservation) यह निर्धारित करता है कि क्वांटम अवस्थाएं और चैनल सामान्यीकृत होने चाहिए। यह शोध पत्र इन सामान्यीकरण बाधाओं को संतुष्ट करने के लिए TN-आधारित मशीन लर्निंग को अनुकूलित करने की चुनौती को संबोधित करता है, जिससे इन मॉडलों को सीधे क्वांटम कंप्यूटरों पर तैनात करना संभव हो सके। लेखक स्थानीय अनुकूलन तकनीकों, विशेष रूप से डेंसिटी मैट्रिक्स रिनॉर्मलग्रुप (DMRG) और इसके अंतर्निहित लैंकोस (Lanczos) विधि को, सामान्यीकृत क्वांटम मशीन लर्निंग के संदर्भ में स्थानांतरित करने के अंतराल की पहचान करते हैं।

कार्यप्रणाली
लेखक एक ऐसा ढांचा प्रस्तावित करते हैं जहाँ MPS एंसेट (ansatz) को इस प्रकार बाधित किया जाता है कि संकुचन (contraction) पर एक सामान्यीकृत वेक्टर प्राप्त हो, जो प्रभावी रूप से एक क्वांटम अवस्था का प्रतिनिधित्व करता है। उनके दृष्टिकोण का मुख्य भाग मानक अनुकूलन एल्गोरिदम को यूनिट नॉर्म (unit norm) बाधा ( $\langle \Psi | \Psi \rangle = 1$ ) का सम्मान करने के लिए संशोधित करना है।

लॉस फंक्शन और बाधाएं:
लेखक वर्गीकरण कार्यों के लिए एक मीन स्क्वायर एरर लॉस फंक्शन $L$ को परिभाषित करते हैं। अनबाधित अनुकूलन (unconstrained optimization) के विपरीत जहाँ इष्टतम $A^{-1}|b\rangle$ हो सकता है, सामान्यीकरण बाधा के लिए समाधान को हिल्बर्ट स्पेस के यूनिट स्फीयर पर होना आवश्यक है। लॉस फंक्शन को इस प्रकार तैयार किया गया है:
$L = \frac{1}{2} + \frac{1}{2N} \sum_{i=1}^N \left[ \langle \Psi | (|d_i\rangle\langle d_i|_D \otimes 1_B) | \Psi \rangle - 2\text{Re}(\langle \Psi |_{DB} (|d_i\rangle_D \otimes |l_i\rangle_B)) \right]$
जहाँ $|d_i\rangle$ इनपुट डेटा का प्रतिनिधित्व करता है और $|l_i\rangle$ लेबल्स का।
सामान्यीकरण के साथ ग्रेडिएंट डिसेंट:
लेखक सामान्यीकरण बाधा को संभालने के लिए ग्रेडिएंट डिसेंट एल्गोरिदम को अनुकूलित करते हैं। एक साधारण अपडेट के बजाय, वे एक प्रोजेक्टेड ग्रेडिएंट डिसेंट दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं। ग्रेडिएंट स्टेप $|n\rangle = |\Psi\rangle - \alpha |g\rangle$ की गणना करने के बाद, अवस्था को पुन: सामान्यीकृत (renormalize) किया जाता है: $|\Psi'\rangle = |n\rangle / \sqrt{\langle n|n\rangle}$ । दक्षता को अनुकूलित करने के लिए, वे $\alpha$ के सापेक्ष लॉस के डेरिवेटिव को शून्य पर सेट करके इष्टतम स्टेप साइज $\alpha$ के लिए एक स्थिति व्युत्पन्न करते हैं, और न्यूटन इटरेशन का उपयोग करके $\alpha$ को हल करते हैं।
संशोधित DMRG एल्गोरिदम:
यह पहचानते हुए कि क्रायलोव सबस्पेस विधियाँ (जैसे DMRG) सरल ग्रेडिएंट डिसेंट की तुलना में अधिक प्रभावी होती हैं, लेखक एक संशोधित DMRG एल्गोरिदम विकसित करते हैं। मानक DMRG एक ऊर्जा प्रत्याशा (energy expectation value) को कम करता है लेकिन मशीन लर्निंग लॉस फंक्शन (समीकरण 3) में रैखिक पद (linear term) को स्वाभाविक रूप से ध्यान में नहीं रखता है।

पोस्ट-प्रोसेसिंग स्टेप: इस प्रक्रिया के बाद कि लैंकोस एल्गोरिदम स्थानीय प्रभावी हैमिल्टोनियन $A_s$ को ट्रिडायगोनल रूप $A'_s$ में संकुचित करता है, लेखक एक पोस्ट-प्रोसेसिंग स्टेप पेश करते हैं। वे एक स्केलिंग फैक्टर $x$ के लिए समाधान निकालते हैं ताकि सामान्यीकृत अवस्था का ग्रेडिएंट यूनिट स्फीयर के लंबवत (perpendicular) हो।
विश्लेणात्मक समाधान: संकुचित मैट्रिक्स के आइगन-बेसिस (eigenbasis) में समस्या को विघटित करके, वे $x$ के लिए एक समीकरण (समीकरण 6) व्युत्पन्न करते हैं जो यह सुनिश्चित करता है कि सामान्यीकरण बाधा पूरी हो। वे सिद्ध करते हैं कि $x < 0$ के लिए एक अद्वितीय ग्लोबल मिनिमम मौजूद है और इसे सावधानीपूर्वक किए गए न्यूटन इटरेशन का उपयोग करके हल करते हैं ताकि अभिसरण (convergence) सुनिश्चित हो सके।

प्रमुख योगदान

सामान्यीकरण स्थिति (Normalization Condition): MPS एंसेट में एक वैश्विक सामान्यीकरण स्थिति का परिचय, जो यह सुनिश्चित करता है कि परिणामी वेक्टर एक वैध क्वांटम अवस्था के रूप में मैप किया जा सके।
एल्गोरिद्मिक अनुकूलन: सामान्यीकरण बाधा के तहत कार्य करने के लिए ग्रेडिएंट डिसेंट और DMRG/Lanczos एल्गोरिदम दोनों का संशोधन।
तुलनात्मक विश्लेषण: मानक कंजुगेट ग्रेडिएंट डिसेंट, सामान्यीकृत ग्रेडिएंट डिसेंट, और प्रस्तावित संशोधित DMRG विधि का सीधा तुलनात्मक विश्लेषण।

प्रायोगिक परिणाम
इन विधियों को MNIST डेटासेट के एक उपसमुच्चय (5,000 चित्र, 7x7 तक पुनर्गठित) पर मान्य किया गया, जिसमें प्रशिक्षण के लिए 4,000 और परीक्षण के लिए 1,000 चित्र थे। मॉडलों को अधिकतम बॉन्ड डायमेंशन 20 के साथ तीन पूर्ण टू-साइट स्वीप्स (two-site sweeps) पर अनुकूलित किया गया।

प्रदर्शन: मानक कंजुगेट ग्रेडिएंट डिसेंट ने उच्चतम सटीकता (94.70% टेस्ट सटीकता) और न्यूनतम लॉस (0.08680) प्राप्त की। हालांकि, परिणामी MPS का नॉर्म $\approx 3.9 \times 10^6$ था। पोस्ट-हॉक (post-hoc) रूप से सामान्यीकृत करने पर, इससे वेनिशिंग ओवरलैप (vanishing overlaps) हुआ और $\approx 0.5$ का एक मामूली लॉस मिला, जिससे मॉडल अप्रभावी हो गया।
सामान्यीकृत विधियाँ: सामान्यीकृत ग्रेडिएंट डिसेंट और संशोधित लैंकोस (DMRG) दोनों ने समान प्रशिक्षण और परीक्षण लॉस ( $\approx 0.36$ ) और सटीकता ( $\approx 73\%$ ) प्रदर्शित की।
अवलोकन: सामान्यीकरण स्थिति के परिचय ने परिणामों को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित किया, जिससे अनस्ट्रक्चर्ड कंजुगेट ग्रेडिएंट विधि की तुलना में सटीकता कम हो गई, लेकिन यह सुनिश्चित किया कि मॉडल भौतिक रूप से वैध (सामान्यीकृत) रहे।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र दावा करता है कि क्वांटम कंप्यूटरों पर तैनाती के लिए उपयुक्त बनाने हेतु टेंसर नेटवर्क एल्गोरिदम के लिए सामान्यीकरण स्थितियों को लागू करना एक आवश्यक कदम है। लेखक इस कार्य को अधिक कुशल क्वांटम मशीन लर्निंग के लिए टेंसर नेटवर्क विधियों को अनुकूलित करने की दिशा में एक कदम के रूप में देखते हैं।

हालांकि, लेखक वर्तमान प्रदर्शन के संबंध में विनम्र हैं। वे स्पष्ट रूप से कहते हैं कि परिणाम दर्शाते हैं कि इन सामान्यीकृत विधियों के प्रदर्शन को "अन्य समकालीन एल्गोरिदम के प्रतिस्पर्धी होने के लिए बढ़ाया जाना आवश्यक है।" वे स्वीकार करते हैं कि शास्त्रीय टेंसर नेटवर्क विधियों (जो इस तरह से सख्त सामान्यीकरण लागू नहीं करती हैं) के साथ समानता अभी प्राप्त नहीं हुई है। शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि और अधिक जटिल सामान्यीकरण स्थितियों (जैसे क्वांटम चैनलों के लिए) के अध्ययन और मूल्यांकन विधियों में सुधार सहित और अधिक अनुसंधान की आवश्यकता है, ताकि मशीन लर्निंग को प्रभावी ढंग से क्वांटम कंप्यूटरों तक लाया जा सके।

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