Exact joint eigenvalue densities of non-Hermitian random matrices are Calogero scattering states

في المشهد الشاسع للفيزياء الحديثة، توجد أداة قوية تُستخدم لفهم الأنظمة التي تشتمل على تعقيدٍ يمنع تتبع كل جزء منها على حدة. تخيل محاولة التنبؤ بالمسار الدقيق لكل جزيء في سحابة من الغاز؛ إن هذا أمر مستحيل. بدلاً من ذلك، يستخدم العلماء طريقة تسمى نظرية المصفوفات العشوائية. يعامل هذا النهج النظام المعقد ليس كمجموعة من الأجزاء الفردية، بل كشبكة ضخمة من الأرقام، أو مصفوفة، حيث يتم اختيار القيم عشوائياً وفق قواعد محددة. ومن خلال دراسة الأنماط في الأرقام التي تنبثق عن هذه الشبكات، يمكن للفيزيائيين التنبؤ بكيفية سلوك الأنظمة في العالم الحقيقي، بدءاً من مستويات الطاقة في الذرات الثقيلة داخل مفاعل نووي وصولاً إلى تدفق الكهرباء عبر سلك مضطرب. ولعقود من الزمن، كانت هذه الطريقة أكثر نجاحاً عند تطبيقها على الأنظمة التي تتبع قوانين التماثل الصارمة الموجودة في ميكانيكا الكم القياسية، حيث تتصرف الأرقام في الشبكة بطريقة متوازنة ومتوقعة للغاية.

ومع ذلك، فإن العالم ليس متوازناً دائماً بهذا الشكل. فالعديد من الأنظمة الحديثة، مثل تلك التي تتضمن تفاعل الضوء مع المادة أو الجسيمات التي تتحرك عبر بيئات مفتوحة، لا تتبع هذه القواعد القياسية. تُوصف هذه الأنظمة بمصفوفات "غير هيرميتية" (non-Hermitian)، حيث لا تتوازن الأرقام بالطريقة المعتادة. وبينما عرف العلماء منذ فترة طويلة كيفية التعامل مع بعض هذه الأنظمة الغريبة، ظلت هناك فجوة رئيسية. فبالنسبة لمجموعة محددة وهامة من هذه الأنظمة غير الهيرميتية، والتي تمتلك نوعاً معيناً من التماثل يتعلق بقلب الشبكة، ظل الوصف الدقيق لأنماط سلوكها لغزاً. وبدون معرفة هذه الأنماط، كان من الصعب الفهم الكامل لكيفية تنظيم هذه الأنظمة المفتوحة لنفسها أو كيفية استجابتها للفوضى.

لقد تمكن فريق من الباحثين الآن من حل هذا اللغز الذي طال أمده. فقد قاموا بحساب الوصف الرياضي الدقيق لكيفية توزيع مستويات الطاقة، أو القيم الذاتية (eigenvalues)، لهذه المصفوفات غير الهيرميتية المحددة. وتكشف أعمالهم أن هذه التوزيعات ليست مجرد سحب عشوائية من النقاط، كما قد يتوقع المرء، بل هي مرتبطة بعمق بنموذج شهير للجسيمات المتفاعلة يُعرف باسم نموذج "كالوجيرو" (Calogero model). في هذا النموذج، تتحرك الجسيمات على طول خط وتدفع أو تجذب بعضها البعض بقوة تزداد كلما اقتربت من بعضها، متبعة قاعدة "التربيع العكسي" المحددة. وقد وجد الباحثون أن ترتيب أرقام المصفوفة يتصرف تماماً مثل حالات التشتت لهذه الجسيمات—أي الأنماط التي تراها عندما تمر هذه الجسيمات بجانب بعضها البعض دون أن تظل عالقة في مدار مرتبط.

هذا الاكتشاف يقلب فرضية سائدة منذ فترة طويلة حول كيفية عمل هذه الأنظمة. ففي السابق، كان العلماء يعتقدون أن مستويات الطاقة في مثل هذه الأنظمة يمكن وصفها بأنها "غاز" من الجسيمات التي تتفاعل فقط مع جيرانها المباشرين، حيث تتنافر مع بعضها البعض مثل البالونات المشحونة. وتظهر النتائج الجديدة أن هذه الصورة البسيطة غير صحيحة لهذه التماثلات المحددة. بدلاً من ذلك، فإن السلوك هو تفاعل "متعدد الأجسام" (many-body) حقيقي، مما يعني أن موقع أي مستوى طاقة واحد يعتمد على الترتيب الجماعي لجميع المستويات الأخرى بطريقة معقدة ومترابطة. لا يكفي النظر إلى أزواج من المستويات؛ بل يعمل النظام بأكره ككيان واحد موحد.

حقق الباحثون ذلك من خلال ترجمة مشكلة إيجاد هذه الأنماط إلى مجموعة من المعادلات التفاضلية، وهي قواعد رياضية تصف كيفية تغير الأشياء. وقد أدركوا أن هذه القواعد مطابقة لتلك التي تحكم نموذج "كالوجيرو". ومن خلال حل هذه المعادلات، تمكنوا من كتابة الاحتمالية الدقيقة لوجود مستويات الطاقة في أي تكوين محدد. كما تحققوا من نتائجهم باستخدام محاكاة حاسوبية قوية، حيث فحصوا أنماط آلاف المصفوفات العشوائية وأكدوا أن التنبؤات النظرية ظلت صالحة حتى بالنسبة للأنظمة الكبيرة.

إن الآثار المترتبة على هذا الاكتشاف كبيرة لفهم سلوك الأنظمة الكمومية المفتوحة. كما اكتشف الفريق أن هذه الأنماط المحددة تظهر بشكل طبيعي في مصفوفات الانعكاس للموصلات المضطربة—وهي المواد التي تشتت الكهرباء بطريقة فوضوية وغير متوقعة. وهذا يشير إلى أن التفاعلات المعقدة متعددة الأجسام التي كشفوا عنها ليست مجرد فضول رياضي، بل هي سمة فيزيائية حقيقية لكيفية تشكيل الاضطراب والتماثل لتدفق الطاقة في العالم الكمومي. ومن خلال تحديد هذه الأنماط الدقيقة، قدم الباحثون أساساً جديداً للتنبؤ بكيفية سلوك هذه الأنظمة المعقدة، مما يسد الفجوة بين النظرية الرياضية المجردة والواقع الفعلي للأنظمة الكمومية المفتوحة.