Exact joint eigenvalue densities of non-Hermitian random matrices are Calogero scattering states

Nel vasto panorama della fisica moderna, esiste uno strumento potente utilizzato per comprendere sistemi troppo complessi per essere tracciati uno per uno. Immaginate di cercare di prevedere il percorso esatto di ogni singola molecola in una nuvola di gas; è impossibile. Invece, gli scienziati utilizzano un metodo chiamato teoria delle matrici casuali. Questo approccio tratta un sistema complicato non come una collezione di parti individuali, ma come una gigantesca griglia di numeri, o una matrice, dove i valori sono scelti casualmente secondo regole specifiche. Studiando i modelli nei numeri che emergono da queste griglie, i fisici possono prevedere come i sistemi del mondo reale si comportano, dai livelli energetici di atomi pesanti in un reattore nucleare al flusso di elettricità attraverso un filo disordinato. Per decenni, questo metodo è stato di maggior successo quando applicato a sistemi che seguono le rigide leggi di simmetria presenti nella meccanica quantistica standard, dove i numeri nella griglia si comportano in modo molto prevedibile e bilanciato.

Tuttavia, il mondo non è sempre così equilibrato. Molti sistemi moderni, come quelli che coinvolgono la luce che interagisce con la materia o particelle che si muovono attraverso ambienti aperti, non seguono queste regole standard. Sono descritti da matrici "non ermitiane", dove i numeri non si bilanciano nel modo consueto. Sebbene gli scienziati sappiano da tempo come gestire alcuni di questi sistemi strani, rimaneva un vuoto importante. Per un gruppo specifico e importante di questi sistemi non ermitiani, che possiedono un particolare tipo di simmetria legata al ribaltamento della griglia, i modelli esatti del loro comportamento erano rimasti un mistero. Senza conoscere questi modelli, era difficile comprendere appieno come questi sistemi aperti si organizzano o come rispondono al caos.

Un team di ricercatori ha ora risolto questo enigma di lunga data. Hanno calcolato la descrizione matematica esatta di come siano distribuiti i livelli di energia, o autovalori, di queste specifiche matrici non ermitiane. Il loro lavoro rivela che queste distribuzioni non sono nuvole casuali di punti, come ci si potrebbe aspettare, ma sono invece profondamente connesse a un famoso modello di particelle interagenti noto come modello di Calogero. In questo modello, le particelle si muovono lungo una linea e si spingono o si attraggono con una forza che diventa più forte quanto più si avvicinano, seguendo una specifica regola dell'inverso del quadrato. I ricercatori hanno scoperto che la disposizione dei numeri della matrice si comporta esattamente come gli stati di diffusione di queste particelle—essenzialmente, i modelli che si vedono quando queste particelle volano l'una accanto all'altra senza rimanere intrappolate in un'orbita legata.

Questa scoperta ribalta un'ipotesi radicata su come funzionano questi sistemi. Precedentemente, gli scienziati credevano che i livelli di energia in tali sistemi potessero essere descritti come un "gas" di particelle che interagiscono solo con i loro vicini immediati, respingendosi l'un l'altro come palloncini carichi. I nuovi risultati mostrano che questo semplice quadro è errato per queste specifiche simmetrie. Invece, il comportamento è genuinamente "many-body" (a molti corpi), il che significa che la posizione di un singolo livello di energia dipende dalla disposizione collettiva di tutti gli altri in un modo complesso e interconnesso. Non è sufficiente guardare le coppie di livelli; l'intero sistema agisce come un unico, unificato insieme.

I ricercatori hanno ottenuto questo traducendo il problema della ricerca di questi modelli in un insieme di equazioni differenziali, ovvero regole matematiche che descrivono come le cose cambiano. Hanno riconosciuto che queste regole sono identiche a quelle che governano il modello di Calogero. Risolvendo queste equazioni, sono stati in grado di scrivere la probabilità esatta di trovare i livelli di energia in una qualsiasi configurazione specifica. Hanno verificato i loro risultati utilizzando potenti simulazioni al computer, controllando i modelli di migliaia di matrici casuali e confermando che le previsioni teoriche valevano anche per sistemi di grandi dimensioni.

Le implicazioni di questa scoperta sono significative per la comprensione del comportamento dei sistemi quantistici aperti. Il team ha anche scoperto che questi modelli specifici appaiono naturalmente nelle matrici di riflessione dei conduttori disordinati—materiali che disperdono l'elettricità in modo disordinato e imprevedibile. Ciò suggerisce che le complesse interazioni many-body scoperte non sono solo una curiosità matematica, ma una caratteristica fisica reale di come il disordine e la simmetria modellano il flusso di energia nel mondo quantistico. Identificando questi modelli esatti, i ricercatori hanno fornito una nuova base per prevedere come questi sistemi complessi si comporteranno, colmando il divario tra la teoria matematica astratta e la realtà disordinata dei sistemi quantistici aperti.