Scattering and Tunneling in Real Quantum Mechanics

تعد ميكانيكا الكم هي كتاب القواعد الذي يحدد كيفية سلوك أصغر أجزاء كوننا، من الذرات داخل النجم إلى الإلكترونات التي تتدفق عبر شريحة الكمبيوتر. وعلى مدار ما يقرب من قرن من الزمان، اعتمدت النسخة القياسية من هذه النظرية على الأعداد المركبة، وهي أداة رياضية تتضمن وحدة تخيلية لوصف كيفية تحرك الجسيمات وتفاعلها. لقد كان هذا النهج ناجحًا للغاية، حيث تنبأ بكل شيء بدءًا من ألوان أضواء النيون وصولًا إلى سلوك الثقوب السوداء. ومع ذلك، ظل هناك سؤال عالق لدى الفيزيائيين: هل الاعتماد على الأعداد التخيلية ضرورة جوهرية للطبيعة، أم أنه مجرد اختصار ملائم؟ هل يمكن وصف عالم ميكانيكا الكم الغريب والاحتمالي باستخدام الأعداد الحقيقية فقط، وهي النوع الذي نستخدمه لعد التفاح أو قياس المسافات؟

تقدم دراسة جديدة أجراها الفيزيائيون فيرديفس كاراكوس، ودانييل ستيبانينكو، وإيغور فولوفيتش، نظرة مباشرة على هذا الاحتمال. فقد صاغوا إطارًا كاملاً لميكانيكا الكم يستخدم الأعداد الحقيقية فقط، ومع ذلك يعيد إنتاج نفس النتائج تمامًا كما في النسخة التقليدية المركبة. ومن خلال معاملة العالم الكمي كنظام من الأعداد الحقيقية المرتبة في بنية هندسية محددة، أظهروا أن النظرية لا تحتاج إلى أعداد تخيلية لكي تعمل. يثبت عملهم أن الظواهر الغامضة مثل النفق الكمي، حيث تعبر الجسيمات حواجز لا ينبغي لها عبورها، وتشتت الجسيمات، حيث ترتد عن بعضها البعض، يمكن حسابها وفهمها بالكامل ضمن نظام الأعداد الحقيقية. ويشير هذا الاكتشاف إلى أن الجزء "التخيلي" من ميكانيكا الكم قد يكون سمة من سمات وصفنا الرياضي وليس سمة من سمات العالم المادي نفسه.

بدأ الباحثون بإعادة تصور المعادلة الأساسية التي تحكم كيفية تغير الأنظمة الكمية بمرور الوقت. في النظرية القياسية، تستخدم هذه المعادلة الأعداد المركبة لتتبع تطور حالة الجسيم. قام المؤلفون بترجمة ذلك إلى لغة الأعداد الحقيقية عن طريق إقران كل مكون حقيقي لحالة الجسيم بمكون آخر، مما خلق نظامًا حقيقيًا ثنائي الأبعاد. واكتشفوا أن هذا النظام الحقيقي يمتلك خاصية هندسية خاصة، تُعرف باسم البنية الرمزية (symplectic structure)، والتي تعمل مثل مجموعة خفية من القواعد التي تضمن بقاء الاحتمالية الإجمالية لوجود جسيم ثابتة أثناء حركته. تسمح هذه البنية للنظام الحقيقي بمحاكاة سلوك الأعداد المركبة بدقة، مع الحفاظ على الفيزياء الجوهرية دون استدعاء الوحدة التخيلية مطلقًا.

ولاختبار ما إذا كان هذا النهج القائم على الأعداد الحقيقية يمكنه التعامل مع أكثر جوانب الفيزياء الكمية صعوبة وتناقضًا مع الحدس، ركز الفريق على سيناريوهين كلاسيكيين: التشتت والنفق الكمي. يحدث التشتت عندما تصطدم الجسيمات ببعضها البعض وترتد، وهي عملية تحدد كيف نرى الضوء وكيف تتفاعل الجسيمات في المعجلات. أما النفق الكمي فهو الظاهرة التي يعبر فيها الجسيم من خلال جدار صلب من الطاقة لا يمتلك طاقة كافية لتجاوزه كلاسيكيًا. في النظرية المركبة القياسية، غالبًا ما يُفسر النفق الكمي باستخدام متغيرات مركبة تبدو وكأنها تتلاشى داخل الحاجز. طبق الباحثون إطارهم القائم على الأعداد الحقيقية على جسيم يقترب من حاجز، ووجدوا أن احتمالية عبور الجسيم للحاجز تم حسابها لتكون مطابقة تمامًا للنسخة المركبة. لم يحتج الجسيم إلى أعداد تخيلية ليتسلل عبر الجدار؛ إذ تعامل النظام الحقيقي، بقواعده الهندسية المحددة، مع الاختراق بشكل طبيعي.

كما بحثت الدراسة في كيفية تشتت الجسيمات عن بعضها البعض. ومن خلال حساب احتمالية ارتداد الجسيمات بزوايا مختلفة، وجد الفريق أن النتائج من نموذج الأعداد الحقيقية الخاص بهم تطابقت تمامًا مع تنبؤات ميكانيكا الكم المركبة القياسية. كانت أنماط كيفية انتشار الجسيمات بعد التصادم متطابقة في كلا النظامين. هذه المساواść مهمة لأنها تثبت أن الأعداد المركبة المستخدمة في الكتب المدرسية ليست الطريقة الوحيدة لوصف الواقع. فالنظام الحقيقي، بقيوده الهندسية الفريدة، يلتقط نفس الحقائق الفيزيائية. لقد أثبت الباحثون أن الأدوات الرياضية المستخدمة لوصف تدفق الجسيمات وتفاعلاتها تعمل بشكل جيد في عالم الأعداد الحقيقية هذا كما تعمل في العالم المركب.

أحد أكثر الجوانب إثارة في هذا العمل هو كيفية تعامله مع مفهوم الاحتمالية. في ميكانيكا الكم، لا يمكننا تحديد مكان الجسيم بدقة، بل يمكننا فقط تحديد احتمالية وجوده في مكان معين. أظهر المؤلفون أن نظامهم القائم على الأعداد الحقيقية يحافظ على هذه الاحتمالية تمامًا كما يفعل النظام المركب. فبينما يتحرك الجسيم عبر الفضاء، تظل الاحتمالية الإجمالية لوجوده في مكان ما مائة بالمائة، حتى مع انتشاره أو تفاعله مع الحواجز. هذا الحفاظ على الاحتمالية هو حجر الزاوية في النظرية الكمية، وحقيقة أن نموذج الأعداد الحقيقية يحافظ عليها تؤكد أن النظام سليم فيزيائيًا. وقد أوضح الباحثون أن الجزء "التخيلي" من الدالة الموجية، والذي يحمل عادةً معلومات الطور اللازمة للتداخل، يتم استبداله فعليًا بالدوران الهندسي للأزواج الحقيقية.

كما تتناول الورقة الأسس الرياضية المطلوبة لجعل نظرية الأعداد الحقيقية دقيقة وصارمة. فقد وضع المؤلفون نسخة جديدة من مبرهنة شهيرة، تُعرف بمبرهنة ستون (Stone's theorem)، والتي تربط بين الطريقة التي يتغير بها النظام وبين القوى المؤثرة عليه. في العالم المركب، تعتمد هذه المبرهنة على المؤثرات الوحدوية (unitary operators)، التي تحافظ على طول المتجهات في الفضاء المركب. أما في عالم الأعداد الحقيقية، فقد أثبت المؤلفون أن المؤثرات المكافئة هي مؤثرات متعامدة ورمزية (orthogonal and symplectic) في آن واحد. وهذا يعني أنها تحافظ على كل من حجم المتجهات والزوايا الهندسية المحددة بينها. يضمن هذا الإثبات الرياضي أن التطور الحقيقي مستقر ومتسق، مما يوفر قاعدة صلبة للإطار بأكمله.

من خلال إظهار أن المقطع العرضي التفاضلي، وهو مقياس لمدى احتمالية تشتت الجسيمات في اتجاه معين، متطابق في كلتا الصيغتين، أغلق الباحثون فجوة كانت قائمة لعقود. لم يقترحوا فقط أن نظرية الأعداد الحقيقية قد تنجح، بل اشتقوا المعادلات العامة وأثبتوا أنه بالنسبة لفئة واسعة من الجهود (potentials)، فإن النتائج لا يمكن تمييزها عن النظرية القياسية. ويشمل ذلك سلوك الجسيمات في درجات وحواجز الجهد، حيث تمتد الدالة الموجية إلى مناطق محظورة بموجب الفيزياء الكلاسيكية. وفي هذه المناطق المحظورة، تنخفض احتمالية وجود الجسيم بشكل أسي، وهو سلوك يعيد النموذج الحقيقي إنتاجه بدقة تامة.

تتجاوز تداعيات هذا العمل مجرد كونه فضولًا رياضيًا. فهو يتحدى الافتراض القائم منذ فترة طويلة بأن الأعداد المركبة لا غنى عنها لوصف العالم الكمي. فإذا كان يمكن وصف الكون باستخدام الأعداد الحقيقية فقط، فإن ذلك يشير إلى أن الطبيعة "التخيلية" لميكانيكا الكم قد تكون نتاجًا للغة الرياضية التي اخترناها، وليس خاصية جوهرية للطبيعة. لقد أظهر الباحثون أن البنية الرمزية للفضاء الحقيقي كافية لتشفير جميع المعلومات الكمية اللازمة، بما في ذلك علاقات الطور التي تؤدي إلى أنماط التداخل. وهذا يفتح آفاقًا جديدة للتفكير في الديناميكا الكمية، مما قد يبسط الأدوات النظرية اللازمة لاستكشاف المجال الكمي.

في نهاية المطاف، تقدم هذه الدراسة برهنة واضحة وصارمة على أن ميكانيكا الكم الحقيقية ليست نسخة أضعف أو غير مكتملة من النظرية القياسية. إنها صيغة مكافئة تمامًا تلتقط نفس الظواهر الفيزيائية. إن القدرة على وصف النفق الكمي والتشتت دون أعداد مركبة تظهر أن السلوك الغريب للعالم الكمي قوي ولا يعتمد على الأدوات الرياضية المحددة التي نستخدمها لوصفه. لقد بنى الباحثون جسرًا بين عالم الأعداد الحقيقية المألوف والعالم الكمي الغامض، مثبتين أن الاثنين يمكن أن يتعايشا في إطار واحد متسق. يدعونا هذا العمل لإعادة النظر في طبيعة الأوصاف الرياضية التي نستخدمها لفهم الواقع، مما يشير إلى أن الكون قد يكون أكثر تجذرًا في الهندسة الحقيقية والملموسة مما كان يُعتقد سابقًا.