Scattering and Tunneling in Real Quantum Mechanics

क्वांटम मैकेनिक्स इस बात का नियम पुस्तिका है कि हमारे ब्रह्मांड के सबसे छोटे हिस्से कैसे व्यवहार करते हैं, एक तारे के भीतर मौजूद परमाणुओं से लेकर कंप्यूटर चिप के माध्यम से बहने वाले इलेक्ट्रॉनों तक। लगभग एक सदी से, इस सिद्धांत के मानक संस्करण ने जटिल संख्याओं (complex numbers) पर भरोसा किया है, जो एक गणितीय उपकरण है जिसमें कणों की गति और परस्पर क्रिया का वर्णन करने के लिए एक काल्पनिक इकाई (imaginary unit) शामिल होती है। यह दृष्टिकोण अविश्वसनीय रूप से सफल रहा है, जिसने नियॉन लाइटों के रंगों से लेकर ब्लैक होल के व्यवहार तक सब कुछ की भविष्यवाणी की है। हालाँकि, भौतिकविदों के लिए एक प्रश्न बना हुआ है: क्या वास्तविक संख्याओं (real numbers) पर यह निर्भरता प्रकृति की एक मौलिक आवश्यकता है, या यह केवल एक सुविधाजनक शॉर्टकट है? क्या क्वांटम मैकेनिक्स की विचित्र, संभाव्य दुनिया को केवल वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, वैसी संख्याएं जिनका उपयोग हम सेब गिनने या दूरियों को मापने के लिए करते हैं?

भौतिकविदों फिरदेव कराकस, दानिल स्टेपनेंको और इगोर वोलोविच का एक नया अध्ययन इस संभावना का सीधा अवलोकन करता है। उन्होंने केवल वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके क्वांटम मैकेनिक्स का एक पूर्ण ढांचा तैयार किया है, फिर भी यह पारंपरिक जटिल संस्करण के समान ही सटीक परिणाम देता है। क्वांटम दुनिया को वास्तविक संख्याओं के एक विशिष्ट ज्यामितिक संरचना में व्यवस्थित एक प्रणाली मानकर, उन्होंने दिखाया है कि सिद्धांत को काम करने के लिए काल्पनिक संख्याओं की आवश्यकता नहीं है। उनका कार्य सिद्ध करता है कि क्वांटंटम टनलिंग (quantum tunneling) जैसी रहस्यमय घटनाएं, जहाँ कण उन बाधाओं के पार निकल जाते हैं जिन्हें उन्हें पार करने में सक्षम नहीं होना चाहिए, और कणों का प्रकीर्णन (scattering), जहाँ वे एक-दूसरे से टकराकर वापस लौटते हैं, को पूरी तरह से एक वास्तविक-संख्या प्रणाली के भीतर गणना और समझा जा सकता है। यह निष्कर्ष बताता है कि क्वांटम मैकेनिक्स का "काल्पनिक" हिस्सा हमारे गणितीय विवरण की एक विशेषता हो सकती है, न कि भौतिक दुनिया की एक विशेषता।

शोधकर्ताओं ने उस मौलिक समीकरण की पुनर्कल्पना करके शुरुआत की जो क्वांटम प्रणालियों के समय के साथ परिवर्तन को नियंत्रित करता है। मानक सिद्धांत में, यह समीकरण एक कण की अवस्था (state) को ट्रैक करने के लिए जटिल संख्याओं का उपयोग करता है। लेखकों ने इसे वास्तविक संख्याओं की भाषा में अनुवादित किया है, जिसमें एक कण की अवस्था के प्रत्येक वास्तविक घटक को दूसरे के साथ जोड़कर एक द्वि-आयामी वास्तविक प्रणाली बनाई गई है। उन्होंने पाया कि इस वास्तविक प्रणाली के पास एक विशेष ज्यामितीय गुण है, जिसे सिम्प्लेक्टिक संरचना (symplectic structure) कहा जाता है, जो नियमों के एक छिपे हुए सेट की तरह कार्य करता है जो यह सुनिश्चित करता है कि कण को खोजने की कुल संभावना (total probability) उसके चलते रहने के दौरान स्थिर बनी रहे। यह संरचना वास्तविक-संख्या प्रणाली को जटिल संख्याओं के व्यवहार की सटीक नकल करने की अनुमति देती है, जिससे बिना किसी काल्पनिक इकाई का उपयोग किए आवश्यक भौतिकी सुरक्षित रहती है।

यह परीक्षण करने के लिए कि क्या यह वास्तविक-संख्या दृष्टिकोण क्वांटम भौतिकी के सबसे कठिन और विरोधाभासी पहलुओं को संभाल सकता है, टीम ने दो क्लासिक परिदृश्यों पर ध्यान केंद्रित किया: प्रकीर्णन (scattering) और टनलिंग (tunneling)। प्रकीर्णन तब होता है जब कण आपस में टकराते हैं और एक-दूसरे से टकराकर वापस लौटते हैं, यह एक ऐसी प्रक्रिया है जो निर्धारित करती है कि हम प्रकाश को कैसे देखते हैं और कण त्वरकों (accelerators) में कैसे परस्पर क्रिया करते हैं। टनलिंग वह घटना है जहाँ एक कण ऊर्जा की एक ठोस दीवार के पार निकल जाता है जिसे शास्त्रीय रूप से पार करने के लिए उसके पास पर्याप्त शक्ति नहीं होनी चाहिए। मानक जटिल सिद्धांत में, टनलिंग को अक्सर जटिल चरों (complex variables) का उपयोग करके समझाया जाता है जो बाधा के भीतर लुप्त होते प्रतीत होते हैं। शोधकर्ताओं ने एक अवरोध की ओर बढ़ते कण पर अपने वास्तविक-संख्या ढांचे को लागू किया और पाया कि कण के पार जाने की संभावना ठीक उतनी ही थी जितनी जटिल संस्करण में थी। कण को दीवार के माध्यम से निकलने के लिए काल्पनिक संख्याओं की आवश्यकता नहीं थी; वास्तविक-संख्या प्रणाली ने, अपने विशिष्ट ज्यामितिक नियमों के साथ, इस प्रवेश को स्वाभाविक रूप से संभाला।

टीम ने यह भी जांचा कि क्या कण एक-दूसरे से प्रकीर्णित होते हैं। कणों के अलग-अलग कोणों पर टकराकर वापस लौटने की संभावना की गणना करके, टीम ने पाया कि उनके वास्तविक-संख्या मॉडल के परिणाम मानक जटिल क्वांटम मैकेनिक्स की भविष्यवाणियों से पूरी तरह मेल खाते हैं। टकराव के बाद कणों के फैलने के पैटर्न दोनों प्रणालियों में समान थे। यह समानता महत्वपूर्ण है क्योंकि यह प्रदर्शित करती है कि पाठ्यपुस्तकों में उपयोग की जाने वाली जटिल संख्याएं वास्तविकता का वर्णन करने का एकमात्र तरीका नहीं हैं। वास्तविक-संख्या प्रणाली, अपने अद्वितीय ज्यामितिक प्रतिबंधों के साथ, समान भौतिक सत्यों को पकड़ती है। शोधकर्ताओं ने सिद्ध किया कि कणों के प्रवाह और उनकी परस्पर क्रिया का वर्णन करने वाले गणितीय उपकरण इस वास्तविक-संख्या दुनिया में भी उतने ही अच्छी तरह काम करते हैं जितने कि जटिल दुनिया में।

इस कार्य के सबसे आश्चर्यजनक पहलुओं में से एक यह है कि यह प्रायिकता (probability) की अवधारणा को कैसे संभालता है। क्वांटम मैकेनिक्स में, हम यह नहीं कह सकते कि एक कण वास्तव में कहाँ है, केवल यह कि उसे एक निश्चित स्थान पर खोजने की संभावना कितनी है। लेखकों ने दिखाया कि उनकी वास्तविक-संख्या प्रणाली इस प्रायिकता को ठीक उसी तरह सुरक्षित रखती है जैसे जटिल प्रणाली करती है। जैसे-जैसे एक कण अंतरिक्ष में घूमता है, उसे कहीं भी खोजने की कुल संभावना सौ प्रतिशत बनी रहती है, भले ही वह फैलता रहे या बाधाओं के साथ परस्पर क्रिया करे। प्रायिकता का यह संरक्षण क्वांटम सिद्धांत का एक आधार स्तंभ है, और तथ्य यह है कि वास्तविक-संख्या मॉडल इसे बनाए रखता है, यह पुष्टि करता है कि प्रणाली भौतिक रूप से सुदृढ़ है। शोधकर्ताओं ने प्रदर्शित किया कि तरंग फलन (wave function) का "काल्पनिक" भाग, जो आमतौर पर हस्तक्षेप (interference) के लिए आवश्यक चरण सूचना (phase information) ले जाता है, प्रभावी रूप से वास्तविक-संख्या युग्मों के ज्यामितिक घूर्णन (geometric rotation) द्वारा प्रतिस्थापित कर दिया गया है।

यह शोध उन गणितीय आधारों को भी संबोधित करता है जो वास्तविक-संख्या सिद्धांत को कठोर बनाने के लिए आवश्यक हैं। लेखकों ने एक प्रसिद्ध प्रमेय का एक नया संस्करण स्थापित किया, जिसे स्टोन का प्रमेय (Stone's theorem) कहा जाता है, जो एक प्रणाली के समय के साथ परिवर्तन को उस पर लगने वाले बलों से जोड़ता है। जटिल दुनिया में, यह प्रमेय यूनिटरी ऑपरेटरों (unitary operators) पर निर्भर करता है, जो एक जटिल स्थान में वेक्टर की लंबाई को सुरक्षित रखते हैं। वास्तविक-संख्या दुनिया में, लेखकों ने सिद्ध किया कि इसके समकक्ष ऑपरेटर ऑर्थोगोनल (orthogonal) और सिम्प्लेक्टिक (symplectic) दोनों हैं। इसका अर्थ है कि वे वेक्टर्स के आकार और उनके बीच के विशिष्ट ज्यामितिक कोणों दोनों को सुरक्षित रखते हैं। यह गणितीय प्रमाण सुनिश्चित करता है कि वास्तविक-संख्या विकास स्थिर और सुसंगत है, जो पूरे ढांचे के लिए एक ठोस आधार प्रदान करता है।

यह दिखाकर कि विभेदक क्रॉस-सेक्शन (differential cross-section), जो यह मापता है कि कण के एक विशेष दिशा में प्रकीर्णित होने की कितनी संभावना है, शोधकर्ताओं ने उस अंतर को पाट दिया है जो दशकों से मौजूद था। उन्होंने केवल यह सुझाव नहीं दिया कि एक वास्तविक-संख्या सिद्धांत काम कर सकता है; उन्होंने सामान्य समीकरणों को व्युत्पन्न किया और सिद्ध किया कि संभावितताओं (potentials) के एक विस्तृत वर्ग के लिए, परिणाम मानक सिद्धांत से अभिन्न हैं। इसमें क्षमता चरणों (potential steps) और बाधाओं में कणों का व्यवहार भी शामिल है, जहाँ तरंग फलन उन क्षेत्रों में विस्तारित होता है जो शास्त्रीय भौतिकी द्वारा वर्जित माने जाते हैं। इन वर्जित क्षेत्रों में, कण को खोजने की संभावना तेजी से घटती है, एक ऐसा व्यवहार जिसे वास्तविक-संख्या मॉडल पूर्ण सटीकता के साथ पुनरुत्पादित करता है।

इस कार्य के निहितार्थ केवल एक गणितीय जिज्ञासा तक सीमित नहीं हैं। यह इस लंबे समय से चली आ रही धारणा को चुनौती देता है कि क्वांटम दुनिया का वर्णन करने के लिए जटिल संख्याएं अपरिहार्य हैं। यदि ब्रह्मांड को केवल वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, तो यह सुझाव देता है कि क्वांटम मैकेनिक्स की "काल्पनिक" प्रकृति हमारे द्वारा चुने गए गणितीय भाषा का एक परिणाम हो सकती है, न कि प्रकृति का एक मौलिक गुण। शोधकर्ताओं ने दिखाया है कि वास्तविक-संख्या स्थान की सिम्प्लेक्टिक संरचना सभी आवश्यक क्वांटम जानकारी को एनकोड करने के लिए पर्याप्त है, जिसमें हस्तक्षेप पैटर्न की ओर ले जाने वाले चरण संबंध भी शामिल हैं। यह क्वांटम गतिकी (quantum dynamics) को समझने के नए तरीके खोलता है, जो क्वांटम क्षेत्र की खोज के लिए आवश्यक सैद्धांतिक उपकरणों को सरल बना सकता है।

अंततः, यह अध्ययन एक स्पष्ट और कठोर प्रदर्शन प्रदान करता है कि वास्तविक क्वांटम मैकेनिक्स मानक सिद्धांत का कमजोर या अधूरा संस्करण नहीं है। यह एक पूरी तरह से समकक्ष रूपण है जो समान भौतिक घटनाओं को पकड़ता है। जटिल संख्याओं के बिना टनलिंग और प्रकीर्णन का वर्णन करने की क्षमता यह दर्शाती है कि क्वांटम दुनिया का विचित्र व्यवहार मजबूत है और यह उन विशिष्ट गणितीय उपकरणों पर निर्भर नहीं करता जिनका हम इसे वर्णित करने के लिए उपयोग करते हैं। शोधकर्ताओं ने वास्तविक संख्याओं की परिचित दुनिया और क्वांटम मैकेनिक्स की रहस्यमय दुनिया के बीच एक पुल बनाया है, यह सिद्ध करते हुए कि दोनों एक एकल, सुसंगत ढांचे के भीतर सह-अस्तित्व में रह सकते हैं। यह कार्य हमें वास्तविकता को समझने के लिए उपयोग किए जाने वाले अपने गणितीय विवरणों की प्रकृति पर पुनर्विचार करने के लिए आमंत्रित करता है, जो यह सुझाव देता है कि ब्रह्मांड पहले की तुलना में अधिक वास्तविक, मूर्त ज्यामिति पर आधारित हो सकता है।