Construction of isoscattering non-isospectral quantum graphs using the concept of a germ graph

في عالم الفيزياء، هناك لغز قائم منذ زمن طويل حول مقدار ما يمكننا تعلمه عن جسم مخفي بمجرد الاستماع إلى صوته. إذا نقرت على جرس، فإن حدة الصوت ونبرته تخبرك بشيء ما عن حجمه وشكله. لعقود من الزمن، تساءل العلماء عما إذا كان ذلك الصوت هو بصمة مثالية. هل يمكن لجسمين مختلفين تماماً، ربما بأشكال أو هياكل داخلية مختلفة، أن ينتجا نفس الصوت تماماً؟ في مجال ميكانيكا الكم، حيث تنطبق القواعد على الأشياء الصغيرة جداً، يأخذ هذا السؤال شكلاً محدداً يتعلق بـ "الرسوم البيانية الكمومية" (quantum graphs). هذه ليست رسومات فيزيائية بل نمايات رياضية لشبكات، مثل شبكة من الأسلاك أو الأنابيب، حيث تنتقل الموجات عبر الوصلات. يستخدم الباحثون هذه النماذج لفهم كيفية انتقال الطاقة عبر الأنظمة المعقدة، من الدوائر الإلكترونية الصغيرة إلى الطريقة التي ينتقل بها الضوء عبر الألياف البصرية. الغموض المركزي هو ما إذا كان نمط الموجات التي ترتد داخل الشبكة كافياً للكشف عن المخطط الحقيقي للشبكة، أو ما إذا كانت المخططات المختلفة يمكن أن تختبئ خلف نفس البصمة الصوتية.

قام فريق من الباحثين في معهد الفيزياء في بولندا مؤخراً بمعالجة هذه المشكلة من خلال بناء نوع جديد من الهياكل الرياضية. بدأوا بقطعة مركزية صغيرة من الشبكة يسمونها "الرسم البياني الجرثومي" (germ graph). فكر في هذا الرسم البياني الجرثومي كمركز بسيط له نقطتي اتصال محددتين، مثل بابين متميزين في مبنى صغير. أظهر اكتشاف رئيسي توصل إليه علماء آخرون سابقاً أن هذين البابين متطابقان صوتياً؛ أي إذا كنت تستمع إلى الموجات الخارجة من أي من البابين، فستبدو متشابهة تماماً، حتى وإن كان البابان في أماكن مختلفة من الهيكل. قرر الفريق البولندي اختبار حدود هذه الفكرة. تساءلوا: ماذا يحدث إذا أرفقنا شكلين مختلفين تماماً بهذين البابين المتطابقين؟ هل سيظل الهيكل بأكمله يبدو نفسه من الخارج، أم أن الاختلاف في الأشكال المرفقة سيغير الصوت؟

للإجابة على هذا، أرفق الباحثون اثنين من "رسومات الإرفاق" (attachment graphs) المختلفة بالرسم البياني الجرثومي. كان أحد المرفقات عبارة عن هيكل مكون من حلقتين، يشبه رقم ثمانية. أما الآخر فكان هيكلاً أكثر تعقيداً مكوناً من ثلاث حلقات. والأهم من ذلك، أنهم ضبطوا أطوال الأسلاك في كلا المرفقين بعناً، بحيث يكون إجمالي طول السلك في كل منهما متساوياً تماماً، ويبلغ 1.5 متر لكل منهما، رغم اختلاف أشكالهما. وعندما حسبوا الخصائص الرياضية لهذين المرفقين المنفصلين، وجدوا أنهما غير متطابقين في اهتزازاتهما الداخلية. وباستخدام طريقة عد قياسية للأشكال، أثبتوا أن الشكل ذو الحلقتين والشكل ذو الثلاث حلقات لهما هياكل داخلية مختلفة، وبالتالي لا يمكن أن يكون لهما نفس مجموعة الترددات الداخلية بالضبط. لقد كانا، بطريقة ما، آلتين موسيقيتين مختلفتين.

ومع ذلك، جاءت المفاجأة عندما نظر الباحثون إلى كيفية تفاعل هذه الأشكال مع العالم الخارجي. قاموا بمحاكاة إرسال موجات إلى هذه الهياكل من خلال نقطة اتصال واحدة وقاسوا كيف ترتد الموجات. على الرغم من أن المرفقين كان لهما أشكال مختلفة وترددات داخلية مختلفة، إلا أن الموجات العائدة كانت غير قابية للتمييز. أنتج الشكلان المختلفان نفس نمط التشتت تماماً. كان الأمر كما لو أن آلتين موسيقيتين مختلفتين، عند عزفهما بنوع معين من الصوت، تنتجان صدىً متطابقاً. وقد أكد هذا أن المرفقين، رغم اختلافهما من الداخل، كانا "متماثلي التشتت" (isoscattering)، مما يعني أنهما يشتتان الموجات بنفس الطريقة تماماً.

ثم ذهب الفريق بهذه النتيجة خطوة أبعد لبناء شبكتين كاملتين أكبر. أرفقوا الشكل ذو الحلقتين بباب واحد من أبواب الرسم البياني الجرثومي، وأرفقوا الشكل ذو الثلاث حلقات بالباب الآخر. وبما أن أبواب الرسم البياني الجرثومي كانت متطابقة، ولأن المرفقين يشتتان الموجات بشكل متماثل، فقد توقع الباحثون أن الشبكتين الجديدتين الأكبر حجماً ستشتتان الموجات بنفس الطريقة أيضاً. أكدت حساباتهم ذلك. فعندما قاموا بمحاكاة إرسال موجات إلى الشبكة الكبيرة الأولى والشبكة الكبيرة الثانية، كانت الإشارات العائدة متطابقة. تصرفت الشبكتان كما لو أنهما جسم واحد.

ومع ذلك، أثبت الباحثون أيضاً أن هاتين الشبكتين الكبيرتين ليستا الجسم نفسه على الإطلاق. فمن خلال عد عدد التقاطعات والوصلات في كل منهما، أظهروا أن الشبكتين لهما "طوبولوجيا" (topologies) مختلفة، أو أشكال أساسية مختلفة. حيث امتلكت إحدى الشبكتين عدداً معيناً من خمس تقاطعات وسبع وصلات، بينما امتلكت الأخرى ستة تقاطعات وتسع وصلات. ولأن هذه الأعداد مختلفة، فإن الشبكتين تمتلكان أنماط اهتزاز داخلية ومجموعات ترددات مختلفة. إنهما ليستا "متماثلتين طيفياً" (isospectral)، أي أنهما لا تتشاركان في نفس الصوت الداخلي.

النتيجة هي زوج من الهياكل مختلفة جوهرياً في شكلها واهتزازاتها الداخلية، ومع ذلك فهي غير قابلة للتمييز تماماً عندما تستمع إلى كيفية تشتتها من الخارج. يوضح هذا الاكتشاف أنه في عالم الرسوم البيانية الكمومية، لا يكشف صوت الجسم دائماً عن شكله الحقيقي. يمكنك الحصول على مخططين مختلفين يولدان نفس استجابة التشتت تماماً. لقد أظهر الباحثون أنه من خلال استخدام مركز (hub) بفتحات اتصال متطابقة وإرفاق أشكال مختلفة ولكنها متكافئة صوتياً، يمكن للمرء بناء أعضاء آخرين من عائلة الرسوم البيانية التي تمتلك هذه الخصائص. يعزز هذا العمل فكرة أنه في المسائل العكسية (inverse problems) — حيث يحاول العلماء معرفة شكل شيء ما بناءً على كيفية سلوكه — فإن الإجابة ليست فريدة دائماً. يمكن لشيئين مختلفين أن يصدران صوتاً متطابقاً تماماً.