Construction of isoscattering non-isospectral quantum graphs using the concept of a germ graph

Nel mondo della fisica, esiste un enigma di lunga data su quanto si possa imparare di un oggetto nascosto semplicemente ascoltando il suo suono. Se colpisci una campana, il tono e l'inflessione che produce dicono qualcosa sulla sua dimensione e sulla sua forma. Per decenni, gli scienziati si sono chiesti se quel suono sia un'impronta digitale perfetta. Potrebbero due oggetti completamente diversi, forse con forme o strutture interne differenti, produrre esattamente lo stesso suono? Nel regno della fisica quantistica, dove valgono le regole del mondo infinitesimo, questa domanda assume una forma specifica che coinvolge i "grafi quantistici". Questi non sono disegni fisici, ma modelli matematici di reti, come una ragnatela di fili o tubi, dove le onde viaggiano lungo le connessioni. I ricercatori usano questi modelli per capire come l'energia si muove attraverso sistemi complessi, dai minuscoli circuiti elettronici al modo in cui la luce viaggia attraverso le fibre ottiche. Il mistero centrale è se il modello delle onde che rimbalzano all'interno di una rete sia sufficiente a rivelare la vera pianta della rete, o se diverse piante possano nascondersi dietro la stessa firma acustica.

Un team di ricercatori presso l'Istituto di Fisica in Polonia ha affrontato recentemente questo problema costruendo un nuovo tipo di struttura matematica. Sono partiti da un piccolo pezzo centrale di una rete che chiamano "grafo germe". Pensate a questo grafo germe come a un semplice snodo con due punti di connessione specifici, come due distinti ingressi su un piccolo edificio. Una scoperta chiave fatta in precedenza da altri scienziati ha mostrato che queste due porte sono acusticamente identiche; se ascoltaste le onde che escono da una qualsiasi delle due porte, suonerebbero esattamente allo stesso modo, anche se le porte si trovano in punti diversi della struttura. Il team polacco ha deciso di testare i limiti di questa idea. Si sono chiesti: cosa succede se si attaccano due forme completamente diverse a queste due porte identiche? L'intera struttura suonerebbe ancora allo stesso modo dall'esterno, o la differenza nelle forme attaccate cambierebbe il suono?

Per rispondere a questo, i ricercatori hanno attaccato due diversi "grafi di attacco" al grafo germe. Un attacco era una struttura composta da due cicli, simile a un otto. L'altro era una struttura più complessa composta da tre cicli. Fondamentalmente, hanno regolato con cura la lunghezza dei fili in entrambi gli attacchi in modo che la quantità totale di filo in ciascuno fosse esattamente la stessa, ovvero 1,5 metri, nonostante le loro forme fossero diverse. Quando hanno calcolato le proprietà matematiche di questi due attacchi separati, hanno scoperto che non erano identici nelle loro vibrazioni interne. Usando un metodo di conteggio standard per le forme, hanno dimostrato che la forma a due cicli e la forma a tre cicli avevano strutture interne diverse e, pertanto, non potevano possedere esattamente lo stesso insieme di frequenze interne. Erano, in un certo senso, strumenti diversi.

Tuttavia, la sorpresa è arrivata quando i ricercatori hanno osservato come queste forme interagivano con il mondo esterno. Hanno simulato l'invio di onde in queste strutture attraverso un singolo punto di connessione e hanno misurato come le onde rimbalzavano indietro. Nonostante i due attacchi avessero forme diverse e frequenze interne diverse, le onde che tornavano indietro erano indistinguibili. Le due diverse forme producevano esattamente lo stesso schema di diffusione. Era come se due strumenti musicali diversi, se suonati con un tipo specifico di suono, producessero un eco identico. Ciò ha confermato che i due attacchi, pur essendo diversi all'interno, erano "isoscattering", ovvero diffondevano le onde nello stesso modo.

Il team ha poi portato questa scoperta un passo avanti per costruire due reti più grandi. Hanno attaccato la forma a due cicli a un ingresso del grafo germe e la forma a tre cicoli all'altro ingresso. Questo ha creato due nuove, più grandi reti. Poiché le porte del grafo germe erano identiche e i due attacchi diffondevano le onde in modo identico, i ricercatori hanno previsto che le due nuove reti più grandi avrebbero anch'esse diffuso le onde nello stesso modo. I loro calcoli hanno confermato questo. Quando hanno simulato l'invio di onde nella prima grande rete e nella seconda grande rete, i segnali di ritorno erano identici. Le due reti si comportavano come se fossero lo stesso oggetto.

Eppure, i ricercatori hanno anche dimostrato che queste due grandi reti non erano affatto lo stesso oggetto. Contando il numero di giunzioni e connessioni in ciascuna, hanno dimostrato che le due reti avevano topologie diverse, ovvero forme fondamentali differenti. Una rete aveva un conteggio specifico di cinque giunzioni e sette connessioni, mentre l'altra ne aveva sei giunzioni e nove connessioni. Poiché questi conteggi sono diversi, le due reti hanno schemi di vibrazione interna e insiemi di frequenze differenti. Non sono "isospettrali", ovvero non condividono lo stesso suono interno.

Il risultato è una coppia di strutture che sono fondamentalmente diverse nella forma e nelle vibrazioni interne, ma che sono completamente indistinguibili quando si ascolta come diffondono le onde dall'esterno. Questa scoperta dimostra che, nel mondo dei grafi quantistici, il suono di un oggetto non rivela sempre la sua vera forma. È possibile avere due diverse piante che generano la stessa risposta di diffusione. I ricercatori hanno mostrato che, utilizzando un hub centrale con punti di connessione identici e attaccando forme diverse ma acusticamente equivalenti, è possibile costruire altri membri della famiglia di grafi che possiedono queste proprietà. Questo lavoro rafforza l'idea che nei problemi inversi — dove gli scienziati cercano di capire com'è fatto qualcosa basandosi su come si comporta — la risposta non è sempre univoca. Due cose diverse possono effettivamente suonare esattamente allo stesso modo.