Euler's thirty-six officers need not all be entangled: real AME(4,6), families and classification

في عالم الكم، يمكن للجسيمات أن تصبح مرتبطة بطرق تتحدى تجربتنا اليومية، وهي ظاهرة تُعرف باسم "التشابك". عندما تكون مجموعة من الجسيمات متشابكة بشكل مثالي، فهذا يعني أنه بغض النظر عن كيفية تقسيم المجموعة إلى جزأين أصغر، فإن كل جزء يبدو عشوائياً وغير مترابط تماماً بمفرده، ومع ذلك يظلان منسجمين تماماً ككل. يطلق العلماء على هذه التكوينات الخاصة اسم حالات "التشابك الأقصى المطلق". وهي ليست مجرد فضول رياضي؛ بل تشكل الأساس للتواصل الكمي الآمن وهي ضرورية لبناء الجيل القادم من الحواسيب الكمية. لعقود من الزمن، كان الباحثون يبحثون عن نوع محدد من هذه الحالات يتضمن أربع مجموعات من ستة خيارات لكل منها. هذا البحث مرتبط بعمق بلغز شهير من القرن الثامن عشر طرحه عالم الرياضيات ليونارد أويلر، والذي تساءل فيه عما إذا كان من الممكن ترتيب ستة وثلاثين ضابطاً من ست رتب مختلفة وست فيالق مختلفة في شبكة مربعة بحيث لا تتكرر أي رتبة أو فيلق في أي صف أو عمود. اعتقد أويلر أن هذا مستحيل، ولفترة طويلة، ساد الاعتقاد بأنه لا يوجد حل كمي أيضاً، خاصة إذا كان مكوناً من أعداد حقيقية بسيطة بدلاً من أعداد مركبة مجردة.

لفترة طويلة، كانت الحلول الوحيدة المعروفة لهذا اللغز الكمي هي حلول مركبة، مما يعني أنها تعتمد على أعداد تتضمن الجذر التربيعي لـ (سالب واحد)، وهو مفهوم ليس له نظير مباشر في عالم الأرقام الحقيقية الفيزيائي. أدى هذا بالعديد من الخبراء إلى الاشتباه في أن حلاً باستخدام الأرقام الحقيقية فقط قد يكون مستحيلاً. ومع ذلك، فقد دحضت دراسة جديدة هذا الاشتباه بشكل قاطع. فقد تمكن الباحثون الآن من بناء حالة كمية محددة تحل لغز أويلر باستخدام الأرقام الحقيقية فقط. تتضمن هذه الحالة أربعة أطراف، لكل منها ستة مستويات، وهي المرة الأولى التي يتم فيها العثور على مثل هذا الحل الذي لا يعتمد على معاملات مركبة. يؤكد هذا الاكتشاف أن الحلول الحقيقية توجد تماماً كما توجد الحلول المركبة، مما جسر فجوة صمدت لسنوات.

وجد المؤلف وراء هذا الاكتشاف، بالاش دانديا، حلاً يتسم بكونه "متناثراً" بشكل ملحوظ، مما يعني أنه يستخدم عددًا أقل من اللبنات مقارنة بأي نسخة معروفة سابقاً. وبينما كانت الحلول السابقة تتطلب عدداً كبيراً من المكونات غير الصفرية، فإن هذه الحالة الجديدة لا تحتاج سوى إلى ستين مكوناً. ولتخيل ذلك، تخيل الضباط الستة والثلاثين مرتبين في شبكة؛ في هذا الحل الجديد، يوجد اثنا عشر ضابطاً "كلاسيكياً"، مما يعني أنهم موجودون في حالة واحدة محددة، بينما يوجد الأربعة والعشرون الآخرون "متشابكين"، أي موجودون كمزيج من احتمالين في آن واحد. هذا المزيج ضروري لأن الحالة متناثرة للغاية؛ فلو كان هناك أقل من اثنين وسبعين مكوناً، لكان لبعض الضباط أن يكونوا كلاسيكيين. وقد أوضح المؤلف أن هؤلاء الضبباط الاثني عشر الكلاسيكيين ليسوا عشوائيين، بل يقعون في فضاء رياضي محدد معرف بـ "تماثل محلي"، مما سمح للمؤلف بتبسيط المشكلة من تحدٍ غير خطي معقد إلى مجموعة من المعادلات الخطية التي يمكن حلها مباشرة.

باستخدام هذه الرؤية، لم يكتفِ المؤلف بإيجاد حل واحد، بل اكتشف عائلات كاملة من الحلول. لقد وصف عائلتين مستمرتين من الحالات تلتقيان عند الحل الحقيقي المحدد الذي وجده. إحدى العائلات مدعومة باثنين وسبعين حالة أساسية، بينما الأخرى مدعومة بالستين حالة للحل المتناثر. تعمل هذه العائلات مثل مشهد من الاحتمالات، حيث يمكن للمؤلف الانتقال بسلاسة من نوع من الحالات إلى نوع آخر. وعند أطراف هذه العائلات، وجد أن الحالات تصبح حقيقية ومتناثرة مرة أخرى، ولكن مع ترتيب مختلف للضباط الكلاسيكيين. ومن خلال استكشاف هذه العائلات، تمكن المؤلف من تصنيف كل الحلول الحقيقية من هذا النوع. وقد وجد أن هناك بالضبط أربعة آلاف وستة وتسعين حالة حقيقية متميزة، والتي تندرج تحت عشرين فئة بالضبط بناءً على كيفية تحويلها إلى بعضها البعض من خلال التغييرات المحلية والتبديلات.

تحقق المؤلف من نتائج عمله بدقة متناهية، باستخدام برامج حاسوبية للتحقق من كل تفصيل رياضي. وقد أكد أن هذه الحالات هي نقاط معزولة، مما يعني أنه لا يمكنك تغيير شكلها بسلاسة إلى حالات حقيقية أخرى دون كسر قواعد التشابك. هذه العزلة مهمة لأنها تشير إلى أن هذه الحالات فريدة وقوية. كما قارنت الدراسة بين نتائج عمله والحلول الحقيقية المكتشفة مؤخًا، موضحة أنه بينما تعادل بعضها عمله، ينتمي البعض الآخر إلى فئات مختلفة تماماً ذات خصائص مختلفة. على سبيل المثال، يحتوي حل حقيقي آخر معروف على ستة وتسعين مكوناً ويتصرف بشكل مختلف، حيث يفتقر إلى الضباط الكلاسيكيين الموجودين في هذا العمل الجديد. يسلط هذا التمييز الضوء على أن مشهد الحلول الكمية غني ومتنوع، حيث تؤدي أنواع مختلفة من الحالات أدواراً محتملة مختلفة في التكنولوجيا الكمية.

تتجاوز آثار هذا العمل حل لغز قديم. فهذه الحالات المتشابكة كلياً والحقيقية مثالية لبناء بوابات "الواحدية المزدوجة" (dual-unitary)، وهي أدوات قوية لإنشاء دوائر كمية يمكنها معالجة المعلومات بكفاءة. ولأن هذه الحالات تستخدم أرقاماً حقيقية، فمن المحتمل أن يكون تنفيذها أسهل في الأنظمة الفيزيائية حيث يصعب تحقيق الأعداد المركبة مباشرة. يثبت هذا الاكتشاف أن عالم الكم يمكنه استيعاب هذه الهياكل المثالية ذات الأرقام الحقيقية، مما يفتح أبواباً جديدة لتصميم الأكواد الكمية والنماذج الهولوغرافية. لقد جعل المؤلف بياناته والبرنامج المستخدم للتحقق من نتائجه متاحاً للجم_ العامة، مما يسمح للآخرين بالبناء على هذا الأساس. ومن خلال تحويل لغز توافقي من قرون مضت إلى واقع كمي ملموس، لا يجيب هذا العمل على سؤال ظل قائماً لفترة طويلة فحسب، بل يوفر أيضاً مجموعة أدوات جديدة لمستقبل الهندسة الكمية.