Euler's thirty-six officers need not all be entangled: real AME(4,6), families and classification

In de kwantumwereld kunnen deeltjes verbonden raken op manieren die onze alledaagse ervaring tarten, een fenomeen dat verstrengeling wordt genoemd. Wanneer een groep deeltjes perfect verstrengeld is, betekent dit dat ongeacht hoe je de groep in twee kleinere delen splitst, elk deel er op zichzelf volkomen willekeurig en ongerelateerd uitziet, terwijl ze als geheel toch perfect gecoördineerd blijven. Wetenschappers noemen deze speciale configuraties "absoluut maximaal verstrengelde" toestanden. Ze zijn niet slechts wiskundige curiositeiten; ze vormen het fundament voor veilige kwantumcommunicatie en zijn essentieel voor het bouwen van de volgende generatie kwantumcomputers. Decennialang hebben onderzoekers gezocht naar een specifiek type van deze toestanden bestaande uit vier groepen van zes opties elk. Deze zoektocht is diep verbonden met een beroemde puzzel uit de 18e eeuw, geponeerd door de wiskundige Leonhard Euler, die vroeg of het mogelijk was om dertig zes officieren van zes verschillende rangen en zes verschillende regimenten in een vierkant raster te rangschikken, zodat geen rang of regiment wordt herhaald in een rij of kolom. Euler geloofde dat dit onmogelijk was, en voor een lange tijd werd gedacht dat er ook geen kwantumoplossing zou bestaan, vooral niet een die gemaakt is van eenvoudige, reële getallen in plaats van complexe, abstracte getallen.

Lange tijd waren de enige bekende oplossingen voor deze kwantumpuzzel complex, wat betekent dat ze vertrouwden op getallen die de wortel van negatieve één bevatten, een concept dat geen directe tegenhanger heeft in de fysieke wereld van reële getallen. Dit leidde veel experts tot het vermoeden dat een oplossing met alleen reële getallen onmogelijk zou zijn. Echter, een nieuwe studie heeft die verdenking definitief weerlegd. Onderzoekers hebben nu een specifieke kwantumtoestand geconstrueerd die de puzzel van Euler oplost met alleen reële getallen. Deze toestand betreft vier partijen, elk met zes niveaus, en het is de eerste keer dat een dergelijke oplossing is gevonden die niet afhankelijk is van complexe coëfficiënten. De ontdekking bevestigt dat er reële oplossingen bestaan precies wanneer complexe dat ook doen, waardoor een kloof is gedicht die jarenlang had bestaan.

De auteur achter deze ontdekking, Palash Pandya, vond een oplossing die opmerkelijk ijl (sparse) is, wat betekent dat deze minder bouwstenen gebruikt dan elke eerder bekende versie. Terwijl eerdere oplossingen een groot aantal niet-nul componenten vereisten, heeft deze nieuwe toestand er slechts zestig nodig. Om dit te visualiseren: stel je de dertig zes officieren voor, gerangschikt in een raster. In deze nieuwe oplossing zijn twaalf van de officieren "klassiek", wat betekent dat ze in een enkele, definitieve toestand bestaan, terwijl de resterende vierentwintig "verstrengeld" zijn, bestaand als een mengeling van twee mogelijkheden tegelijkertijd. Deze mix is noodzakelijk omdat de toestand zo ijl is; als er minder dan tweeënzeventig componenten zouden zijn, zouden sommige officieren klassiek moeten zijn. De auteur toonde aan dat deze twaalf klassieke officieren niet willekeurig zijn; ze zitten in een specifieke wiskundige ruimte gedefinieerd door een lokale symmetrie, wat de auteur in staat stelde om het probleem te vereenvoudigen van een complexe, niet-lineaire uitdaging naar een reeks lineaire vergelijkingen die direct opgelost konden worden.

Met dit inzicht vond de auteur niet slechts één oplossing; hij ontdekte volledige families van toestanden. Hij beschreef twee continue families van toestanden die elkaar ontmoeten bij de specifieke reële oplossing die hij vond. Eén familie wordt ondersteund door tweeënzeventig basis-toestanden, terwijl de andere wordt onderstend door de zestig toestanden van de ijle oplossing. Deze families fungeren als een landschap van mogelijkheden, waarbij de auteur vloeiend van het ene type toestand naar het andere kan bewegen. Aan de uiteinden van deze families ontdekte hij dat de toestanden weer reëel en ijl worden, maar met een andere arrangement van de klassieke officieren. Door deze families te verkennen, was de auteur in staat om elke mogelijke reële oplossing van dit type te classificeren. Hij vond dat er exact vierduizend en tweeënnegentig verschillende reële toestanden zijn, die in exact twintig verschillende klassen vallen op basis van hoe ze naar elkaar getransformeerd kunnen worden via lokale veranderingen en permutaties.

De auteur verifieerde zijn bevindingen met extreme precisie, gebruikmakend van computercodes om elk wiskundig detail te controleren. Hij bevestigde dat deze toestanden geïsoleerde punten zijn, wat betekent dat men ze niet vloeiend kan vervormen naar andere reële toestanden zonder de regels van verstrengeling te breken. Deze isolatie is significant omdat het suggereert dat deze toestanden uniek en robuust zijn. De studie vergeleek ook de bevindingen met andere recent ontdekte reële oplossingen, waarbij werd aangetoond dat hoewel sommige equivalent zijn aan zijn werk, andere tot geheel andere categorieën behoren met verschillende eigenschappen. Zo heeft een andere bekende reële oplossing negentig zes componenten en gedraagt deze zich anders, omdat deze de klassieke officieren mist die in dit nieuwe werk worden gevonden. Dit onderscheid benadrukt dat het landschap van kwantumoplossingen rijk en gevarieerd is, met verschillende soorten toestanden die verschillende potentiële rollen kunnen vervullen in de kwantumtechnologie.

De implicaties van dit werk reiken verder dan het oplossen van een oude puzzel. Deze reële, maximaal verstrengelde toestanden zijn perfect voor het bouwen van "dual-unitary" poorten, wat krachtige instrumenten zijn voor het creëren van kwantumcircuits die informatie efficiënt kunnen verwerken. Omdat deze toestanden reële getallen gebruiken, zijn ze potentieel gemakkelijker te implementeren in fysieke systemen waar complexe getallen moeilijker direct te realiseren zijn. De ontdekking bewijst dat de kwantumwereld deze perfecte, met reële getallen gebaseerde structuren kan huisvesten, wat nieuwe deuren opent voor het ontwerpen van kwantumcodes en holografische modellen. De auteur heeft zijn gegevens en de code die gebruikt is om de resultaten te verifiëren publiekelijk beschikbaar gesteld, zodat anderen hierop voort kunnen bouwen. Door een eeuwenoude combinatorische puzzel om te zetten in een concrete kwantumrealiteit, geeft dit werk niet alleen antwoord op een langlopende vraag, maar biedt het ook een nieuw instrumentarium voor de toekomst van kwantumengineering.