Conformalized Physics-Informed Weak Regression for Parameter Estimation in Epidemic Models

غالبًا ما يصف علماء الرياضيات الأوبئة باستخدام نظام من الحجرات، تمامًا مثل دلاء الماء المتصلة بأنابيب. في هذه النماذج، ينتقل الناس من كونهم عرضة للإصابة إلى أن يصبحوا مصابين، ثم يتعافون أو يموتون. وتتحدد سرعة انتقالهم بين هذه الحجرات من خلال معايير فيزيائية: مدى عدوى الفيروس، ومدة الإصابة، وسرعة تعافي الناس. إن معرفة هذه الأرقام أمر حيوي؛ فهي تخبر مسؤولي الصحة العامة بمدى سرعة نمو التفشي، وعدد الأسرة التي قد تكون مطلوبة في المستشفيات، وما إذا كان الإغلاق أو حملة التطعيم ستنجح. لسنوات طويلة، حاول العلماء العثور على هذه الأرقام الخفية من خلال النظر في بيانات العالم الحقيقي، مثل الأعداد اليومية للمرضى. وهذه لغز صعب لأن البيانات غالبًا ما تكون غير منظمة، أو ناقصة، أو تُجمع على فترات زمنية غير منتظمة. وفي السنوات الأخيرة، استُخدمت طريقة شائعة تسمى "الشبكات العصبية المستوحاة من الفيزياء" لحل هذه المشكلة. وهي عبارة عن برامج حاسوبية معقدة تتعلم كيفية تخمين المعلمات عبر التدريب لساعات أو حتى أيام، لكنها غالبًا ما تفشل في تقديم مقياس واضح لمدى خطأ تخميناتها.

تقدم دراسة جديدة من الجامعة التقنية في الدنمارك نهجًا مختلفًا، أسرع بكثير، ويخبر العلماء أيضًا بمدى دقة النتائج التي يمكنهم الوثوق بها. فقد طور الباحثون طريقة تتعامل مع المشكلة كأحجية رياضية مباشرة بدلاً من كونها عملية تعلم. فبدلاً من محاولة تخمين سرعة التغير في البيانات، وهو أمر معروف بصعوبة قياسه بسبب الضجيج، تنظر طريقتهم إلى التراكم الإجمالي للحالات بمرور الوقت. ومن خلال دمج البيانات (integration)، فإنهم يعملون على تنعيم الضجيج ويمكنهم حل المعلمات بشكل فوري تقريبًا. اختبر الفريق هذه التقنية الجديدة على أحد عشر نموذجًا مختلفًا للأمراض، تتراوح من نموذج بسيط لمرض كوفيد-19 إلى نماذج معقدة لفيروسات زيكا وإيبولا. ووجدوا أن طريقتهم كانت أكثر دقة بمئات أو حتى آلاف المرات من مناهج الشبكات العصبية الشائعة، كما أنها أنتجت إجابات في أجزاء من الثانية بدلاً من الساعات. والأهم من ذلك، أنهم غلفوا هذا الحساب السريع بشبكة أمان إحصائية تولد نطاقًا من القيم المحتملة لكل معلمة. ويكون هذا النطاق ضيقًا عندما تكون البيانات واضحة، وواسعًا عندما تكون البيانات مشوشة للغاية بحيث لا تسمح بإعطاء إجابة دقيقة، مما يمنح العلماء صورة صادقة عن حالة عدم اليقين لديهم.

إن جوهر هذه الطريقة الجديدة هو التحول في كيفية قراءة البيانات. فالطرق التقليدية تحاول غالبًا حساب معدل التغيير في كل لحظة، مثل قياس سرعة سيارة من خلال مراقبة المسافة التي قطعتها في جزء من الثانية. وإذا كانت البيانات تحتوي على أي ضجيج أو فجوات، فإن حساب هذه السرعة يصبح غير دقيق للغاية. وقد أدرك الفريق الدنماركي أنه يمكنهم بدلاً من ذلك النظر إلى إجمالي المسافة المقطوعة عبر فترة زمنية أطول. وفي سياق الوباء، يعني هذا النظر إلى العدد الإجمالي للأشخاص الذين أصيبوا خلال أسبوع أو شهر، بدلاً من محاولة تحديد اللحظة الدقيقة لحدوث إصابة جديدة. هذا النهج، الذي يسملاًه المؤلف "الانحدار الضعيف" (weak regression)، أكثر قوة في مواجهة الضجيج. فهو يسمح لهم بتقدير الظروف الأولية لتفشي المرض ومعدلات الانتقال في آن واحد، وحل النظام بأكمله في عملية حسابية واحدة مغلقة. ولأن الرياضيات هنا خطية ومباشرة، فهي لا تتطلب القوة الحوسبية الهائلة أو أوقات التدريب الطويلة المرتبطة بالشبكات العصبية.

ولضمان موثوقية هذه الإجابات السريعة، أضاف الباحثون طبقة من المعايرة الإحصائية. في العديد من المجالات العلمية، يصعب معرفة مدى دقة النموذج لأن الإجابة الحقيقية تكون مجهولة. وقد حل الفريق هذه المشكلة باستخدام نماذج الأمراض نفسها لتوليد مكتبة ضخمة من الأوب "الوهمية" ذات الإجابات المعروفة. فقد قاموا بتشغيل مُقدرهم السريع على آلاف من هذه التفشيات المحاكية، كل منها بمعلمات وضجيج مختلف قليلاً، لمعرفة عدد المرات التي كانت فيها الطريقة صحيحة ومدى اتساع هوامش الخطأ المطلوبة. خلقت هذه العملية "مجتمع معايرة" سمح لهم بإرفاق فاصل ثقة بكل تقدير من تقديرات العالم الحقيقي. والنتيجة هي مجموعة من الفواصل الزمنية المتزامنة لجميع معلمات نموذج المرض في وقت واحد. فإذا كانت البيانات واضحة، يكون الفاصل ضيقًا؛ وإذا كانت البيانات شحيحة أو كانت الديناميكيات معقدة للغاية بحيث لا يمكن حلها، يتسع الفاصل تلقائيًا ليعكس حالة عدم اليقين تلك. وهذا يضمن عدم تضليل العلماء برقم يبدو دقيقًا ولكنه في الواقع خاطئ.

وعندما طبق الفريق هذه الطريقة على أحد عشر معيارًا مرجعيًا قياسيًا يُستخدم لاختبار نماذج الأمراض، كانت النتائج مذهلة. ففي خمس عشرة حالة من أصل اثنتين وعشرين سيناريو مختلفًا شملت أمراضًا ومستويات ضجيج متنوعة، أنتجت طريقتهم التقديرات الأكثر دقة. وبالنسبة للنماذج التي كانت فيها البيانات كثيفة بما يكفي لحل الديناميكيات، كانت تقديراتهم أكثر دقة بواحد إلى أربعة مراتب عشرية مقارنة بتلك التي سجلتها طرق الشبكات العصبية. أما من حيث السرعة، فقد كان الفرق أكثر دراماتيكية؛ فبينما تطلبت الشبكات العصبية أوقات تدريب تتراوح بين عشرين دقيقة وأكثر من تسعين ساعة، أنتجت الطريقة الجديدة مجموعة كاملة من التقديرات وفواصل عدم اليقين الخاصة بها في أقل من ميلي ثانية واحدة. وحتى عندما أدرج الباحثون الوقت اللازم لتوليد بيانات المعايرة والتحقق من النتائج، استغرقت العملية بأكملها أقل من دقيقتين. وتعني هذه السرعة أن مسؤولي الصحة العامة يمكنهم، من الناحية النظرية، تحديث فهمهم للتفشي في الوقت الفعلي مع ورود بيانات جديدة، بدلاً من الانتظار لأيام حتى يكتمل تدريب النموذج.

كما اختبرت الدراسة الطريقة على بيانات تاريخية حقيقية، وتحديدًا تفشي الإنفلونزا عام 1978 في مدرسة داخلية بريطانية. وهنا، قارن الباحثون نتائجهم بتحليل بايزي (Bayesian analysis) مفصل نُشر سابقًا. أنتجت طريقتهم فواصل تتداخل مع الفواصل الموثوقة للدراسة البايزية، مما أكد أن النهج السريع والبسيط يمكنه التقاط نفس الواقع البيولوجي الذي تلتقطه الطرق الأكثر تعقيدًا وثقلاً من الناحية الحوسبية. وفي هذه الحالة، أظهروا أيضًا كيفية دمج المعرفة المسبقة، مثل معدل التعافي المعروف، لزيادة إحكام التقديرات. وأثبتت الطريقة مرونة كافية للتعامل مع معدلات الانتقال المتغيرة زمنيًا، حيث تتغير عدوى الفيروس بمرور الوقت بسبب التدخلات أو ظهور متحورات جديدة. وفي هذه الاختبارات، تفوقت الطوطة الجديدة مرة أخرى على النماذج المرجعية للشبكات العصبية، حيث قدمت تقديرات دقيقة لكيفية تغير الانتقال بمرور الوقت في جزء ضئيل من الوقت.

ويؤكد الباحثون أن هذه الطريقة لا تحل محل أشكال التحليل الأخرى بل تكملها. وهي قوية بشكل خاص عندما تكون البيانات كافية لحل الديناميكيات الأساسية للمرض. ومع ذلك، فإن الطريقة تعرف حدودها أيضًا؛ فعندما تكون البيانات شحيحة للغاية أو الضجيج مرتفعًا جدًا، تتوسع فواصل الثقة طبيعيًا لتغطي نطاقًا واسعًا من الاحتمالات، مما يشير إلى أن البيانات ببساطة لا يمكنها دعم إجابة دقيقة. وهذا الصدق بشأن عدم اليقين هو ميزة رئيسية. وتظهر الدراسة أنه بالنسبة لفئة واسعة من نماذج الأوبئة، فإن التدريب المعقد لـ "الصندوق الأسود" في الشبكات العصبية ليس ضروريًا. فمن خلال العودة إلى الفيزياء الأساسية للمشكلة واستخدام نهج متكامل وقوي، يمكن للعلماء تحقيق دقة أعلى وقياس أفضل لعدم اليقين في غضون ميلي ثوانٍ معدودة. وهذا يفتح الباب أمام نمذجة أكثر استجابة وموثوقية للتفشيات المستقبلية، حيث تكون السرعة والوضوح بنفس أهمية الأرقام نفسها.