Conformalized Physics-Informed Weak Regression for Parameter Estimation in Epidemic Models

महामारियों को अक्सर गणितज्ञों द्वारा 'कंपार्टमेंट्स' (compartments) की एक प्रणाली का उपयोग करके वर्णित किया जाता है, जो पानी की बाल्टियों की तरह होती हैं जो पाइपों से जुड़ी होती हैं। इन मॉडलों में, लोग संक्रमित होने से लेकर ठीक होने या मृत्यु होने तक, विभिन्न अवस्थाओं (buckets) में चलते हैं। इन अवस्थाओं के बीच उनके परिवर्तन की गति भौतिक मापदंडों (physical parameters) द्वारा निर्धारित होती है: जैसे कि वायरस कितना संक्रामक है, संक्रमण कितने समय तक रहता है, और लोग कितनी जल्दी ठीक होते हैं। इन संख्याओं को जानना अत्यंत महत्वपूर्ण है। वे सार्वजनिक स्वास्थ्य अधिकारियों को बताते हैं कि प्रकोप कितनी तेजी से बढ़ेगा, कितने अस्पतालों के बिस्तरों की आवश्यकता हो सकती है, और क्या लॉकडाउन या टीकाकरण अभियान सफल होगा। वर्षों से, वैज्ञानिक वास्तविक दुनिया के डेटा, जैसे कि बीमार लोगों की दैनिक संख्या को देखकर, इन छिपे हुए नंबरों को खोजने का प्रयास करते रहे हैं। यह एक कठिन पहेली है क्योंकि डेटा अक्सर अव्यवस्थित, अधूरा या अनियमित अंतराल पर एकत्र किया जाता है। हाल के वर्षों में, "फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड न्यूरल नेटवर्क" (physics-informed neural networks) नामक एक लोकप्रिय विधि का उपयोग इसे हल करने के लिए किया गया है। ये जटिल कंप्यूटर प्रोग्राम हैं जो घंटों या यहाँ तक कि दिनों तक प्रशिक्षण लेकर मापदंडों का अनुमान लगाने की कोशिश करते हैं, लेकिन वे अक्सर यह स्पष्ट माप प्रदान नहीं कर पाते कि उनके अनुमान कितने गलत हो सकते हैं।

टेक्निकल यूनिवर्सिटी ऑफ डेनमार्क का एक नया अध्ययन एक अलग, बहुत तेज़ दृष्टिकोण प्रदान करता है जो यह भी बताता है कि वैज्ञानिक अपने परिणामों पर कितना भरोसा कर सकते हैं। शोधकर्ताओं ने एक ऐसी विधि विकसित की है जो इस समस्या को एक सीखने की प्रक्रिया के बजाय एक सीधे गणितीय पहेली के रूप में देखती है। डेटा में परिवर्तन की दर का अनुमान लगाने के बजाय, जो कि शोर (noise) से भरा और मापने में कठिन होता है, उनकी विधि समय के साथ मामलों के कुल संचय (total accumulation) को देखती है। डेटा को 'इंटीग्रेट' (integrate) करके, वे शोर को कम करते हैं और लगभग तुरंत मापदंडों को हल कर सकते हैं। टीम ने इस नई तकनीक का परीक्षण ग्यारह अलग-अलग रोग मॉडलों पर किया, जिसमें कोविड-19 के एक सरल मॉडल से लेकर ज़िका और इबोला के जटिल मॉडल तक शामिल थे। उन्होंने पाया कि उनकी विधि न्यूरल नेटवर्क दृष्टिकोणों की तुलना में अक्सर सैकड़ों या हजारों गुना अधिक सटीक थी, और इसने घंटों के बजाय मिलीसेकंड में उत्तर दिए। महत्वपूर्ण रूप से, उन्होंने इस तेज़ गणना को एक सांख्यिकीय सुरक्षा जाल (statistical safety net) में लपेटा है जो प्रत्येक पैरामीटर के लिए संभावित मूल्यों की एक सीमा उत्पन्न करता है। यह सीमा तब संकीर्ण होती है जब डेटा स्पष्ट होता है और तब विस्तृत हो जाती है जब डेटा बहुत अधिक अव्यवस्थित होता है ताकि एक सटीक उत्तर दिया जा सके, जिससे वैज्ञानिकों को उनकी अनिश्चितता की एक ईमानदार तस्वीर मिलती है।

इस नई विधि का मूल आधार डेटा को पढ़ने के तरीके में बदलाव है। पारंपरिक विधियाँ अक्सर हर क्षण परिवर्तन की दर की गणना करने की कोशिश करती हैं, जैसे कि कार की गति को यह देखकर मापना कि वह एक पल में कितनी दूर चली। यदि डेटा में कोई शोर या अंतराल है, तो यह गति गणना अत्यधिक गलत हो जाती है। डेनिश टीम ने महसूस किया कि वे इसके बजाय एक लंबी अवधि में तय की गई कुल दूरी को देख सकते हैं। महामारी के संदर्भ में, इसका अर्थ है कि एक सप्ताह या एक महीने में कुल कितने लोग संक्रमित हुए हैं, बजाय इसके कि संक्रमण के सटीक क्षण को निर्धारित किया जाए। यह दृष्टिकोण, जिसे लेखक "वीक रिग्रेशन" (weak regression) कहते हैं, शोर के प्रति कहीं अधिक मजबूत है। यह उन्हें प्रकोप की शुरुआती स्थितियों और संचरण दरों (transmission rates) को एक साथ अनुमानित करने की अनुमति देता है, जिससे पूरे सिस्टम को एक ही 'क्लोज्ड-फॉर्म' (closed-form) गणना में हल किया जा सकता है। क्योंकि गणित रैखिक (linear) और सीधा है, इसके लिए न्यूरल नेटवर्क की तरह भारी कम्प्यूटेशनल शक्ति या लंबे प्रशिक्षण समय की आवश्यकता नहीं होती है।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि उनके तेज़ उत्तर विश्वसनीय हों, शोधकर्ताओं ने इसमें सांख्यिकीय अंशांकन (statistical calibration) की एक परत जोड़ी। कई वैज्ञानिक क्षेत्रों में, यह जानना कठिन होता है कि कोई मॉडल कितना सटीक है क्योंकि वास्तविक उत्तर अज्ञात होता है। टीम ने इस समस्या को ज्ञात उत्तरों वाले नकली महामारियों का एक विशाल पुस्तकालय बनाकर हल किया। उन्होंने हजारों ऐसे सिम्युलेटेड प्रकोपों पर अपना तेज़ एस्टिमेटर चलाया, जिनमें से प्रत्येक में थोड़े अलग पैरामीटर और शोर जोड़ा गया था, ताकि यह देखा जा सके कि विधि कितनी बार सही रही और त्रुटि मार्जिन कितना बड़ा होना चाहिए। इस प्रक्रिया ने एक "कैलिब्रेशन पॉपुलेशन" बनाया जिसने उन्हें प्रत्येक वास्तविक दुनिया के अनुमान के साथ एक विश्वास अंतराल (confidence interval) जोड़ने की अनुमति दी। परिणाम सभी रोग मॉडलों के मापदंडों के लिए एक साथ अंतरालों का एक सेट है। यदि डेटा स्पष्ट है, तो अंतराल संकीर्ण होता है; यदि डेटा विरल है या गतिशीलता बहुत जटिल है, तो यह अनिश्चितता को दर्शाने के लिए स्वतः ही विस्तृत हो जाता है। यह सुनिश्चित करता है कि वैज्ञानिक किसी ऐसे सटीक दिखने वाले नंबर से गुमराह न हों जो वास्तव में गलत हो।

जब टीम ने इन ग्यारह मानक बेंचमार्क पर इस विधि को लागू किया जिनका उपयोग रोग मॉडलों के परीक्षण के लिए किया जाता है, तो परिणाम चौंकाने वाले थे। विभिन्न रोगों और शोर के स्तरों से जुड़े बाईस परिदृश्यों में से पंद्रह में, उनकी विधि ने सबसे सटीक अनुमान प्रस्तुत किए। उन मॉडलों के लिए जहाँ डेटा इतना घना था कि गतिशीलता को समझा जा सके, उनके अनुमान न्यूरल नेटवर्क विधियों द्वारा रिपोर्ट किए गए अनुमानों की तुलना में अक्सर एक से चार क्रम (orders of magnitude) अधिक सटीक थे। गति के मामले में, अंतर और भी नाटकीय था। जबकि न्यूरल नेटवर्क को बीस मिनट से लेकर नब्बे घंटों से अधिक के प्रशिक्षण समय की आवश्यकता थी, नई विधि ने मिलीसेकंड से भी कम समय में अनुमानों और उनके अनिश्चितता अंतराल का पूरा सेट तैयार कर दिया। यहाँ तक कि जब शोधकर्ताओं ने कैलिब्रेशन डेटा उत्पन्न करने और परिणामों को सत्यापित करने के लिए आवश्यक समय को भी शामिल किया, तो पूरी प्रक्रिया में दो मिनट से भी कम समय लगा। यह गति सार्वजनिक स्वास्थ्य अधिकारियों को नए डेटा के आते ही प्रकोप के बारे में अपनी समझ को वास्तविक समय (real-time) में अपडेट करने की क्षमता प्रदान करती है, बजाय इसके कि वे मॉडल के अभिसरण (converge) होने के लिए दिनों तक प्रतीक्षा करें।

अध्ययन ने इस विधि का परीक्षण वास्तविक ऐतिहासिक डेटा पर भी किया, विशेष रूप से एक ब्रिटिश बोर्डिंग स्कूल में 1978 के इन्फ्लुएंजा प्रकोप पर। यहाँ, शोधकर्ताओं ने अपने परिणामों की तुलना एक विस्तृत बेयसियन विश्लेषण (Bayesian analysis) से की, जो पहले ही प्रकाशित किया जा चुका था। उनकी विधि ने ऐसे अंतराल उत्पन्न किए जो बेयसियन अध्ययन के 'क्रेडिबल इंटरवल्स' (credible intervals) के साथ मेल खाते थे, जिससे पुष्टि हुई कि यह तेज़, सरल दृष्टिकोण जटिल और भारी कम्प्यूटेशनल विधियों की तरह ही जैविक वास्तविकता को पकड़ सकता है। इस मामले में, उन्होंने यह भी दिखाया कि कैसे पूर्व ज्ञान (prior knowledge), जैसे कि रिकवरी दर, को शामिल करके अनुमानों को और अधिक सटीक बनाया जा सकता है। यह विधि समय-परिवर्तनीय संचरण दरों (time-varying transmission rates) को संभालने के लिए भी पर्याप्त लचीली साबित हुई, जहाँ हस्तक्षेपों या नए वेरिएंट के कारण वायरस की संक्रामकता समय के साथ बदलती है। इन परीक्षणों में, नए दृष्टिकोण ने फिर से न्यूरल नेटवर्क बेसलाइन को पीछे छोड़ दिया, और बहुत कम समय में यह सटीक अनुमान प्रदान किया कि संचरण समय के साथ कैसे बदला।

शोधकर्ता इस बात पर जोर देते हैं कि यह विधि अन्य प्रकार के विश्लेषणों को प्रतिस्थापित नहीं करती है बल्कि उनके पूरक के रूप में कार्य करती है। यह विशेष रूप से तब शक्तिशाली होती है जब डेटा बीमारी की अंतर्निहित गतिशीलता को समझने के लिए पर्याप्त होता है। हालाँकि, यह विधि अपनी सीमाओं को भी जानती है। जब डेटा बहुत विरल होता है या शोर बहुत अधिक होता है, तो विश्वास अंतराल स्वाभाविक रूप से संभावनाओं की एक विस्तृत श्रृंखला को कवर करने के लिए फैल जाते हैं, जो संकेत देते हैं कि डेटा एक सटीक उत्तर देने में सक्षम नहीं है। अनिश्चितता के बारे में यह ईमानदारी एक प्रमुख विशेषता है। अध्ययन दिखाता है कि महामारी के मॉडलों के एक विस्तृत वर्ग के लिए, न्यूरल नेटवर्क का जटिल, 'ब्लैक-बॉक्स' प्रशिक्षण आवश्यक नहीं है। समस्या के मौलिक भौतिकी (fundamental physics) की ओर लौटकर और एक मजबूत, एकीकृत दृष्टिकोण का उपयोग करके, वैज्ञानिक मिलीसेकंड में उच्च सटीकता और बेहतर अनिश्चितता निर्धारण प्राप्त कर सकते हैं। यह भविष्य के प्रकोपों के लिए अधिक उत्तरदायी और विश्वसनीय मॉडलिंग के द्वार खोलता है, जहाँ संख्याओं के साथ-साथ गति और स्पष्टता भी उतनी ही महत्वपूर्ण है।