High-order isogeometric phase-field fracture modeling: a numerical-experimental study

عندما يصمم المهندسون الجسور أو الطائرات أو حتى الأدوات اليومية، يتعين عليهم توقع كيفية فشل المواد. وأكثر أشكال الفشل دراماتيكية هو الكسر (fracture)، حيث تنقسم قطعة صلبة فجأة وتنفصل. لعقود من الزمن، اعتمد العلماء على طريقتين رئيسيتين لدراسة ذلك: الاختبارات الفيزيائية في المختبر، والمحاكاة الحاسوبية. الاختبارات الفيزيائية هي دليل لا يمكن إنكاره على سلوك المادة، لكنها مكلفة وتستغرق وقتاً طويلاً وتؤدي إلى إتلاف المادة. وتوفر المحاكاة الحاسوبية بديلاً أسرع وأرخص، مما يسمح للمصممين باختبار آلاف المتغيرات قبل قطع قطعة واحدة من المعدن. ومع ذلك، ظل هناك تحدٍ مستمر يتمثل في الفجوة بين الاثنين؛ فالعديد من النماذج الحاسوبية بُنيت لوصف مواد تنكسر مثل الزجاج، بينما العالم الحقيقي مليء بالمعادن التي تنثني وتتمدد قبل أن تنكسر. وغالباً ما يضطر هذا التباين المهندسين إلى الاختيار بين نموذج بسيط رياضياً ولكنه غير دقيق فيزيائياً، أو نموذج معقد ولكنه صعب التشغيل.

استكشف فريق من الباحثين من جامعات في إيطاليا وألمانيا مؤخراً حلاً وسطاً مفاجئاً. فقد بحثوا فيما إذا كان بإمكان نموذج حاسوبي مصمم خصيصاً للمواد الهشة الشبيهة بالزجاج أن يتنبأ بنجاح بسلوك معدن مطيلي (ductile) قابل للانثناء. وكان موضوع دراستهم عبارة عن سبيكة ألومنيوم محددة، تُستخدم بشكل شائع في البناء والتصنيع، وتشتهر بقدرتها على التشوه بشكل كبير قبل الكسر. سعى الباحثون لمعرفة ما إذا كان بإمكانهم استخدام إطار رياضي "هش" لمحاكاة حدث "مطيل" في الواقع، مع التركيز بشكل خاص على كيفية بدء الشقوق وانتشارها عبر عينة معدنية ذات شقوق مسبقة الصنع. لم يكن هدفهم إعادة إنشاء كل تفصيل صغير لانثناء المعدن، بل معرفة ما إذا كان النموذج يمكنه التنبؤ بدقة بشيئين حاسمين: أقصى قوة يمكن أن يتحملها المعدن قبل الفشل، والمسار الدقيق الذي سيسلكه الشق أثناء تمزق المادة.

بدأت التجربة باختبارات فيزيائية على عينات معدنية ذات شكل "عظمة الكلب" (dog-bone)، وهو شكل قياسي لاختبار قوة المواد. استخدم الباحثون سبيكة ألومنيوم معروفة باسم EN AW-6060، والتي تحتوي على السيليكون والمغنيسيوم. أعدوا نسختين من العينة: إحداهما بسمك 4 مليمترات والأخرى بسمك 6 مليمترات. تضمنت كل قطعة شقين صغيرين مثلثي الشكل، أو ثلمات، موضوعين بعيداً قليلاً عن المنتصف. تعمل هذه الثلمات كنقاط ضعف يُحتمل أن يبدأ منها الشق. وضع الفريق هذه العينات في آلة اختبار قوية قامت بسحبها بعيداً عن بعضها حتى انكسرت. ولاحظوا أن سمك المعدن غيّر النتيجة بشكل جذري؛ حيث طورت العينة الأكثر سمكاً (6 مليمترات) شقاً انتقل بشكل قطري من ثلمة إلى أخرى، موصولاً بينهما في خط واحد حاد. وفي المقابل، طورت العينة الأقل سمكاً (4 مليمترات) شقين منفصلين انحنيا بعيداً عن بعضهما البعض ولم يلتقيا أبداً. ويعد هذا الاختلاف في السلوك مثالاً كلاسيكياً على كيف يمكن للقيود الفيزيائية لسمك المادة أن تغير نمط فشلها، وهي ظاهرة معروفة جيداً في الهندسة ولكن يصعب التقاطها في النماذج الحاسوبية البسيطة.

ولمحاكاة هذه الأحداث، لجأ الباحثون إلى طريقة حاسوبية متطورة تسمى "التحليل متساوي الهندسة" (isogeometric analysis)، والتي تستخدم منحنيات رياضية متقدمة لتمثيل شكل الجسم بدقة أكبر من الطرق التقليدية القائمة على الشبكات. واستخدموا نوعاً معيناً من النماذج يُعرف بنموذج "كسر حقل الطور" (phase-field fracture model). في هذا النهج، لا يتم تمثيل الشق كخط حاد ومتعرج يتعين على الحاسوب تتبعه يدوياً، بل يُعامل الشق كمنطقة ناعمة وضبابية تفقد فيها المادة قوتها تدريجياً. يعمل متغير "حقل الطور" هذا مثل مفتاح خافت للإضاءة (dimmer switch)، حيث يخفض قدرة المادة على التماسك من الحالة السليمة تماماً إلى حالة الانكسار التام. اختار الباحثون نسخة من هذا النموذج صُممت في الأصل للمواد الهشة، مما يعني أنها تفترض أن المادة تنكسر دون انثناء أو تمدد كبير. وكان هذا خياراً جريئاً لأن الألومنيوم الذي اختبروه مَطيل، مما يعني أنه يتمدد ويمتص الطاقة من خلال التشوه اللدن (plastic deformation) قبل أن ينكسر أخيراً.

قام الفريق بتشغيل عمليات المحاكاة باستخدام نفس الأبعاد وخصائص المواد المستخدمة في الاختبارات الفيزيائية. قاموا بضبط معلمة رئيسية في نموذجهم، تُعرف باسم "الطول الداخلي"، والتي تتحكم في مدى اتساع منطقة الضرر الضبابية حول الشق. ومن خلال ضبط هذه القيمة بعناية، وجدوا أن بإمكانهم تكرار السلوكيات المختلفة التي لوحظت في المختبر. فعندما ضبطوا الطول الداخلي على قيمة أكبر، أنتجت المحاكاة نمط شق يصل بين الثلَمين قطرياً، مما طابق العينة السميكة (6 مليمترات). وعندما قللوا الطول الداخلي، أظهرت المحاكاة شقين منفصلين ومنحنيين لم يلتقيا، وهو ما عكس تماماً سلوك العينة الأقل سمكاً (4 مليمترات). كان هذا اكتشافاً هاماً لأنه يشير إلى أن إطاراً رياضياً واحداً، وبسيطاً نسبياً، يمكنه التقاط ظواهر فيزيائية معقدة بمجرد تعديل معلمة واحدة، دون الحاجة إلى نمذجة الفيزياء المعقدة لتمدد المعدن بشكل صريح.

لم تكن النتائج متشابهة بصرياً فحسب، بل كانت دقيقة عددياً أيضاً. فقد توقع النموذج الحاسوبي أقصى قوة يمكن أن يتحملها المعدن قبل الانكسار بدقة ملحوظة؛ فبالنسبة للعينة الأكثر سمكاً، كان القوة المتوقعة ضمن نطاق 1 بالمائة من القوة الفعلية المقاسة. أما بالنسبة للعينة الأقل سمكاً، فقد كانت التوقعات ضمن نطاق 3.5 بالمائ^ة. هذه الأرقام قريبة للغاية بالنسبة لمحاكاة تجاهلت عمداً التشوه اللدن المعقد الذي يحدث في المعادن الحقيقية. وأشار الباحثون إلى أنه بينما لم يستطع النموذج إعادة إنتاج عملية التلين التدريجي البطيء للمعدن بعد وصوله إلى ذروة قوته، إلا أنه برع في التنبؤ بلحظة الفشل والمسار الذي سيسلكه الشق. وهذا يجعل النموذج أداة قوية للمهندسين الذين يحتاجون إلى معرفة حدود الأمان للتصميم قبل بنائه.

تخلص الدراسة إلى أن استخدام نموذج كسر هش لمحاكاة المواد المطيلة يمكن أن يكون استراتيجية صالحة ومحافظة في التصميم الهندسي. ويقصد المؤلفون بكلمة "محافظة" أن النموذج يميل إلى التنبؤ بالفشل عند أحمال أقل قليلاً مما يمكن للمادة تحمله فعلياً، وهو نهج آمن للتطبيقات الحرجة من حيث السلامة. ويعتمد نجاح هذا النهج على الصيغة الرياضية المحددة المستخدمة، والتي تسم تقوم بتبديد الطاقة في مرحلة مبكرة من العملية، مما يحاكي امتصاص الطاقة للمادة المطيلة حتى دون حساب التمدد بشكل صريح. ويقر الباحثون بأن هذا يعد تسوية ظواهرية (phenomenological compromise)؛ فالنموذج لا يروي القصة الكاملة لما يحدث داخل المعدن بعد الخضوع (yield)، ولكنه يخبرهم بالجزء الأهم: متى وكيف سينكسر.

يفتح هذا العمل آفاقاً جديدة حول كيفية استخدام المحاكاة الحاسوبية لفهم العالم الفيزيائي. فهو يشير إلى أننا لسنا بحاجة دائماً إلى النموذج الأكثر تعقيداً للحصول على الإجابة الصحيحة. فأحياناً، يمكن لنموذج أبسط، مطبق بأدوات رياضية صحيحة وفهم دقيق لحدوده، أن يوفر تنبؤات دقيقة وموثوقة. وبالنسبة لسبيكة الألومنيوم التي تم اختبارها، أثبت الباحثون أن نموذجاً هشاً يمكنه بنجاح التنبؤ بكل من القوة المطلوبة لكسر الجزء والمسار المعقد الذي سيتبعه الشق، وذلك ببساطة عن طريق تعديل مقياس منطقة الضرر. يقدم هذا الاكتشاف مساراً عملياً للمهندسين الذين يصممون باستخدام المعادن، مما يسمح لهم باستخدام محاكاة عالية الرتبة وفعالة لضمان السلامة والأداء دون الغرق في التكلفة الحسابية الهائلة لنمذجة كل تفصيل مجهري للتشوه اللدن. وتعد هذه الدراسة شهادة على قوة الجمع بين الاختبارات المختبرية الصارمة والأساليب العددية المتقدمة لحل التحديات الهندسية في العالم الحقيقي.