Asymptotic Mode-I crack-tip fields in an incompressible finite-strain viscoelastic solid

تتشارك المواد اللينة مثل الأربطة المطاطية، وحلويات الجيلاتين، والأنسجة الحية في سمة غريبة: وهي قدرتها على التمدد والالتواء في أشكال قد تحطم الزجاج أو تقطع المعدن. فعندما يتم سحب هذه المواد بعيدًا عن بعضها البعض، فإنها لا تنكسر في خط مستقيم بسيط، بل تخضع المنطقة الواقعة عند طرف الشق مباشرة لتشوه شديد، حيث تنطوي وتتمدد بطرق لا يمكن للفيزياء القياسية وصفها بسهولة. لعقود من الزمن، فهم العلماء كيف تتصرف الشقوق في المواد الصلبة والجامدة، لكن سلوك المواد الصلبة اللينة والمطاطية ظل لغزًا. وهذا ينطبق بشكل خاص عندما لا تكون المادة مرنة فحسب، مثل الرباط المطاطي الذي يعود لشكلة فورًا، بل تكون أيضًا ذات لزوجة مرنة (viscoelastic)، مما يعني أن لها ذاكرة لشكلها وتتدفق ببطء بمرور الوقت، مثل العسل أو الهلام الكثيف جدًا. إن فهم كيفية تشوه هذه المواد عند حافة نقطة الانكسار أمر بالغ الأهمية للتنبؤ متى وكيف ستفشل.

لقد تعمق فريق من الباحثين في جامعة الملك عبد الله للعلوم والتقنية في هذه المشكلة، مع التركيز على نوع معين من المواد الصلبة اللينة التي تتصرف مثل المطاط القياسي ولكنها تتدفق داخليًا أثناء تمددها. أرادوا معرفة "الشكل" الرياضي لتشوه المادة عند طرف الشق مباشرة. وبتعبير أبسط، تساءلوا: إذا تم تكبير الصورة بشكل لانهائي بالقرب من النقطة التي ينفتح عندها الشق، كيف ستتحرك المادة؟ هل ستتمدد في منحنى سلس، أم ستتصرف بطريقة أكثر تعقيدًا وتعتمد على الزمن؟ ومن خلال الجمع بين التحليل الرياضي المتقدم والمحاكاة الحاسوبية القوية، رسموا خريطة دقيقة لهندسة هذا التشوه، كاشفين أن استجابة المادة هي مزيج من المرونة الفورية والتدفق اللزج الأبطأ الذي يتغير مع مرور الوقت.

قام الباحثون بنمذجة المادة على أنها تمتلك آليتين داخليتين تعملان معًا. جزء يعمل مثل نابض قياسي يستجيب فورًا للتمدد، بينما يعمل الجزء الآخر مثل نابض متصل بـ "مخمد" (dashpot)، وهو جهاز يقاوم الحركة ويسبب استرخاء المادة ببطء بمرور الوقت. يحاكي هذا الإعداد سلوك العديد من المواد الصلبة اللينة في العالم الحقيقي، من المطاط الاصطناعي إلى الأنسجة البيولوجية. كان جوهر بحثهم هو تحديد "رتبة" التشوه، وهو مفهوم يصف مدى سرعة تمدد المادة كلما اقتربت من طرف الشق. في المواد الأبسط، يتبع هذا التمدد نمطًا يمكن التنبؤ به، ولكن في هذه المواد المعقدة المعتمدة على الزمن، يمكن نظريًا أن يتخذ النمط أشكالًا مختلفة عديدة. وكان على الفريق تحديد أي شكل محدد تختاره الطبيعة بالفعل.

ومن خلال تحليلهم، اكتشفوا أن الفتح الرأسي للشق، أي المسافة التي يتحرك بها جانبا الشق بعيدًا عن بعضهما، يتبع قاعدة محددة للغاية. فكلما اقتربت من الطرف، ينمو هذا الفتح بما يتناسب مع الجذر التربيعي للمسافة. وهذا يعني أن الشق ينفتح بشكل سلس وحاد، وهو نمط شوه في مواد مرنة أبسط. ومع ذلك، فإن الحركة الأفقية للمادة، والتي تصف كيف تنزلق المادة جانبًا أثناء تمددها، قدمت سؤالًا أكثر صعوبة. لقد سمحت الرياضيات بعدة طرق محتملة لكيفية سلوك هذه الحركة الجانبية، لكن الباحثين وجدوا أن سيناريو واحد محدد فقط هو المستقر فيزيائيًا. وقد أكدت محاكاتهم الحاسوبية، التي قامت بتدقيق شبكة النموذج إلى مقياس دقيق للغاية بالقرب من طرف الشق، أن الحركة الجانبية تتبع نمطًا خطيًا، حيث تنمو بالتناسب المباشر مع المسافة من الطرف.

وتتمثل إحدى النتائج الرئيسية للدراسة في أن سلوك المادة ليس ثابتًا؛ بل هو يتطور. فقد أظهر الباحثون أن البنية الداخلية للمادة، التي تتبعوها كمتغير خفي يمثل تدفق الجزء اللزج، تظل محدودة ولا تصل إلى اللانهاية، حتى مع تمدد طرف الشق بشكل لانهائي. هذه الحالة الداخلية مرتبطة بشكل الفتح في الشق، مما يعني أن الطريقة التي تتدفق بها المادة داخليًا تملي الشكل الدقيق للتشوه. ومن المثير للاهتمام، وجدوا أن سعة فتح الشق وشكل الحركة الجانبية يسترخيان بمعدلات مختلفة عند إبقاء المادة تحت تمدد ثابت. وهذا يشير إلى أن ذاكرة المادة لتشوهها معقدة، حيث تفقد أجزاء مختلفة من مجال الإجهاد حالتها الأولية بسرعات مختلفة.

كما أوضحت الدراسة ما يحدث عندما تُمنح المادة الوقت الكافي للاسترخاء تمامًا. ففي حالة الاسترخاء الكامل هذه، تختفي التأثيرات المعقدة المعتمدة على الزمن، وتتصرف المادة تمامًا مثل مطاط مرن بسيط. وتعود مجالات طرف الشق إلى الأنماط المعروفة لميكانيكا المطاط القياسية، والتي تحكمها فقط صلابة المادة على المدى الطويل. وهذا يوفر جسرًا واضحًا بين عالم كسر المواد ذات اللزوجة المرنة المعقد والمعتمد على الزمن، وبين النظريات الراسخة والأبسط للكسر المرن. لم يكتفِ الباحثون باقتراح نظرية فحسب، بل اختبروها بصرامة؛ حيث أجروا عمليات محاكاة لسرعات تحميل مختلفة، من التمدد البطيء جدًا الذي يسمح للمادة بالاسترخاء فورًا تقريبًا، إلى التمدد السريع جدًا الذي يحبس المادة في حالة صلبة تشبه الزجاج. وفي كل حالة، تطابقت النتائج العددية مع تنبؤاتهم النظرية، مما أكد أن مجالات طرف الشق محكومة بالفعل بالأشكال الرياضية المحددة التي اشتقوها.

إن أحد أهم جوانب هذا العمل هو كيفية التعامل مع المتغيرات الداخلية التي تقود سلوك المادة. ركزت الدراسات السابقة غالبًا على الطاقة المبددة أثناء الكسر أو المعدل الإجمالي لنمو الشق، لكن هذا البحث ركز على البنية المحلية للتشوه نفسه. ومن خلال إثبات أن الحالة اللزجة الداخلية تظل محدودة ومنضبطة، وضع الفريق أساسًا متينًا للدراسات المستقبلية. لقد أظهروا أنه حتى في البيئة القاسية لطرف الشق، حيث تكون التشوهات هائلة وسريعة، فإن التدفق الداخلي للمادة لا يصبح فوضويًا أو غير محدد. بدلاً من ذلك، فإنه يستقر في علاقة مقترنة ومنضبطة مع فتحة الشق.

إن تداعيات هذه النتائج متجذرة في الفهم الأساسي لكيفية فشل المواد اللينة. فمن خلال تحديد الشكل الرياضي الدقيق للتشوه عند طرف الشق، قدم الباحثون أداة دقيقة للمهندسين والعلماء لنمذجة الكسر في المواد اللينة. وهذا أمر ضروري لتصميم إطارات أفضل، وزراعات طبية أكثر متانة، وروبوتات لينة أكثر أمانًا. ويؤكد العمل أنه بينما تضيف اللزوجة طبقة من التعقيد والاعتماد على الزمن إلى عملية الكسر، فإن الهندسة الأساسية لطرف الشق تظل منظمة ويمكن التنبؤ بها. فالمادة لا تتصرف عشوائيًا، بل تتبع مجموعة صارمة من القواعد التي توازن بين استجابتها المرنة الفورية وتدفقها اللزج الأبطأ.

وفي النهاية، تقدم الدراسة صورة واضحة لظاهرة معقدة. فهي توضح أن طرف الشق في مادة لينة ومتدفقة ليس منطقة فوضوية من الإجهاد غير المحدد، بل هو منطقة محكومة بقوانين تقاربية دقيقة. فالفتح الرأسي يتبع قانون الجذر التربيعي، والانزلاق الأفقي يتبع قانونًا خطيًا، والتدفق الداخلي يظل محدودًا ومقترنًا بهذه الحركات. وتظل هذه النتائج صحيحة عبر سرعات التحميل ومعايير المواد المختلفة، طالما كانت المادة غير قابلة للانضغاط وتتبع النموذج اللزئي المرن المحدد الذي تمت دراسته. لا يدعي البحث حل كل مشكلة في كسر المواد اللينة، ولكنه يقدم إجابة حاسمة للسؤال المحدد حول ماهية شكل مجالات طرف الشق في هذه الفئة من المواد، مما يسد الفجوة بين التنبؤ النظري والواقع العددي.