A 2D discrete model with a phase-field regularisation applied to dynamic crack propagation

عندما تنكسر مادة هشة مثل الزجاج أو الفولاذ المقسى، فإنها لا تنقسم ببساطة إلى نصفين، بل ينطلق صدع عبر المادة الصلبة، وغالباً ما يتفرع إلى شبكة معقدة من الكسور التي تحطم الجسم إلى قطع عديدة. إن التنبؤ بمكان مسار هذه الصدوع بدقة وسرعة حركتها يعد أحد أصعب التحديات في الهندسة. فإذا كان النموذج المستخدم لمحاكاة هذا الدمار معيباً، فقد يشير إلى أن جسراً سيفشل في اتجاه آمن بينما هو في الواقع ينهار بشكل كارثي. لعقود من الزمن، حاول العلماء بناء نماذج حاسوبية تحاكي البنية الذرية للمواد، عبر معاملتها كشبكة من النقاط الصغيرة المتصلة ببعضها بواسطة نوابض. ورغم قوة هذه النماذج، إلا أنها تعاني من عيب غريب: وهو أن المسار الذي يسلكه الصدع غالباً ما يعتمد على كيفية تدوير الشبكة الحاسوبية، وليس على فيزياء المادة نفسها. الأمر يشبه أن يتغير اتجاه صدع في قطعة زجاج حقيقية لمجرد أن المهندس قام بتدوير شاشة الحاسوب.

لحل هذه المشكلة، طور ماتياس براون، وهو باحث في جامعة نيبريجا في إسبانيا، طريقة جديدة لمحاكاة الكسر الديناميكي. يجمع نهجه بين شبكة تقليدية من النقاط وطريقة "المجال الطوري" (phase-field)، وهي تقنية تعامل الصدع ليس كخط حاد يقفز من نقطة إلى أخرى، بل كمنطقة ضرر ناعمة وضبابية تنتشر عبر المادة. ومن خلال دمج هاتين الفكرتين، أنشأ براون نموذجاً يسمح للصدوع بالتحرك في أي اتجاه، بغض النظر عن كيفية توجيه الشبكة الحاسوبية الأساسية. وقد اختبر هذه الطالة الجديدة في ثلاث سيناريوهات متميزة: صفيحة فولاذية تعرضت لصدمة عالية السرعة، وصفيحة بها شق تم سحبها حتى انكسرت، وأسطوانة معدنية سميكة انفجرت من الداخل إلى الخارج. وفي كل حالة، قدم النموذج الجديد نتائج طابقت التجارب الواقعية وألغت الانحياز الاصطناعي الناتج عن الشبكة الحاسوبية، مما وفر رؤية أكثر وضوحاً وموثوقية لكيفية فشل المواد حقاً.

يكمن جوهر المشكلة التي عالجها براون في كيفية تعامل الحواسيب مع العالم غير المرئي للذرات. في عمله السابق، استخدم نموذجاً منفصلاً حيث تم تمثيل المادة كشبكة مثلثية، وهي نمط من النقاط المتصلة بخطوط. وعندما تتعرض المادة للإجهاد، تنكسر الروابط بين النقاط، مما يحاكي حدوث صدع. ومع ذلك، ولأن النقاط كانت مرتبة في نمط ثابت، كان الصدع مجبراً على اتباع خطوط الشبكة. وإذا تم تدوير الشبكة، يتغير مسار الصدع، رغم أن المادة نفسها لم تتغير. وهذه مشكلة كبيرة لأن الصدع في الواقع يجب أن يتبع مسار المقاومة الأقل الذي تحدده خصائص المادة، وليس الزاوية التعسفية للشبكة الحاسوبية.

كان حل براون هو إدخال "تنظيم المجال الطوري" (phase-field regularisation). فبدلاً من إجبار الصدع على كسر روابط محددة بين النقاط، قام بتخصيص قيمة لكل نقطة تمثل مدى تضررها. وتتراوح هذه القيمة من صفر، مما يعني أن المادة سليمة تماماً، إلى واحد، مما يعني أنها محطمة تماماً. ويصبح الصدع منطقة تزداد فيها هذه القيمة تدريجياً، مما يخلق انتقالاً ناعماً بدلاً من خط متعرج. وهذا يسمح للصدع بالانحناء والتفرع في أي اتجاه، متجاهلاً بفعالية الهيكل الصلب للشبكة. ومن الأهمية بمكان أن براون قام بمعايرة هذا النظام باستخدام خاصيتين أساسيتين للمادة: قوة الشد، وهي القوة المطلوبة لبدء الصدع، وطاقة الكسر، وهي الطاقة اللازمة لاستمرار نمو الصدع. ومن خلال ربط المحاكاة بهذه الثوابت الفيزيائية الحقيقية، يضمن النموذج أن النتائج تعتمد على المادة، وليس على الرياضيات.

لإثبات نجاح هذه الطريقة الجديدة، أجرى براون ثلاثة اختبارات صارمة. الاختبار الأول كان اختبار "كالثوف-وينكلر" (Kalthoff–Winkler)، وهو تجربة كلاسيكية حيث تُضرب صفيحة فولاذية بها شق مسبق بجسم مقذوف بسرعة عالية. في هذا السيناريو، ينطلق صدع من الشق بزاوية محددة. وكثيراً ما توقعت النماذج السابقة الزاوية الخاطئة اعتماداً على كيفية تدوير الشبكة. أما في محاكاة براون، فقد سلك الصدع باستمرار زاوية تقارب 70 درجة، مطابقةً الملاحظات التجريبية تماماً. وظلت هذه النتيجة صحيحة سواء كانت الشبكة محاذية للصفيحة أو مدورة بمقدار 15 أو 30 درجة. كما ظلت سرعة الصدع مستقرة، حيث بلغت حوالي 70 بالمائة من سرعة الصوت في المادة، بشكل مستقل عن اتجاه الشبكة.

تضمن الاختبار الثاني صفيحة ذات شق أحادي الحافة تحت تأثير الشد، وهو إعداد يستخدم لدراسة كيفية نمو الصدوع ببطء تحت سحب مستمر. وكان الهدف هنا هو معرفة ما إذا كان الصدع سيسير في خط مستقيم من الشق إلى الحافة المقابلة. غالباً ما كانت نماذج الشبكات التقليدية تجبر الصدع على التعرج أو الانحراف بناءً على محاذاة الشبكة. ومع ذلك، أنتج نموذج براون صدعاً مستقيماً لكل اتجاه من اتجاهات الشبكة. كما كانت القوة المطلوة لكسر الصفيحة متسقة، حيث تفاوتت بأقل من 2 بالمائ% بغض النظر عن كيفية تدوير الشبكة. وقد أثبت هذا أن النموذج يمكنه التنبؤ بدقة بكل من مسار وقوة المادة دون التأثير الاصطناعي للشبكة الحاسوبية.

أما الاختبار الثالث والأكثر تعقيداً فكان تفتت أسطوانة سميكة تعرضت لانفجار داخلي. في هذا السيناريو، لا يوجد صدع واحد يتم توجيهه بواسطة شق؛ بدلاً من ذلك، يجب أن تنشأ العديد من الصدوع تلقائياً وتتسابق نحو الخارج، مما يحطم الأسطوانة إلى عشرات القطع. هذا حدث فوضوي حيث يمكن لتماثل الشبكة أن يفرض بسهولة نمط الشظايا. عندما أجرى براون المحاكاة مع وضع الشبكة في مركز محور الأسطوانة، شكلت الصدوع نمطاً متماثلاً. ومع ذلك، عندما قام بإزاحة الشبكة قليلاً بحيث لم تعد متمركزة تماماً، توزعت الصدوع بشكل غير منتظم، وتغير عدد الشظايا. وقد أكد هذا أن النموذج حساس للإعداد الفيزيائي بدلاً من مجرد تماثل الشبكة. وتنبأت المحاكاة بما بين 12 إلى 19 شظية، وهو رقم يقع ضمن نطاق الطرق المتقدمة الأخرى، ولكنه أقل من بعضها، ويرجع ذلك على الأرجح إلى أن منطقة الضرر الناعمة في النموذج منعت تشكل الصدوع التي تكون قريبة جداً من بعضها البعض.

طوال هذه الاختبارات، تتبع الباحثون بعناية طاقة النظام. وقارنوا الطاقة المفقودة أثناء تكسر المادة مقابل الطاقة المطلوبة لإنشاء أسطح الصدع الجديدة. وفي بعض الحالات، كان هناك عدم تطابق طفيف بين الطاقة المحسوبة بواسطة نموذج الضرر والطاقة المتحررة فعلياً من الروابط المكسورة. وهذا قصور معروف في النهج الهجين، حيث يتم حساب القوة الدافعة للصدع بشكل مختلف عن طاقة الروابط المكسورة. ومع ذلك، ظل توازن الطاقة الميكانيكية دقيقاً في حدود نصف بالمائة، مما يؤكد أن المحاكاة سليمة فيزيائياً. وتشير النتائج إلى أنه على الرغم من أن النموذج ليس مثالياً، إلا أنه يمثل خطوة كبيرة للأمام في فهم الكسر الديناميكي.

إن تداعيات هذا العمل تمتد إلى ما هو أبعد من مجرد تحسين الرسومات الحاسوبية. فمن خلال إزالة الاعتماد على اتجاه الشبكة، يمكن للمهندسين الوثوق بأن عمليات المحاكاة لاختبارات التصادم، أو الانهيارات الهيكلية، أو اختبارات المواد، تعكس الفيزياء الحقيقية للمادة. لقد نجح النموذج في سد الفجوة بين الطبيعة المنفصلة للذرات والسلوك المستمر للأجسام الصلبة. ويظهر أنه باستخدام الأدوات الرياضية الصحيحة، من الممكن محاكاة العملية الفوضوية والعنيفة للكسر دون السماح لشبكة الحاسوب بفرض النتيجة. وتخلص الدراسة إلى أن هذا النهج يوفر طريقة قوية للتنبؤ بكيفية فشل المواد تحت الظروف القاسية، مما يوفر مساراً أوضح لتصميم هياكل أكثر أماناً ومرونة.