A 2D discrete model with a phase-field regularisation applied to dynamic crack propagation

जब कांच या कठोर स्टील जैसी भंगुर (brittle) सामग्री टूटती है, तो वह केवल दो टुकड़ों में नहीं टूटती। इसके बजाय, एक दरार ठोस के माध्यम से तेजी से दौड़ती है, जो अक्सर जटिल फ्रैक्चर के जाल में बंट जाती है और वस्तु को कई टुकड़ों में बिखेर देती है। इन दरारों के सटीक पथ और उनकी गति का अनुमान लगाना इंजीनियरिंग की सबसे कठिन चुनौतियों में से एक है। यदि इस विनाश का अनुकरण (simulate) करने वाला मॉडल दोषपूर्ण है, तो यह सुझाव दे सकता है कि एक पुल एक सुरक्षित दिशा में विफल होगा, जबकि वास्तव में वह विनाशकारी रूप से ढह सकता है। दशकों से, वैज्ञानिक ऐसी कंप्यूटर मॉडल बनाने की कोशिश कर रहे हैं जो सामग्रियों की परमाणु संरचना की नकल कर सकें, जिसमें उन्हें स्प्रिंग्स से जुड़े छोटे बिंदुओं के ग्रिड के रूप में माना जाता है। हालांकि ये मॉडल शक्तिशाली हैं, लेकिन वे एक अजीब दोष से ग्रस्त हैं: दरार जिस पथ पर चलती है, वह अक्सर सामग्री के भौतिक विज्ञान के बजाय इस बात पर निर्भर करता है कि कंप्यूटर ग्रिड को कैसे घुमाया गया है। यह वैसा ही है जैसे कांच के एक वास्तविक टुकड़े में दरार अचानक अपना रास्ता बदल ले क्योंकि इंजीनियर ने कंप्यूटर स्क्रीन को घुमा दिया हो।

इस समस्या को हल करने के लिए, स्पेन के यूनिवर्सिडाड नेब्रिजा के शोधकर्ता मटियास ब्रौन ने गतिशील फ्रैक्चर (dynamic fracture) का अनुकरण करने का एक नया तरीका विकसित किया है। उनका दृष्टिकोण एक पारंपरिक बिंदुओं के ग्रिड को "फेज़-फील्ड" (phase-field) पद्धति के साथ जोड़ता है, एक ऐसी तकनीक जो दरार को एक ऐसी तीखी रेखा के रूप में नहीं देखती जो एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर कूदती है, बल्कि एक चिकने, धुंधले क्षति क्षेत्र (damage zone) के रूप में देखती है जो सामग्री के माध्यम से फैलता है। इन दोनों विचारों को मिलाकर, ब्रौन ने एक ऐसा मॉडल बनाया जो दरारों को किसी भी दिशा में जाने की अनुमति देता है, चाहे कंप्यूटर ग्रिड का आधार कैसा भी हो। उन्होंने इस नई विधि का परीक्षण तीन अलग-अलग परिदृश्यों पर किया: एक स्टील प्लेट जिस पर उच्च गति से प्रभाव पड़ा, एक खांच (notch) वाली प्लेट जिसे टूटने तक खींचा गया, और एक मोटा धातु का सिलेंडर जो अंदर से बाहर की ओर विस्फोटित हुआ। हर मामले में, नए मॉडल ने ऐसे परिणाम दिए जो वास्तविक दुनिया के प्रयोगों से मेल खाते थे और कंप्यूटर ग्रिड द्वारा उत्पन्न कृत्रिम पूर्वाग्रह को समाप्त कर दिया, जिससे यह समझने में अधिक स्पष्ट और विश्वसनीय दृष्टि मिली कि सामग्रियां वास्तव में कैसे विफल होती हैं।

ब्रền द्वारा संबोधित समस्या का मूल आधार यह है कि कंप्यूटर परमाणुओं की अदृश्य दुनिया को कैसे संभालते हैं। उनके पिछले कार्य में, उन्होंने एक विविक्त (discrete) मॉडल का उपयोग किया था जहाँ सामग्री को एक त्रिकोणीय जाली (lattice) के रूप में दर्शाया गया था, जो रेखाओं से जुड़े बिंदुओं का एक पैटर्न था। जब सामग्री पर तनाव डाला जाता था, तो बिंदुओं के बीच के संबंध टूट जाते थे, जो एक दरार का अनुकरण करते थे। हालाँकि, क्योंकि बिंदु एक निश्चित पैटर्न में व्यवस्थित थे, दरार को ग्रिड की रेखाओं का अनुसरण करने के लिए मजबूर किया जाता था। यदि ग्रिड को घुमाया जाता, तो दरार अपना पथ बदल लेती, भले ही सामग्री स्वयं न बदली हो। यह एक महत्वपूर्ण मुद्दा है क्योंकि, वास्तव में, एक दरार को सामग्री के गुणों द्वारा निर्धारित प्रतिरोध के न्यूनतम पथ का अनुसरण करना चाहिए, न कि कंप्यूटर मेश के मनमाने कोण का।

ब्रौन का समाधान "फेज़-फील्ड रेगुलराइजेशन" (phase-field regularisation) पेश करना था। विशिष्ट बिंदुओं के बीच संबंधों को तोड़ने के बजाय, उन्होंने प्रत्येक बिंदु को एक मान (value) सौंपा जो यह दर्शाता है कि वह कितना क्षतिग्रस्त है। यह मान शून्य से लेकर एक तक होता है, जहाँ शून्य का अर्थ है कि सामग्री पूरी तरह से बरकरार है, और एक का अर्थ है कि वह पूरी तरह से टूट चुकी है। दरार एक ऐसा क्षेत्र बन जाती है जहाँ यह मान धीरे-धीरे बढ़ता है, जिससे एक नुकीली रेखा के बजाय एक चिकना संक्रमण (smooth transition) पैदा होता है। यह दरार को किसी भी दिशा में मुड़ने और शाखाओं में बंटने की अनुमति देता है, जिससे वह ग्रिड की कठोर संरचना को प्रभावी रूप से अनदेखा कर देती है। महत्वपूर्ण रूप से, ब्रोन ने इस प्रणाली को सामग्री के दो मौलिक गुणों का उपयोग करके कैलिब्रेट किया: इसकी तन्यता शक्ति (tensile strength), जो दरार शुरू करने के लिए आवश्यक बल है, और फ्रैक्चर ऊर्जा (fracture energy), जो दरार को बढ़ने के लिए आवश्यक ऊर्जा है। इस सिमुलेशन को इन वास्तविक भौतिक स्थिरांकों (physical constants) से जोड़कर, मॉडल यह सुनिश्चित करता है कि परिणाम सामग्री पर निर्भर करें, गणित पर नहीं।

यह सिद्ध करने के लिए कि यह नई विधि काम करती है, ब्रोन ने तीन कठोर परीक्षण किए। पहला परीक्षण कालथॉफ-विंकलर (Kalthoff–Winkler) परीक्षण था, जो एक क्लासिक प्रयोग है जहाँ एक प्रक्षेप्य (projectile) द्वारा उच्च गति से टकराई गई स्टील प्लेट के पूर्व-निर्मित खांच (notch) का उपयोग किया जाता है। इस परिदृश्य में, एक दरार खांच से एक विशिष्ट कोण पर निकलती है। पिछले मॉडल अक्सर ग्रिड के रोटेशन के आधार पर गलत कोण की भविष्यवाणी करते थे। ब्रोन के सिमुलेशन में, दरार लगातार लगभग 70 डिग्री के कोण पर चली, जो प्रयोगात्मक अवलोकनों से पूरी तरह मेल खाती थी। यह परिणाम तब भी सही रहा जब ग्रिड को प्लेट के साथ संरेखित किया गया या 15 या 30 डिग्री घुमाया गया। दरार की गति भी स्थिर रही, जो सामग्री की ध्वनि की गति के लगभग 70 प्रतिशत पर रही, और ग्रिड के ओरिएंटेशन से स्वतंत्र थी।

दूसरे परीक्षण में निरंतर खिंचाव के तहत एक सिंगल-एज-नॉच्ड प्लेट शामिल थी, जिसका उपयोग यह अध्ययन करने के लिए किया जाता है कि दरारें निरंतर खिंचाव के तहत कैसे बढ़ती हैं। यहाँ, लक्ष्य यह देखना था कि क्या दरार खांच से विपरीत किनारे तक एक सीधी रेखा में चलेगी। पारंपरिक ग्रिड मॉडल अक्सर ग्रिड के संरेखण के आधार पर दरार को टेढ़ी-मेढ़ी (zigzag) या विचलित होने के लिए मजबूर करते थे। ब्रोन के मॉडल ने, हालाँकि, ग्रिड के हर ओरिएंटेशन के लिए एक सीधी दरार उत्पन्न की। प्लेट को तोड़ने के लिए आवश्यक बल भी सुसंगत था, जो ग्रिड को घुमाने के बावजूद दो प्रतिशत से भी कम भिन्न था। इसने प्रदर्शित किया कि मॉडल कंप्यूटर मेश के कृत्रिम प्रभाव के बिना पथ और सामग्री की मजबूती दोनों की सटीक भविष्यवाणी कर सकता है।

अंतिम और सबसे जटिल परीक्षण एक आंतरिक विस्फोट के कारण मोटे सिलेंडर का विखंडन (fragmentation) था। इस परिदृश्य में, कोई भी एकल दरार खांच द्वारा निर्देशित नहीं होती है; इसके बजाय, कई दरारें स्वतः उत्पन्न होनी चाहिए और बाहर की ओर दौड़नी चाहिए, जिससे सिलेंडर दर्जनों टुकड़ों में बिखर जाता है। यह एक अराजक घटना है जहाँ ग्रिड की समरूपता (symmetry) आसानी से टुकड़ों के पैटर्न को निर्धारित कर सकती है। जब ब्रोन ने सिलेंडर के अक्ष पर ग्रिड को केंद्रित करके सिमुलेशन चलाया, तो दरारें एक सममित पैटर्न बनाती थीं। हालाँकि, जब उन्होंने ग्रिड को थोड़ा खिसका दिया ताकि यह अब पूरी तरह से केंद्रित न रहे, तो दरारें अनियमित रूप से वितरित हो गईं, और टुकड़ों की संख्या बदल गई। इसने पुष्टि की कि मॉडल ग्रिड की समरूपता के बजाय भौतिक सेटअप के प्रति संवेदनशील है। सिमुलेशन ने 12 से 19 टुकड़ों की भविष्यवाणी की, जो अन्य उन्नत तरीकों की सीमा के भीतर था, लेकिन कुछ से कम था, संभवतः इसलिए क्योंकि मॉडल में मौजूद चिकना क्षति क्षेत्र बहुत करीब स्थित दरारों को बनने से रोकता है।

इन सभी परीक्षणों के दौरान, शोधकर्ताओं ने सावधानीपूर्वक सिस्टम की ऊर्जा को ट्रैक किया। उन्होंने सामग्री के टूटने से खोई गई ऊर्जा की तुलना नई दरार सतहों को बनाने के लिए आवश्यक ऊर्जा से की। कुछ मामलों में, क्षति मॉडल द्वारा गणना की गई ऊर्जा और टूटे हुए बंधों (bonds) द्वारा वास्तव में छोड़ी गई ऊर्जा के बीच एक छोटा सा अंतर था। यह हाइब्रिड दृष्टिकोण की एक ज्ञात सीमा है, जहाँ दरार के लिए ड्राइविंग फोर्स की गणना टूटे हुए बंधों की ऊर्जा से अलग तरीके से की जाती है। हालाँकि, मैकेनिकल एनर्जी बैलेंस आधा प्रतिशत के भीतर सटीक बना रहा, जिससे पुष्टि हुई कि सिमुलेशन भौतिक रूप से सुदृढ़ था। परिणाम बताते हैं कि यद्यपि मॉडल पूर्ण नहीं है, फिर भी यह गतिशील फ्रैक्चर को समझने की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम है।

इस कार्य के निहितार्थ केवल बेहतर कंप्यूटर ग्राफिक्स तक ही सीमित नहीं हैं। ग्रिड ओरिएंटेशन पर निर्भरता को हटाकर, इंजीनियर इस बात पर भरोसा कर सकते हैं कि उनके क्रैश टेस्ट, संरचनात्मक विफलताओं या सामग्री परीक्षण के सिमुलेशन वास्तविक भौतिकी को दर्शा रहे हैं। मॉडल परमाणुओं की विविक्त प्रकृति और ठोस वस्तुओं के निरंतर व्यवहार के बीच के अंतर को सफलतापूर्वक पाटता है। यह दिखाता है कि सही गणितीय उपकरणों के साथ, यह संभव है कि टूटने की अराजक और हिंसक प्रक्रिया का अनुकरण किया जाए, बिना कंप्यूटर के ग्रिड को परिणाम निर्धारित करने देने के। अध्ययन निष्कर्ष निकालता है कि यह दृष्टिकोण चरम स्थितियों में सामग्रियां कैसे विफल होती हैं, इसका पूर्वानुमान लगाने का एक मजबूत तरीका प्रदान करता है, जो सुरक्षित और अधिक लचीली संरचनाओं के निर्माण के लिए एक स्पष्ट मार्ग प्रदान करता है।