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Diese Arbeit konstruiert auf beliebigen Zeitmengen fraktionale Sobolev-Räume mit variabler Ordnung, etabliert deren funktionalanalytische Eigenschaften sowie Spurtheorien und leitet Euler-Lagrange-Gleichungen für Variationsprobleme mit Riemann-Liouville- und Caputo-Operatoren her, um eine Grundlage für fraktionale dynamische Gleichungen und anisotrope nichtlokale Modelle zu schaffen.
Dieser Artikel beweist die globale Wohlgestelltheit und die gleichmäßige exponentielle Stabilisierung der kritischen quintischen Wellengleichung in einem beschränkten 3D-Gebiet mit lokal verteiltem Kelvin-Voigt-Dämpfungsterm, indem er Strichartz-Abschätzungen, mikrolokale Defektmaße und eine scharfe Eigenschaft der eindeutigen Fortsetzung kombiniert, um die durch die Dämpfung verursachten Regularitätsverluste und geometrischen Hindernisse zu überwinden.
Die Arbeit untersucht eine entartete und singuläre parabolische Gleichung mit einer Quellterm-Störung, leitet kritische Exponenten her, die das Verhalten zwischen globaler Existenz und endlichem Blow-up trennen, und zeigt insbesondere, dass für positive Störungsparameter keine globalen schwachen Lösungen existieren, während für den ungestörten Fall unter bestimmten Bedingungen globale Lösungen nachgewiesen werden können.
Die Arbeit untersucht mittels einer nicht-autonomen Reaktions-Diffusions-Gleichung, wie sich ein sich bewegender Lebensraum auf Populationen auswirkt, und identifiziert einen kritischen Bewegungsgeschwindigkeitsschwellenwert, bei dem eine zu schnelle Verschiebung trotz anfänglich stabiler Bedingungen zum Aussterben führt.
Diese Arbeit untersucht die Dynamik eines inhomogenen gekoppelten nichtlinearen Schrödinger-Systems mit quadratischen Wechselwirkungen und leitet ein scharfes Kriterium her, das basierend auf Erhaltungsgrößen und Grundzustandslösungen die Dichotomie zwischen globaler Existenz und endlichem Blow-up der Lösungen charakterisiert.
Dieser Artikel entwickelt eine verfeinerte Analyse hypergeometrischer Funktionen, um scharfe quantitative Integralungleichungen für eine allgemeine Familie konform-invarianter Erweiterungsoperatoren und ihrer Adjungierten zu etablieren und damit frühere Ergebnisse von Frank, Peteranderl und Read auf den gesamten zulässigen Parameterraum zu erweitern.
Der Artikel untersucht die Wohlgestelltheit und das asymptotische Verhalten einer zweiten nichtlokalen parabolischen MEMS-Gleichung, indem er die lokale Existenz, globale Konvergenz zu stationären Zuständen sowie numerische Ergebnisse für den Fall $1 \le N \le 3$ unter Verwendung von Operatorhalbgruppen, der Kontraktionsabbildung und der Lojasiewicz-Simon-Ungleichung nachweist.
Diese Arbeit untersucht das asymptotische Verhalten globaler Lösungen von viertenordnungs-parabolischen und hyperbolischen Gleichungen mit Dirichlet-Randbedingungen, die Micro-Electro-Mechanical Systems (MEMS) modellieren, und beweist deren Konvergenz gegen ein Gleichgewicht mit entsprechenden Konvergenzratenabschätzungen, ergänzt durch numerische Simulationen.
Der Artikel beweist die Existenz globaler schwacher Lösungen für ein Diffuse-Interface-Modell von inkompressiblen Zweiphasenströmungen mit thermo-induzierten Marangoni-Effekten in zwei und drei Dimensionen und zeigt in zwei Dimensionen unter bestimmten Voraussetzungen auch die Eindeutigkeit dieser Lösungen.
Die Arbeit beweist die Wohlgestelltheit und das asymptotische Verhalten von schwachen Lösungen der quintischen Wellengleichung mit energieabhängiger Dämpfung, indem sie Galerkin-Näherungen, Strichartz-Abschätzungen und eine modifizierte Nakao-Methode kombiniert, um die Existenz von Lösungen sowie polynomiale Energiedekay nachzuweisen.
Diese Arbeit beweist die globale Wohlgestelltheit, die gleichmäßigen Abschätzungen bezüglich der Viskosität und den globalen Grenzübergang zur reibungsfreien Strömung für das dreidimensionale kompressible Navier-Stokes-Vlasov-Fokker-Planck-System mit dichteabhängiger Reibungskraft und zeigt dabei erstmals die globale Existenz klassischer Lösungen sowie optimale Abklingraten auf, die durch den stabilisierenden Einfluss der Fluid-Teilchen-Wechselwirkung ermöglicht werden.
Diese Arbeit untersucht die punktweise Regularität nichtnegativer klassischer Lösungen vollständig fraktionaler parabolischer Gleichungen der Form und liefert einen vereinfachten, einheitlichen Beweis für höhere Regularitätseigenschaften unter Verwendung neuer äquivalenter Definitionen für punktweise Funktionenräume sowie integraler Darstellungen des fraktionalen Wärmeleitungskerns.
Basierend auf der Energiegradiententheorie von Dou Huashu zeigt diese Arbeit, dass bei inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen in stationären Strömungen der Ort, an dem der Gradient der mechanischen Energie senkrecht zur Stromlinie steht, zu einem Verlust der -Regularität führt und die Gleichungen zu den Euler-Gleichungen mit unstetigen schwachen Lösungen degenerieren, wodurch dieser Ort als schwache Singularität identifiziert wird.
Diese Arbeit untersucht ein inverses Robin-Spektralproblem für den p-Laplace-Operator unter gemischten Randbedingungen, indem sie einen dünnen Beschichtungsasymptotik-Limit herleitet, die Eindeutigkeit des Robin-Koeffizienten nachweist und eine bedingte lokale Hölder-Stabilitätsabschätzung für die Rekonstruktion des unbekannten Koeffizienten aus spektralen und Randdaten etabliert.
Diese Arbeit beweist Existenz, Eindeutigkeit und scharfe Randasymptotiken für große Lösungen semilinearer elliptischer Gleichungen mit gradientenabhängigen Termen und singulären Gewichten, etabliert die strenge Konvexität der Lösungen und identifiziert diese als Wertfunktion eines stochastischen Optimierungsproblems mit Zustandsbeschränkungen.
In diesem Artikel wird unter bestimmten geometrischen Bedingungen die Existenz von Vorzeichen wechselnden Lösungen für eine kritische elliptische Gleichung mit einem Yamabe-artigen Operator auf einer kompakten Mannigfaltigkeit mit Rand nachgewiesen.
Die Arbeit zeigt, dass Entropie als treibende Kraft in verschiedenen Evolutionsgleichungen auftritt, weil sie das invariante Maß eines zugrunde liegenden stochastischen Prozesses charakterisiert, wodurch sich ihre unterschiedlichen Formen und ihre Rolle in stochastischen Prozessen, Gradientenflüssen und GENERIC-Systemen als gemeinsame Prinzipien erklären lassen.
Diese kritische Synthese untersucht klassische numerische und maschinelle Lernverfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen durch einen einheitlichen Bewertungsrahmen, der ihre epistemologischen Unterschiede hervorhebt und Prinzipien für hybride Ansätze sowie eine Einschätzung zukünftiger technologischer Frontiers entwickelt.
Die Arbeit beweist die globale Existenz und Eindeutigkeit einer verallgemeinerten Lösung für die dreidimensionale, viskositätsfreie quasi-geostrophische Gleichung auf einem zylindrischen Gebiet mit mehrfach zusammenhängendem Querschnitt unter homogenen Neumann-Randbedingungen sowie No-Flux-Bedingungen mit konstanten Zirkulationen, sofern die Anfangspotentialwirbelverteilung beschränkt ist.
In diesem Werk wird die Parametrix elliptischer Gevrey-Pseudodifferentialoperatoren konstruiert, indem eine Familie von Normen für formale Gevrey-Symbole eingeführt wird, die eine Banach-Algebra bezüglich des Symbolkalküls bilden, was zur Gewinnung von Abschätzungen für adiabatische Projektoren im Gevrey-Kontext führt.