Implementing Jastrow--Gutzwiller operators on a quantum computer using the cascaded variational quantum eigensolver algorithm

Dieser Beitrag stellt eine neue Methode zur Implementierung nicht-unitärer Jastrow-Gutzwiller-Operatoren auf Quantencomputern mit dem kaskadierten variationalen Quanteneigenwertlöser-Algorithmus vor, die experimentell an einem IBM Q Lagos-Gerät für ein Hubbard-Modell demonstriert wird.

Das Wesentliche

Stellen Sie sich vor, Sie versuchen, das perfekte Rezept für ein komplexes Gericht zu finden, wie einen Soufflé. Sie kennen die Grundzutaten (die Atome), aber das Geheimnis eines großartigen Soufflés liegt darin, wie diese Zutaten während des Backens miteinander interagieren. Wenn Sie diese Wechselwirkungen ignorieren, wird Ihr Gericht flach und fade.

In der Welt der Quantenphysik versuchen Wissenschaftler, das „perfekte Rezept" für den Zustand niedrigster Energie eines Systems (wie Elektronen in einem Material) zu finden. Dies wird als „Grundzustand" bezeichnet.

Hier ist eine einfache Aufschlüsselung dessen, was diese Arbeit leistet, unter Verwendung alltäglicher Analogien:

1. Das Problem: Der „nicht-unitäre" Koch

Quantencomputer sind wie unglaublich schnelle, aber sehr zerbrechliche Köche. Sie können eine massive Anzahl von Möglichkeiten (Hilbert-Räume) erkunden, die klassische Computer nicht bewältigen können. Allerdings gibt es einen Haken.

Um das beste Rezept zu erhalten, möchten Wissenschaftler ein spezielles Werkzeug namens Jastrow–Gutzwiller-Operator verwenden. Stellen Sie sich dieses Werkzeug als einen „Geschmacksverstärker" vor, der komplexe Wechselwirkungen zwischen mehreren Zutaten in die Mischung einbringt.

• Das Problem: Dieser Geschmacksverstärker ist „nicht-unitär". In der Quantensprache bedeutet dies, dass er wie ein Rezeptschritt ist, der die Regeln der Küche bricht. Man kann nicht einfach einen Knopf auf einem Standard-Quantencomputer drücken, um dies zu tun; es ist, als würde man versuchen, einen Kuchen zu backen, indem man ihn zuerst „unbackt". Es ist mathematisch schwierig, dies direkt zu implementieren.

2. Die Lösung: Die „kaskadierte" Fließbandmontage

Die Autoren schlagen eine neue Art vor, dieses Werkzeug zu verwenden, genannt den Cascaded Variational Quantum Eigensolver (CVQE).

Anstatt zu versuchen, den Quantencomputer zu zwingen, den unmöglichen „nicht-unitären" Schritt auf einmal auszuführen, teilen sie den Prozess in zwei Teile auf, wie eine Fließbandmontage:

• Teil A (Der unitäre Koch): Der Quantencomputer führt das standardmäßige, regelkonforme Kochen durch. Er ordnet die Zutaten in eine gute Ausgangsform an (unter Verwendung eines sogenannten „Thouless-Operators").
• Teil B (Der Geschmacksverstärker): Der „nicht-unitäre" Geschmacksverstärker (der Jastrow–Gutzwiller-Operator) wird anders behandelt. Anstatt zu versuchen, ihn in den Quantenschaltkreis zu „backen", verlagern die Autoren die Schwerstarbeit dieses spezifischen Teils auf einen klassischen Computer (einen normalen Laptop).

Die Analogie: Stellen Sie sich vor, Sie bauen ein Haus. Der Quantencomputer ist der Roboterarm, der die Ziegel perfekt verlegt. Der „Geschmacksverstärker" ist die Farbe und die Tapete. Anstatt zu versuchen, den Roboterarm Farbe aufzutragen, während er Ziegel verlegt (was er nicht gut kann), verlegt der Roboter die Ziegel, und dann kommt ein menschlicher Maler (der klassische Computer) und trägt die Farbe auf, basierend auf den Messungen, die der Roboter durchgeführt hat. Sie arbeiten in einer Schleife zusammen, um das perfekte Haus zu erhalten.

3. Der Test: Das „Hubbard-Modell"

Um zu beweisen, dass dies funktioniert, testete das Team ihre Methode an einem berühmten physikalischen Rätsel namens Hubbard-Modell.

• Was ist das? Stellen Sie sich ein Gitter aus winzigen Inseln (Orte) vor, auf denen sich Elektronen (die Gäste) bewegen können. Manchmal versuchen zwei Gäste, auf derselben Insel Platz zu nehmen, was ein „Überfüllungs"-Problem (Wechselwirkung) verursacht.
• Das Setup: Sie testeten dies an zwei Formen: einem Quadrat und einem Dreieck, jeweils mit vier Stellen.
• Das Ziel: Sie wollten den Zustand niedrigster Energie für diese Elektronen finden, speziell wenn das Gitter „halbgefüllt" ist (zwei Gäste auf vier Stellen).

4. Die Ergebnisse: Reale Hardware vs. Simulation

Sie führten ihr Experiment auf einem echten Quantencomputer namens IBM Q Lagos durch (der 7 Qubits, oder „Quantenbits", besitzt).

• Die Herausforderung: Echte Quantencomputer sind verrauscht. Es ist, als würde man versuchen, ein Flüstern in einem windigen Raum zu hören. Die Daten, die sie erhielten, waren „verrauscht", was bedeutet, dass die Ergebnisse nicht perfekt scharf waren.
• Der Trick: Um die Ergebnisse klarer zu machen, nutzten sie einen cleveren Abkürzungsweg. Da Elektronen einen „Spin" (hoch oder runter) haben, ließen sie den Quantencomputer nur für die „Spin-up"-Elektronen laufen und simulierten die „Spin-down"-Elektronen auf einem klassischen Computer. Dies halbierte die Anzahl der benötigten Quantenbits und reduzierte das Rauschen erheblich.
• Das Ergebnis:
  • Ihre Methode (die grünen und orangen Linien in ihren Diagrammen) kam der „exakten" Antwort (der roten gestrichelten Linie) sehr nahe, was man erhalten würde, wenn man die Mathematik perfekt auf einem Supercomputer lösen könnte.
  • Selbst mit dem Rauschen der realen Maschine funktionierte ihr Ansatz besser als bloßes Raten.
  • Sie zeigten, dass sie durch die Verlagerung des komplexen „Geschmacksverstärker"-Teils auf den klassischen Computer genaue Ergebnisse erzielen konnten, ohne zusätzliche, komplizierte Quantenhardware zu benötigen.

Zusammenfassung

Die Arbeit demonstriert eine neue Art, einem Quantencomputer beizubringen, wie er mit komplexen Wechselwirkungen zwischen Teilchen umgeht. Anstatt den Quantencomputer zu zwingen, einen mathematisch verbotenen Zug auszuführen, teilen sie die Aufgabe auf: Der Quantencomputer übernimmt die physikalische Umordnung, und ein normaler Computer übernimmt die komplexe Korrelationsmathematik. Sie bewiesen, dass dies auf einer realen, verrauschten Maschine funktioniert, indem sie ein Rätsel über Elektronen auf einem kleinen Gitter lösten und Ergebnisse erhielten, die überraschend nahe an der perfekten theoretischen Antwort lagen.

Technische Zusammenfassung

Technische Zusammenfassung: Implementierung von Jastrow–Gutzwiller-Operatoren auf einem Quantencomputer unter Verwendung des Cascaded Variational Quantum Eigensolver

Problemstellung
Quantencomputer bieten das Potenzial, exponentiell große Hilbert-Räume zu nutzen, um Grundzustände quantenmechanischer Systeme zu bestimmen, eine Aufgabe, die für klassische Computer oft unlösbar ist. Obwohl variationale Algorithmen wie der Variational Quantum Eigensolver (VQE) aufgrund ihrer kurzen Schaltungstiefe für Geräte der nahen Zukunft vielversprechend sind, hängen sie stark von der Wahl eines Ansatzes ab. Ein leistungsfähiger Ansatz zur Verbesserung variationaler Zustände ist die Verwendung von Jastrow–Gutzwiller-Operatoren, die Vielteilchenkorrelationen (insbesondere Dichte-Dichte-Korrelationen und Einschränkungen doppelt besetzter Orbitale) zu einem Testzustand hinzufügen. Der Jastrow–Gutzwiller-Operator ist jedoch nicht-unitär. Diese Nicht-Unitarität stellt eine erhebliche Herausforderung für die direkte Implementierung auf Quantencomputern dar, die inhärent über unitäre Evolution arbeiten. Bestehende Methoden erfordern oft zusätzliche Qubits oder Approximationen, um diese Nicht-Unitarität zu handhaben, was die Schaltungstiefe und Komplexität über die Fähigkeiten aktueller Hardware hinaus erhöhen kann.

Methodik
Die Autoren schlagen eine neuartige Implementierung des Jastrow–Gutzwiller-Operators unter Verwendung des Cascaded Variational Quantum Eigensolver (CVQE)-Algorithmus vor. Der Kern ihrer Methode ist ein Ansatz der Form $\hat{A}(\theta) = \hat{G}(\theta)\hat{U}$, wobei:

• $\hat{U}$ ein unitärer Thouless-Operator ist, der eine Basisänderung im Einteilchen-Hilbert-Raum durchführt (z. B. die Transformation eines Fock-Zustands in ein Fermi-Gas).
• $\hat{G}(\theta)$ der nicht-unitäre Jastrow–Gutzwiller-Operator ist, definiert als $\hat{G}(\theta) = \exp(-\sum_{qq'} \theta_{qq'} \hat{n}_q \hat{n}_{q'})$, wobei $\hat{n}_q$ Besetzungsoperator sind und $\theta_{qq'}$ variationale Parameter darstellen.

Die wesentliche Innovation liegt in der Berechnung des Erwartungswerts der Energie, $E(\theta) = \frac{\langle \Psi_n | \hat{G}(\theta) \hat{H} \hat{G}(\theta) | \Psi_n \rangle}{\langle \Psi_n | \hat{G}^2(\theta) | \Psi_n \rangle}$. Da $\hat{G}(\theta)$ in der Besetzungszahlbasis diagonal ist, demonstrieren die Autoren, dass die Exponentialterme im Operatorprodukt klassisch basierend auf Messergebnissen ausgewertet werden können, anstatt die Expansion des Exponentials in eine Summe von Pauli-Saiten auf dem Quantencomputer zu erfordern.

Das Verfahren umfasst:

1. Zustandspräparation: Präparation eines Anfangszustands $|\Psi_n\rangle = \hat{U}|\Phi_n\rangle$ unter Verwendung eines Quantenschaltkreises, der aus elementaren Ein- und Zwei-Qubit-Toren besteht, die aus der Zerlegung des unitären Operators $\hat{f}$ abgeleitet sind.
2. Messung: Messung des Systems in der Rechenbasis (oder einer rotierten Basis für kinetische Terme), um Besetzungszahlen zu erhalten.
3. Klassische Nachbearbeitung: Verwendung der gemessenen Besetzungszahlen zur klassischen Auswertung der diagonalen Exponentialfaktoren von $\hat{G}(\theta)$ und $\hat{G}^2(\theta)$. Dies vermeidet die Notwendigkeit zusätzlicher Qubits oder tiefer Schaltungen zur Simulation des nicht-unitären Operators.
4. Optimierung: Variation der Parameter $\theta$ klassisch, um den Energieerwartungswert zu minimieren.

Hauptbeiträge

• Implementierung nicht-unitärer Operatoren: Die Arbeit stellt eine Methode vor, um nicht-unitäre Jastrow–Gutzwiller-Operatoren auf Quantenhardware ohne Hinzufügen zusätzlicher Qubits oder Approximation des Operators zu implementieren, wobei das CVQE-Framework genutzt wird.
• Effizientes Messschema: Durch die Abbildung des Problems, sodass Besetzungsoperatoren diagonal bleiben, zeigen die Autoren, dass die Exponentialterme direkt in die Energieberechnung basierend auf Messergebnissen eingefügt werden können, was den Messaufwand im Vergleich zur Expansion des Operators in Pauli-Saiten erheblich reduziert.
• Entkopplung der Spin-Arten: Die Methode ermöglicht die Auswertung des Schaltkreises für nur eine Spin-Art auf dem Quantencomputer, während die andere Art klassisch behandelt wird. Dies halbiert effektiv die Anzahl der für die Demonstration erforderlichen Qubits.
• Experimenteller Nachweis: Die Methode wird auf dem IBM Q Lagos-Quantenprozessor (ein 7-Qubit-Gerät) für ein Hubbard-Modell auf vier Gitterpunkten sowohl auf quadratischen als auch auf dreieckigen Gittern mit periodischen Randbedingungen bei halber Füllung demonstriert.

Ergebnisse
Die Autoren wandten ihre Methode auf das Hubbard-Modell mit dem kinetischen Energieparameter $k$ und der Wechselwirkungsstärke $d$ an.

• Energeminimierung: Sie minimierten erfolgreich den Energieerwartungswert $E(\theta)$ bezüglich des Gutzwiller-Parameters $\theta$.
• Vergleich: Die Ergebnisse wurden mit der exakten Diagonalisierung (die exakte Grundzustandsenergie) und rauschfreien klassischen Simulationen ihrer Methode verglichen.
• Rauschanalyse:
  • Beim Durchführen der vollständigen Berechnung (sowohl Spin-up- als auch Spin-down-Elektronen) auf dem Quantengerät führten Rauschfehler zu Fehlern in den Energieerwartungswerten.
  • Beim Durchführen nur einer Spin-Art auf dem Quantengerät (wobei die andere klassisch simuliert wurde), wurden die Fehler signifikant reduziert.
  • Der Fehler im Energieerwartungswert blieb als Funktion der Wechselwirkungsstärke $d$ relativ konstant und nahm in einigen Fällen leicht ab, wenn sich $d$ $k$ näherte.
• Optimierung: Der optimale Parameter $\theta^*$ wurde durch Lokalisierung des Minimums der Energiekurve gefunden, und die resultierenden optimierten Energien verfolgten die exakte Grundzustandsenergie eng, insbesondere in der Konfiguration mit einer Spin-Art.

Bedeutung und Behauptungen
Die Arbeit behauptet, dass dieser Ansatz die Implementierung des Jastrow–Gutzwiller-Ansatzes auf Quantenhardware der nahen Zukunft ohne den Ressourcenbedarf zusätzlicher Qubits oder die mit anderen nicht-unitären Implementierungen verbundenen Approximationsfehler ermöglicht. Durch die Verlagerung der Auswertung der nicht-unitären Exponentialfaktoren auf den klassischen Computer entkoppelt die Methode die Optimierung variationaler Parameter von der Notwendigkeit, Quantenschaltkreise für jede Parameteraktualisierung neu auszuführen. Darüber hinaus reduziert die Fähigkeit, nur eine Spin-Art auf dem Quantengerät zu simulieren, während die andere klassisch behandelt wird, die Anforderung an die Qubit-Anzahl um die Hälfte, was den Ansatz für aktuelle Geräte mit begrenzter Konnektivität und Kohärenzzeiten praktikabler macht. Die Demonstration auf dem IBM Q Lagos-Gerät validiert die Machbarkeit dieses „kaskadierten" Ansatzes für fermionische Systeme, insbesondere das Hubbard-Modell, und bietet einen Weg, starke Korrelationseffekte in variationale Quantenalgorithmen einzubeziehen.